苏科版八年级上册第3章《勾股定理》单元同步练习【含答案】

苏科版八年级上册第3章《勾股定理》单元同步练习

一.选择题

1.下列各组数中，不是勾股数的一组是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.6,8,1（）D.5,12,13

2.三个止方形的面积如图明不，则S的值为（）

3.在△力8C中，/A、N8、NC的对边分别记为。、b、c.下列条件中；不能说明△48C是直角三角形的

是（）

A.NA=/B=NCB.a2=b2+c2

C.ZA+ZB=ZCD.a：b：c=3：4：5

4.如图，NC=90",AB=\2,8c=3,CD=4,若/彳8。=90。，则彳。的长为（）

A.8B.10C.13D.15

5.如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂

6.若4、b、c是△48C三条边的长，且满足q2-2M+/>2+|q2+力2_/k0,则。是（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

7.将一根长24a〃的筷子，置于底面直径为5C力，高为12c小的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为

hem,则h的取值范围是（）

A.0W〃W12B.12W〃W13C.11WAW12D.12W0W24

8.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49,小正

方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列结论：①/+/=49；②x-y=2：

③加升4=49；®x+y=7.其中正确的结论是（）

A.①②B.②④C.①②③D.①③

二.填空题

9.在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打.上等距离的13个结，然后

以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角

便是直角.依据是.

10.在△48。中，若NC=90。，ZJ=46°,则N4='.

11.在△力8c中，ZC=90°,若〃=5,人=12,则《=.

12.如图，是一个直角三角形以三边为边长向外作三个正方形，则字母力所代表的正方形的面积为

13.如图在Rt△48C中，ZC=90°,CDUB于D,若4C=12,BC=5,则CO=

B

D

14.如图，在高为5〃?，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要〃?.

15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(jia)生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？"(注：丈，尺是长度单位，I丈=10尺)这段话翻译成现代汉语，

即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1

尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.设这个水池深工尺，则根据

题意，可列方程为.

16.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”，LABH,MBCG,4CDF

和△D4E是四个全等的直角三角形，四边形4和都是正方形，若月B=l(),EF=2,则力，

三.解答题

17.某中学校园有一块四边形草坪/4CO(加图所示)，测得NB=90°,"=24〃?，BC=7m,CD=\5m,

.4。=20m，求这块四边形草坪的面积.

18.如图，在四边形/5CO中，已知N8=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求证力C_LCQ.

进行说明.

22.我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，

它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证

明”图形.

（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；

（2）已知直角三角形直角边长分别为〃、b,斜边长为c,图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）

图1图2

参考答案

一.选择题

1.解:A,32+42=52,能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；

B、42+52^62,不是勾股数，此选项正确；

C、62+82=102,三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误;

D、52+122=132,是正整数，故是勾股数，此选项错误.

故选:B.

由题意可得:AB=4,AC=5,

，：AC2=AB2+BC2,

：.BC2=25-16=9,

.*.5=9,

故选：C.

3.解：A、VZA=ZB=ZC,ZJ+Z5+ZC=180°,

AZA=ZB=ZC=60°,

•••△48C不为直角三角形，故此选项符合题意；

B、'：a2=b2+c2,

为直角三角形，故此选项不合题意；

C、・・・//+N8=NC,Z/l+Z5+ZC=180o,

AZC=90°,

•••△48C为直角三角形，故此选项不合题意；

。、＜a：b：c=3：4：5,

设。=3x,b=4x,c=5x,

(3x)2+(4x)2=(5x)2,

・•・能构成直角三角形，故此选项不合题意；

故选:A.

4.解：在中，ZC=9(T\

由勾股定理得：^=7BC2+CD2=732+42=^

在中，N力BD=90”,

由勾股定理得：=VAB2+BD2=7122+52=13,

故选：C.

5.解：设大树高约有x米，由勾股定理得：

(x-3)2=32+42,

解得：x=8,

答：大树高约8米.

