七年级上册数学知识点归纳

七年级上册数学知识点归纳第一章有理数一、正数与负数1.概念大于0的数叫做正数，正数前面可以加“+”号（可省略）；小于0的数叫做负数，负数前面必须加“-”号；0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界，具有实际意义（如表示“没有”“基准数”等）。提示：负数的引入是为了表示具有相反意义的量，如“上升5米”与“下降3米”可分别表示为+5米和-3米，描述时需先明确基准和相反意义的方向。2.应用用正负数表示实际问题中具有相反意义的量，如温度（零上为正、零下为负）、海拔（高于海平面为正、低于为负）、收入与支出（收入为正、支出为负）等。二、有理数的分类1.按定义分类整数：正整数、0、负整数的统称，如1、0、-2等。分数：正分数和负分数的统称，如1/2、-3/4、0.6（有限小数）、0.333…（无限循环小数）等（注意：无限不循环小数不是有理数，如π）。2.按性质分类正有理数：正整数和正分数，如3、5/7。0：单独一类。负有理数：负整数和负分数，如-1、-2/3。三、数轴1.定义规定了原点（0的位置）、正方向（通常向右）和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素缺一不可，是数形结合的重要工具。2.数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（还可表示无理数，如π对应的点）。数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。四、相反数1.概念只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。例如，2与-2互为相反数，a的相反数是-a。2.几何意义在数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称，且到原点的距离相等。3.性质互为相反数的两个数相加得0，即a+(-a)=0；若a+b=0，则a与b互为相反数。五、绝对值1.定义数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。绝对值是“距离”，所以一定是非负数（≥0）。2.绝对值的计算法则当a是正数时，|a|=a；当a是0时，|a|=0；当a是负数时，|a|=-a（此处“-a”表示a的相反数，实际为正数）。易错点：|a|=3时，a的值为3或-3，注意绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数。3.性质①绝对值具有非负性：|a|≥0；②若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（几个非负数的和为0，每个非负数都为0）；③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，如-5与-3，|-5|=5＞|-3|=3，所以-5＜-3。六、有理数的加减法1.有理数的加法（1）法则同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加，如(+3)+(+2)=5，(-3)+(-2)=-5；异号两数相加：取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如(+3)+(-2)=1，(-3)+(+2)=-1；一个数与0相加：仍得这个数，如0+(-5)=-5。（2）运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（可用于简便计算，如将互为相反数的数、和为整数的数结合）。2.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。通过此法则可将减法转化为加法计算，如3-5=3+(-5)=-2，(-3)-(-2)=(-3)+2=-1。七、有理数的乘除法1.有理数的乘法（1）法则同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0，如(-3)×0=0；几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负，如(-1)×(-2)×(-3)=-6（3个负因数，积为负）。（2）运算律乘法交换律：a×b=b×a；乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（常用于简便计算，如(-2)×(3+1/2)=(-2)×3+(-2)×(1/2)=-6-1=-7）。2.有理数的除法（1）法则除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）；同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0，0不能作除数。（2）混合运算乘除混合运算时，从左到右依次进行，或统一转化为乘法后再计算，如(-8)÷2×(-3)=(-4)×(-3)=12或(-8)×(1/2)×(-3)=12。八、有理数的乘方1.概念求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次幂”或“a的n次方”，如(-2)³表示3个-2相乘，底数是-2，指数是3，结果为-8。2.运算法则正数的任何次幂都是正数，如2³=8；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数，如(-2)³=-8，(-2)⁴=16；0的任何正整数次幂都是0，如0⁵=0；1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。易错点：区分(-a)ⁿ与-aⁿ，如(-2)²=4，而-2²=-4（后者表示2²的相反数）。九、有理数的混合运算运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次进行；③有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。例如：18-3²×(-2)+4÷(-1/2)=18-9×(-2)+4×(-2)=18+18-8=28。十、科学记数法与近似数1.