中考数学二次函数压轴题专项练习：实际应用之球类运动问题（解析版）

中考微君二法函微

实际应用之球类运动问题

例.（2024•渭城区一模）如图，春节期间，小林燃放一种手持烟花，烟花弹的

飞行路径可近似看作抛物线形状，喷射出时距地面2米，烟花在与他水平距

离20米，达到最大高度18米时爆炸.若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹）

,会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民

楼（截面矩形力筋与抛物线在同一平面上）.

（1）求该抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围），若是哑弹，会落

在距该居民楼底部多少米的外墙或窗户上？请通过计算说明；

（2）小林沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗

户上？

【解答】解：（1）•・•烟花在与小林水平距离20米，达到最大高度18米时爆

炸，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，

・・・抛物线的顶点坐标为（20,18）.

设抛物线的函数表达式为y=a（x-20）2+18.

•・•经过点（0,2）,

・・・400a+18=2.

解得：a=-0.04.

・・・抛物线的函数表达式为尸-0.04（x-20）2+18.

当x=33时，y=・0.04（33-20）2+18=11.24.

V11.24<15,

，哑弹会落在距该居民楼底部IL24米的外墙或窗户上.

答：抛物线的函数表达式为y=-0.04（彳-2。）2+18,若是哑弹，会落在距

该居民楼底部11.24米的外墙或窗户上；

（2）设小林沿x轴负半轴至少后退/〃米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或

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窗户上，

・•・抛物线解析式为：7=-0.04（X-20+加2+18.

・・,要落在居民楼的外部，

・・・抛物线经过点（33,0）.

・•・-0.04（13+勿）2+18=0.

（13+M2=450,

解得：加尸15&-13,仞=~15V2-13（不合题意，舍去）.

答：小林沿x轴负半轴至少后退（15加-13）米，才能避免哑弹落在居民楼

的外墙或窗户上.

对应练习：

1.（2024秋•长安区校级期中）【情境探究】小明和小强做弹力球游戏.游戏

规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放

置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板

触碰），否则小明胜.

【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示.一次游

戏过程中：小明站在起点。处抛弹力球，以。为坐标原点，水平方向直线和

竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米

的月处抛出，第一次落地前，球在距离起点。水平距离为2勿处，达到飞行最

大高度为3.6加，弹力球在夕处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离比三

4米，且飞行的最大高度为第一次的一半.

【问题解决】

（1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式；

（2）小强在距起点8米处放置接球板抄；分垂直地面于点'且"'=1勿，

请通过计算判断谁会获胜.

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【解答】解：(1)由题意：设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：尸

a(x-2)2+3.6,

把力(0,2)代入尸a(x-2)2+3.6,得：2=aX(0-2)2+3.6,

解得：a=-0.4,

：.y=-0.4(x-2)2+3.6；

(2)令p=0,得0=-0.4(x-2)2+3.6,解得：%i=5,x2=-1,

：.B(5,0),

•:BC=4,且飞行的最大高度为第一次的一半.

・•・设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：尸/〃(x-7)2+1.8,

把4(5,0)代入得：0=/〃(5-7)2+1.8,解得：加=-0.45,

：.y=-0.45(x・7)2+1.8,

把x=8代入y=-0.45(%-7)2+1.8,得y=1.35,

V1.35>1,

・・・小强的接球板没有触碰到球，小明获胜.

2.(2024•石家庄模拟)一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高空

9

米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大

高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米.

(1)按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；

(2)小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由；

(3)假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退

多少米才能命中篮圈中心？

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【解答】解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4,4),球出手时的

坐标为(0,空)，

9

设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4,

将(0,20)代入得：16>4=空，

99

解得：a=-A,

9

y=~—(x-4)。+4；

9

(2)Vy=-1(x-4)2+4,

9

・••当x=8时，尸-山(8-4)2+4=空工3,

99

・••小明的这次投篮未能命中篮圈中心；

(3)•・•出手的角度和力度都不变，

工设抛物线的解析式为尸-工(x-4+勿)2+4,

9

将(8,3)代入得：3=-1(8-4+M2+4,

9

(4+加2=9,

解得：/〃i=-1,啦=-7,

・・・向前走7米，因为原来是八米，向前七米，还剩一米呢！应该是球处于上

升趋势，故舍去.

・••小明应该向前走1米才能命中篮圈中心.

