2025-2026学年江西上饶余干县蓝天中学高二上学期9月考数学试题含答案

高中蓝天中学高二年级第一次月考数学试卷一、单选题1.已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面2.点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（）个A.0 B.1 C.2 D.无数3.已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（）A.0 B. C. D.4.在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A.2 B.2 C.4 D.45.已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（）A. B.6 C. D.46.过点且与直线斜率相等的直线方程为（）A. B.C. D.7.若直线与直线互相平行，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或-18.已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.二、多选题9.在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（）A. B.C.平面平面 D.平面平面10.已知直线，直线，则（）A.当时，与交点为B直线恒过点C若，则D.存在，使11.已知点，且点直线上，则（）A.存在点，使得B.存在点，使得C.最小值为D.若，则的最小值为1三、填空题12.如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________.13.已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为____________.14.直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______.四、解答题15.如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系．16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，．（1）证明：BD⏊平面PAC；（2）求三棱锥的表面积．17.已知，，三点．（1）若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．（2）三点可能共线吗？若能，求出m值．18.根据下列条件，写出直线方程的一般式：（1）经过点，且倾斜角为；（2）经过点和点（3）经过点，在x，y轴上有相等的截距．19.已知三个顶点分别为，，.（1）求边上的高线长；（2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程.

蓝天中学高二年级第一次月考数学试卷一、单选题1.已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可.【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行.故选：D2.点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（）个A.0 B.1 C.2 D.无数【答案】B【解析】【分析】假设过点P且平行于平面平面有两个，可判断重合.【详解】假设过点P且平行于平面的平面有两个，则由面面平行的性质知，又都过P点，故重合，所以过点P且平行于平面的平面只有一个.故选：B3.已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正方体可得，可得是异面直线直线与所成的角，进而求解即可.【详解】在正方体中，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，又易得是等边三角形，所以，所以，所以直线与所成角的正弦值为.故选：D.4.在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A.2 B.2 C.4 D.4【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案.【详解】如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，因为PC＝4，所以，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有，所以PM的最小值为.故选：B.5.已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（）A. B.6 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解.【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，又因为，则，解得.故选：C.6.过点且与直线斜率相等直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程.【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得．故选：A．7.若直线与直线互相平行，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1【答案】A【解析】【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.【详解】因为直线与直线互相平行，所以有且，解得，故选：A8.已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积.【详解】取的中点，连接，，因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，所以⊥，⊥，因为平面平面，交线为，且平面，所以⊥平面，在上取点，使得，故为等边三角形中心，该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为，其中，，，设，连接，过点作⊥于点，则，，，设，则，即，解得，所以，该三棱锥外接球的表面积是.故选：C二、多选题9.在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（）A. B.C.平面平面 D.平面平面【答案】BD【解析】【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误；由题得，，，所以，所以，B正确；因为平面，平面，，且在平面与平面的交线上，与不垂直，所以平面与平面不垂直，C错误；因为是正三角形，是的中点，所以，又，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，D正确．故选：BD.10.已知直线，直线，则（）A.当时，与的交点为B.直线恒过点C.若，则D.存在，使【答案】ABC【解析】【分析】A选项，联立两直线方程，求出交点坐标；B选项，变形得到，从而得到，求出定点坐标；C选项，根据两直线垂直得到方程，求出；D选项，根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到结论.【详解】对于A，当时，直线，直线，联立，解得，所以两直线的交点为，故A正确；对于B，直线，即，令，即，所以直线恒过点，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D，假设存在，使，则，解得或，当，，，两直线重合，舍去，当时，，即，，即，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误．故选：ABC．11.已知点，且点在直线上，则（）A.存在点，使得B.存在点，使得C.的最小值为D.若，则的最小值为1【答案】BC【解析】【分析】对于A，设，分，和且三类情况，利用斜率判断与是否垂直即可；对于B，设，通过将坐标代入等式，利用方程有实根即可判断；对于C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于D，通过消元后化成二次函数，利用其性质求得最小值即可判断.【详解】对于A：依题意，设，当时，，此时轴，但，此时与不垂直；同理当时，，此时与不垂直；而当且时，由，可得该方程无实数解，此时与不垂直.综上可知，不存在点，使得，故A错误；对于B：设，由，，可得，化简得，因，则方程有解，故存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当三点共线时取等号（两点之间），故C正确：对于D，因，则，当时等号成立，故的最小值为2，故D错误.故选：BC.三、填空题12.如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积.【详解】因为正方形为一个平面图形的水平直观图，所以可得原图形是一平行四边形，且，，，所以平行四边形的面积为.故答案为：.13.已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为____________.【答案】【解析】【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率，所以直线l的倾斜角为.故答案为：14.直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】数形结合即可求得的取值范围.【详解】由题可知，当直线经过点时，当直线经过点时，当直线与线段没有公共点，则或.故答案为：.四、解答题15.如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系．【答案】（1）证明见解析；（2）平面平面，证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，交于，易得，再由线面平行的判定证明结论；（2）先证，利用线面平行的判定得平面，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行.【小问1详解】连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点，又E为的中点，则，平面，平面，所以平面；【小问2详解】平面平面，证明如下：由F为的中点，连接；E为的中点，易知，所以为平行四边形，则，由平面，平面，则平面，由（1）平面，且，平面，所以平面平面.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，．（1）证明：BD⏊平面PAC；（2）求三棱锥的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得证，然后由线面垂直的判定定理得证结论；（2）证明三棱锥的四个面都是直角三角形，然后计算表面积．【小问1详解】∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又底面ABCD为正方形，∴，又，平面，∴平面PAC；【小问2详解】连接PO，∵平面ABCD，平面，∴，，∴，为直角三角形，同理由（1）中平面PAC可得为直角三角形，又是直角三角形，由题意可得，，，其表面积∴三棱锥的表面积为．17.已知，，三点．（1）若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．（2）三点可能共线吗？若能，求出m值．【答案】（1）1（2）3【解析】【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解；（2）三点共线，则，结合斜率公式即可求解.【小问1详解】过两点的直线斜率，所以，解得.【小问2详解】，，若三点共线，则，即，解得，所以当时，三点共线.18.根据下列条件，写出直线方程的一般式：（1）经过点，且倾斜角为；（2）经过点和点（3）经过点，在x，y轴上有相等的截距．【答案】（1）（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可；（2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；（3）分截距0和不为0两种情况求解.【小问1详解】因为直线经过点，且倾斜角为，所以直线的斜率为，则直线方程为，所以直线的一般方程为；【小问2详解】因为直线经过点和点，所以直线斜率为，直线方程为，所以直线的一般式方程为；【小问3详解】当直线在x，y轴上截距都为0时，设直线方程为，则，得，设直线方程为，即；当直线在x，y轴上截距都不为0时，由题设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的一般式方程为,综上所述，所求直线为或.19.已知三个顶点分别为，，.（1）求边上的高线长；（2）过内一点有