科学记数法把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。例如，1300000=1.3×10⁶（n等于原数的整数位数减1，1300000是7位整数，n=6）。2.近似数实际问题中，测量或计算得到的与准确值接近的数叫做近似数。近似数的精确度表示其与准确值的接近程度，如“3.14”精确到百分位（0.01），“2.5×10³”精确到百位。取近似数的方法通常是“四舍五入法”，如将3.14159精确到十分位是3.1，精确到千分位是3.142。第二章整式的加减一、整式的相关概念1.单项式（1）定义由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，如3、a、-5xy等。（2）系数与次数系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，如-5xy的系数是-5；单独一个字母的系数是1（如a的系数是1），单独一个数的系数是它本身（如-3的系数是-3）。次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，如-5xy中x的指数是1，y的指数是1，次数为1+1=2；3²x²y的次数是2+1=3（注意：数字的指数不算，只算字母的指数）。2.多项式（1）定义几个单项式的和叫做多项式，如2x+3y、x²-2x+1等。多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，如x²-2x+1的项是x²、-2x、1，常数项是1。（2）次数多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数，如x²-2x+1中次数最高的项是x²（次数为2），所以该多项式是二次三项式；3x³y+2xy-1是四次三项式（3x³y的次数是3+1=4）。3.整式单项式和多项式统称为整式。注意：含有分母且分母中含字母的代数式不是整式，如1/x、(x+1)/y等。二、同类项1.概念所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项，如2x²y与-5x²y是同类项（字母x、y相同，x的指数都是2，y的指数都是1）；3与-7是同类项。2.合并同类项（1）法则合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变，如2x²y+(-5x²y)=(2-5)x²y=-3x²y；3x+2x-5x=(3+2-5)x=0。（2）步骤①找出同类项；②利用加法交换律和结合律将同类项结合；③合并同类项；④整理结果（按字母顺序排列，一般降幂排列）。三、去括号法则括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变，如a+(b-c)=a+b-c；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，如a-(b-c)=a-b+c。提示：去括号时，若括号前有数字因数，需先利用乘法分配律将数字因数乘到括号内，再去括号，如2(a-2b)-3(2a+b)=2a-4b-6a-3b=-4a-7b。四、整式的加减整式的加减实质就是去括号和合并同类项。一般步骤：①根据题意列出代数式；②去括号（注意符号变化）；③合并同类项（将结果化为最简形式）。例如，求2(x²+3x)与(x²-2x+1)的差：2(x²+3x)-(x²-2x+1)=2x²+6x-x²+2x-1=x²+8x-1。第三章一元一次方程一、方程的相关概念1.方程含有未知数的等式叫做方程，如2x+3=7、x-5=2x等。方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。2.一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。其标准形式为ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0），如3x-4=0、(x-2)/3=1等。3.方程的解与解方程方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如x=2是2x+3=7的解（代入得2×2+3=7，等式成立）。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。二、等式的性质1.性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果a=b，那么a±c=b±c。例如，由x+5=8，两边减5得x=3。2.性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。例如，由3x=12，两边除以3得x=4；由x/2=5，两边乘2得x=10。易错点：等式两边除以的数不能为0，否则无意义。三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤（根据等式性质，逐步将方程转化为x=a的形式）：去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，消去分母（注意：不含分母的项也要乘，分子是多项式时要加括号）。例如，解方程(x-1)/2-(2x+3)/3=1，两边乘6得3(x-1)-2(2x+3)=6。去括号：根据去括号法则去掉方程中的括号，注意符号和数字因数的分配。承接上例，去括号得3x-3-4x-6=6。移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号（“过桥变号”）。承接上例，移项得3x-4x=6+3+6。合并同类项：将同类项合并，化为ax=b（a≠0）的形式。承接上例，合并同类项得-x=15。系数化为1：在方程两边除以未知数的系数a，得x=b/a。承接上例，两边除以-1得x=-15。注意：具体解题时，步骤可根据方程的特点灵活调整，如方程无分母则省去“去分母”步骤。四、一元一次方程的应用1.列方程解应用题的一般步骤审：审题，明确题目中的已知量、未知量及数量关系（找出等量关系是关键）；设：设未知数（直接设未知数或间接设未知数，一般设“谁”就设谁为x，复杂问题可设中间量）；列：根据等量关系列出一元一次方程；解：解所列方程，求出未知数的值；验：检验所求值是否符合方程和实际意义（如人数、长度不能为负数）；答：写出答案（带单位）。