3.(2024•深圳模拟)将小球(看作一点)以速度匕竖直上抛，上升速度随时

间推移逐渐减少直至为0,此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度

y(加与时间t(s)的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v\5Vs

)与时间t(s)的积，另一部分与时间t(s)的平方成正比.若上升的初始

速度-=10勿/s,且当£=ls时，小球达到最大高度.

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（1）求小球上升的高度y与时间I的函数关系式（不必写范围），并写出小

球上升的最大高度；

（2）如图，平面直角坐标系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表

示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀

速度电（加/s）,发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度产（

加与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同.

①若i，2=5m/s,当t^s时，小球的坐标为（①，—），小球上升的

最高点坐标为（5,5）:求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距

离x之间的函数关系式；

②在小球的正前方的墙上有一高翌1r的小窗户其上沿2的坐标为（6,工

364

）,若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好去中点〃，。，墙厚度不计），

请直接写出小球的水平速度唆的取值范围.

【解答】解：（1）根据题意可设y=a步+10£,

・・・当£=ls时，小球达到最大高度,

・••抛物线尸"+10E的对称轴为直线£=1,即-也=1,

2a

解得a=-5,

・•・上升的高度y与时间看的函数关系式为尸-5式+102

在尸-5步+101中，令「=1得y=5,

・••小球上升的最大高度是5创

（2）①当时，y=-5X（2）2+10义3=型，

2224

x=i^f=5X—=—,

22

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・・・小球的坐标为（①，至）；

24

由（1）可知，t=ls时，取得最大高度，

x=【攵力=5义1=5,

.，・小球上升的最高点坐标为（5,5）；

由题意可知，x=v21,

・Xx

v25

：.y=-5X（A）24ioxA=-_l/+2x；

555

・,•小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式是尸-

工卢+2%

5

故答案为：（生，」立）；（5,5）；

24

②•：PQ=至m,尸的坐标为（6,至），

364

・・.0（6,空）；

9

当小球刚好击中〃点时，・5£2+101=工，

4

解得1=1.5或1=0.5,

当2=0.5时，v<2=§~=>2mfs,

t

当6=1.5,V2=—=Am/s,

t

当小球刚好击中0点时，-5步+101=空，

9

解得［=9或t=lf

33

当［=工时，v2=-=18zzz/s,

3t

当t=—,v2=—=—m/s,

3-t5

・・・。2的取值范围为：普〈唳V4或12Vp2<18.

4.（2024秋•普兰店区期中）足球训练中球员从球门正前方9米的力处射门，

球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点,

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此时球离地面3米.现以。为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）已知球门高以为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因

素）.

y(m)

・・・抛物线的顶点坐标为（3,3）,

设抛物线尸a（x-3）2+3,把点/（9,0）代入得:

3693=0,

解得a=-A,

12

・••抛物线的函数表达式为尸-工（x-3）2+3；

12

（2）当x=0时，y=-Ax9+3=-i<2.44,

124

・••球能射进球门.

5.（2024•息烽县一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路

线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点。建立平面直角坐标系，

篮球在〃点正上方1.8勿的点尸处出手，篮球的高度y（加与水平距离x（加

之间满足函数表达式y=」x2+x+c.

8

（1）求c的值；

（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；

（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起

后，手离地面的最大高度为&=2.8/，则球在下落过程中，若小亮要想顺利

接住球，求他至少距离小明多远的距离.

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【解答】解：（1）由题意得点夕的坐标为（0,1.8）,

将〃（0,1.8）代入y=二x2+x+c得：c=L8,

8

・•・c=1.8；

(2)由(1)知c=L8,

•*-y=-4x2+x+l.8=-v(x-4)2+3.8，

oo

v-A<o,

8

・••当x=4时，y有最大值，最大值为3.8,

・•・篮球在运动过程中窗地面的最大高度为3.8优

2

(3)由y=-4-x+x+1.8^

O

令y=2.8,则-』/+户1.8=2.8,

8

解得X]=4+2近，x?=4-2近，

1W

V4-2^2<4<4+2底且在下落过程中接球,

・•・x=4+2近，

所以在球下落过程中小亮离小明的距离至少（4+3）米才能顺利接住球.

6.（2023秋•石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场

考试的选考项目之一.实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部

分.建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点力处）到落地的过

程中，其嵯直高度y（单位：加与水平距离x（单位：加近似满足二次函数

关系.