故选:B.

6.解：•••。2-2融+庐+|/田-。2尸()，

HP(a・b)2+\a2+b2-c2|=0,

Ca-b)2=0,且团+川・/=0,

222

/.(a-h)2=o,且a+b=c,

・・・a=4且△48C是直角三角形，

•••△力8。是等腰直角三角形，

故选:B.

7.解：当筷子与杯底垂直时〃最大，〃最大=24-12=12(cm).

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所不：此时，AB—个AC2+BC2=J122+52=13(cm)1

故"=24-13=11(cm).

故h的取值范围是：11c〃运力W12c

故选：C.

由①-②得的=45③,

・・・2.4=49,

①+③得x1+2xy+y2=94,

/.(x+y)2=94,

/.x+y=V94.

・•・结论①②③正确，④错误.

故选：C.

二.填空题

9.解：设相邻两个结点的距离为加,则此三角形三边的长分别为3/n、4m5m,

*.*(3〃?)2+(4m)2=(5m)2,

・••以3〃?、4m、5/〃为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,

那么这个三角形是直角三角形)

故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

10.解：VZC=90°,ZA=46°,

・・・N8=90°-46°=44°,

故答案为:44.

11.解：在△力4c中，ZC=90°,a=5,方=12,

**-c=7a2+b2=752+122=13J

故答案为：13.

12.解：•・•正方形尸。£7)的面积等于225,

.••即P。2=225,

•・•正方形PRGF的面积为289,

，尸/？2=289,

又△P0R为直角三角形，根据勾股定理得:

PR2=PQ2+QR2,

:・QR2=PR2-喈=289-225=64,

则正方形QMNR的面枳为64.

故答案是:64.

13.解：RtZMBC中,NC=90°,

由勾股定理得：^^=7AC2+BC2=V122+52=13,

由S"c=^XAC><BCqxABXCD得：

乙乙

r.5X12=13XCZ）,

・・・CO=毁.

13

故答案为：色.

13

14.解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度=7132-52=12、

•・•地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

・•・地毯的长度至少是12+5=17（米）.

故答案为：17.

15.解：设水池里水的深度是x尺，

由题意得，（x+l）2=由+25,

故答案为：（x+1）2=X2+25.

16.解：V/15=10,£尸=2,

・•・大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,

J四个直角三角形面积和为100-4=96,设力£为a,DE为b,即4xZb=96,

2

：,2ab=96,a2+/>2=100,

（a+b）2=a2+/>2+2ad=100+96=196,

a+b=14,

■:a・b=2,

解得：a=8,b=6,

：.AE=StAH=DE=6,

・"〃=8-2=6.

故答案为：6.

三.解答题

17.解：连接力C,如图:

VZ^=90°,AB=24m,BC=7m,

JAC2=AB2+BC2=242+72=625,

：,AC=25(〃)

22222

又・.・CO=15〃7,力。=20小，15+20=25,B|JAD+DC=AC^t

•••△4。。是直角三角形，

Sn成形ABCD~S4ABeyDC

="1・W8C+2・4)・QC

22

=AX24X7+AX20X15

22

=234CM).

答：这块四边形草坪的面积是234〃，.

18.证明:VZB=90°,

•••△45C为直角三角形，

又・・・43=3,BC=4,

•••根据勾股定理得：AC=JAB2+BC2=5»

乂・.・CO=12,力。=13,

AJD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

22

：.Ciy+AC=ADf

，△力。。为直角三角形，N4CO=90°,

即ACYCD.

19.解：在"△CD8中,

由勾股定理得，252=3600,

所以，CQ=±6（）（负值舍去），

所以，CE=CO+QE=60+L68=6L68（米），

答：风筝的高度CE为61.68米.

20.解：由题意得：/8=90°,

*•*BC=8m,80=6〃？，

・••CD=7BC2+BD2=A/82+62=10,,N

VJC=17/