2.常见应用题类型及等量关系类型核心等量关系示例行程问题路程=速度×时间；相遇问题：路程和=速度和×时间；追及问题：路程差=速度差×时间甲、乙两地相距360km，客车每小时行60km，货车每小时行40km，两车同时从两地相向而行，几小时后相遇？设x小时后相遇，列方程：(60+40)x=360工程问题工作总量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总工作量（通常设总工作量为1）一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，两人合作几天完成？设x天完成，列方程：(1/10+1/15)x=1利润问题利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；售价=进价×(1+利润率)一件商品进价200元，按利润率20%定价销售，售价多少？设售价为x元，列方程：(x-200)/200=20%和差倍分问题根据“和、差、倍、分”关系直接列方程，如A是B的n倍：A=nB；A比B多m：A=B+m某数的3倍比它的2倍多5，求这个数。设这个数为x，列方程：3x-2x=5数字问题两位数=十位数字×10+个位数字；三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字一个两位数，十位数字比个位数字大2，个位数字与十位数字的和是8，求这个数。设个位数字为x，十位数字为x+2，列方程：x+(x+2)=8第四章几何图形初步一、几何图形1.立体图形与平面图形立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等（可简称“立体”）。平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。2.立体图形的展开图有些立体图形是由几个平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形叫做该立体图形的展开图。例如，正方体的展开图有11种基本形式（“一四一”型、“三三”型、“二二二”型），圆锥的展开图是一个扇形和一个圆，圆柱的展开图是两个圆和一个长方形。3.点、线、面、体几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。①点动成线，线动成面，面动成体；②面与面相交得到线，线与线相交得到点。例如，笔尖（点）在纸上移动形成线，汽车雨刷（线）摆动形成面，直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥（体）。二、直线、射线、线段1.直线（1）概念与表示直线没有端点，可以向两边无限延伸，无法度量长度。表示方法：①用直线上两个点的大写字母表示，如直线AB（或直线BA）；②用一个小写字母表示，如直线l。（2）性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即“两点确定一条直线”。应用：如钉木条时钉两个钉子固定，建筑工人砌墙时用重垂线确定直线。2.射线射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸，无法度量长度。表示方法：用端点和射线上另一个点的大写字母表示，端点字母在前，如射线OA（不能表示为射线AO，因为方向不同）。3.线段（1）概念与表示线段有两个端点，不能延伸，可以度量长度。表示方法：①用线段两端点的大写字母表示，如线段AB（或线段BA）；②用一个小写字母表示，如线段a。（2）性质两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。应用：如从A地到B地走直路最近，就是利用此性质。（3）线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。若点M是线段AB的中点，则AM=MB=1/2AB，或AB=2AM=2MB。例如，AB=6cm，M是AB中点，则AM=3cm。（4）线段的比较与计算比较线段长短的方法：①度量法（用刻度尺量长度比较）；②叠合法（将线段重合，看端点位置）。线段的计算：根据线段的和、差、倍、分关系计算，如AB=AC+CB，或AC=AB-CB。三、角1.角的概念与表示（1）概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。（2）表示方法用三个大写字母表示（顶点字母在中间），如∠AOB（O为顶点）；用顶点字母表示（顶点唯一时），如∠O；用数字表示，如∠1；用希腊字母表示，如∠α。2.角的度量角的度量单位是度、分、秒，它们之间的换算关系是：1°=60′，1′=60″（六十进制）。例如，1.5°=1°30′，30′=0.5°，2°15′=2.25°。测量角的工具是量角器。3.角的比较与运算（1）角的比较方法：①度量法（用量角器量出度数比较，度数大的角大）；②叠合法（将两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置，另一条边在外面的角大）。（2）角的和差若∠AOC=∠AOB+∠BOC，则∠AOB=∠AOC-∠BOC，∠BOC=∠AOC-∠AOB。例如，∠AOC=120°，∠AOB=50°，则∠BOC=120°-50°=70°。（3）角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。例如，∠AOB=80°，OC平分∠AOB，则∠AOC=40°。4.余角与补角（1）余角如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。性质：同角（或等角）的余角相等。例如，∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。（2）补角如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。性质：同角（或等角）的补角相等。例如，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=180°，则∠β=∠γ。提示：一个