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小石进行了三次训练，每次实心球的出手点力的竖直高度为2加记实心球运

动路线的最高点为R训练成绩(实心球落地点的水平距离)为d(单位：加

.训练情况如下：

第一次训练第二次训练第三次训练

训⑦=8.39/7/di心

练

成

绩

最P\(3,2.9)P2(4,3.6)P&(3,3.4)

高

点

满22(<9<02

y^-0.1(X-3)+2.9y2=a(x-h)+ky3=-0.15(X-3)+3.4

足

的

函

数

关

系

式

根据以上信息，

(1)求第二次训练时满足的函数关系式；

(2)小石第二次训练的成绩员为10777：

(3)直接写出训练成绩4,&的大小关系.

【解答】解：(1)由题意，抛物线过点(0,2),最高点月(4,3.6),

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又抛物线为y=a(x-h)?+k(aVO)，

：.2=a(0-4)2+3.6.

/.a=-0.1.

・・・第二次训练时满足的函数关系式尸-0.1(x-4)2+3.6.

(2)由题意，由(1)第二次训练时满足的函数关系式y=-0.1(x-4)

2+3.6,

令尸0，

・・・0=-0.1(%-4)2+3.6.

^=10或x=-2(x=-2不合题意，舍去).

・•・小石第二次训练的成绩&为10叽

故答案为：10.

(3)由题意，i5(x-3)2+3.4，

W

令7=0,

di=x=l.76m.

又d=8.39m,的=10m,&=7.76m,

••&<d\Vd?.

7.(2024秋•昆明期中)2024年9月20日消息，上海女足获得2024笫三届中

国青少年足球联赛(女子高中年龄段川8组)冠军.在一次足球训练中，运

动员张洁从球门正前方11勿的点。处起脚射门，足球射向球门的运行路线是

一条抛物线.当足球飞行的水平距离为6〃/时，足球达到最高点，此时足球离

地面3/〃.已知球门高力方为2.44/，现以点。为原点建立如图所示平面直角坐

标系.

(1)求抛物线的函数解析式：

(2)说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？

中考微君二法函微

【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为：（6,3）,

设抛物线的解析式为：y=a（x-6）2+3（aWO）,

•・•经过点（0,0）,

.*.36^4-3=0,

解得：a=-

12

・•・抛物线的函数解析式为：尸-工（彳-6）为3；

12

（2）此次射门在不受干扰的情况下能进球.

理由：当x=ll时，y=--Lx（11-6）2+3=-至+3=11,

121212

vll<2.44,

12

・•・此次射门在不受干扰的情况下能进球.

8.（2024秋•婺城区校级期中）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训

练，水面边缘点E的坐标为（-1,-10）,运动员（将运动员看成一点）在

空中运动的路线是经过原点。的抛物线.在跳某个规定动作时，运动员在空

中最高处4点的坐标为（旦，-上），正常情况下，运动员在距水面高度5米之

（416；

前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，

运动员入水后，运动路线为另一条抛物线.

（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点4的坐标

（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问

该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.

中考微君二法函微

(3)在该运动员入水点的正前方有A/,N两点，且EM=7,EN=9,该运动

员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=(x-A)2+匕若该运动员出水

点。在之间(包括M,N两点)，则〃的取值范围是・14W%W・U.

【解答】解：(1)设空中运动的抛物线解析式为歹=。Cv--|)2+A,

・・•抛物线经过原点，

/.-5-47+—=0,

1616

解得4=-1,

J抛物线的解析式为片-声斗；

2

当歹=-10时，-/+2工=-10,

-2

解工=4或工=-立，

2

:,B(4,-10)；

(2)VE(-1,-10),运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点El勺水

平距离为4米，

・,・运动员调整入水姿势的点的横坐标为3,

当x=3时，y=-9+^X3=-9,

22

・••调整点的坐标为3,-9),

2

.・•运动员此时距离水面10-(〃?)，

22

vll>5,

2

・・・运动员此次跳水不会失误；

中考微君二法函微

(3)•:EM=1,EN=9,E(-1,-10),

：.M(6,-10),N(8,-10),

・・・入水点8(4,-10),

A-10=(4-h)z-k,

当抛物线经过点用Ibj,-10=(6-〃)2+女，

解得女=-11,h=5,

当抛物线经过点N时，-10=(8-/2)

解得k=-14,h=6,

•・•出水点。在MN之间(包括“，N两点)，

・•・・14WZW-11.

9.(2024秋•西城区校级期中)排球场的长度为18阳，球网在场地中央且高度

为2.24"排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示

的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y(单位加)与水平距离》(

单位：〃7)近似满足函数关系(x-A)2+k(〃V0).

(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m02461115

竖直图度y/m2.482.722.82.721.820.38

①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系(x-h)2+k(a<0)；

②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由.

(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度歹(单位:〃z)与水

平距离x(单位：加近似满足函数关系y=-0.02(x-4)2+2.88,请问该运

动员此次发球是否出界，并说明理由.

球网

左边界右边界

【解答】解：(1)①由表中数据可得顶点(4,2.8),

设尸a(x-4)2+2.8设V0),把(0,2.48)代入得:

中考微考二法函熬

16。+2.8=2.48,

解得：a=-0.02,

・••所求函数关系为y=-0.02（x-4）2+2.8,

，所求函数关系为）=・0.02（x-4）2+2.8；

②该运动员第一次发球能过网；理由如下：

当x=9时,y=-0.02（9-4）2+2.8=2.3>2.24,

・,・该运动员第一次发球能过网；

（2）该运动员此次发球没有出界；理由如下：

第二次发球：y=-0.02（x-4）2+2.88,

令y=0,则・0.02（x-4）2+2.88=0,

解得占=-8（舍），M=16,

VX2=16<18,

・••该运动员此次发球没有出界.

10.（2024•吴兴区二模）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的

同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的

分析.如图，在平面直角坐标系中，点/在x轴上，球网48与y轴的水平距

离。力=3〃7,击球点。在y轴上.

击球方案：

扣球羽毛球的飞行高度y与水平距离x（相）近似满足一次函

数关系G：》=-OAx+b,当羽毛球的水平距离为\m时，飞

行高度为24〃.

吊球羽毛球的飞行高度歹（机）与水平距离X（加）近似满足二次函

数关系。2,此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最

大高度3.2米.

高远羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离X（〃力近似满足二次函

球数关系Q：y=a（x-〃）2+A,且K行的最大高度在4.8〃z和

5.8/w之间.

探究：

（1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式;

中考微君二法函微

(2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少；

②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；

(3)通过对本次训冻进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站

在离球网4加处，他可前后移动各1机，接球的高度为2.8〃?，要使得这类高远

球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式。的取值范围.

【解答】解：(1)Vy=-0.4x+Z>,直线经过点(1,2.4),

・•・-0.4+6=24

解得：6=2.8.

・••扣球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：p=-0.4X+2.8.

・•・点2的坐标为(0,2.8).

吊球时,设歹=。(x-1)2+3.2.

•・•抛物线经过点(0,2.8),

・・・2.8=。(0-1)2+3.2.

解得：a=-0.4.

・,•吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y=・0.4(x-1)2+3.2.

(2)①当x=3时，y=-04X3+2.8=L6.

答：球网44的高度为1.6米.

②当y=O时，。=-04(r-1)2+3.2.

解得：Xi=1+2^2,x2=\-2^2(不合题意，舍去).

・,•羽毛球落地点到球网的距离为1+2近・3=(272-2)米.

(3)①接球点为(6,2.8).

若最大高度为5.8,那么。的值最小.

:点尸的坐标为(0,2.8),

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工〃=3.

：.y=a(x-3)2+5.8.

・•・2.8=。(6-3)2+5.8.

解得：a=-l.

3

②接球点为(8,2.8).

若最大高度为4.8,那么a的值最大.

・・•点。的坐标为(0,2.8),

・・・〃=4.

：.y=a（x-4）2+4.8.

・・・2.8=。（8-4）2+4.8.

解得:a=-k

8

・•.〃的取值范围为：-

38

11.（2024秋•西城区校级期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出

后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.如图建立平面直角坐标系，羽毛

球从。点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度歹（单位：加）与水平

距离x（单位：相）之间近似满足函数关系y=q（x-〃）2+k（a<0）.

比赛中，甲同学连续进行了两次发球.

（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数

据如下：

水平距离x/m0123456

竖直高度y/〃712.7544.7554.754

根据以上数据，回答下列问题：

①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是4加；

②在水平距离5m处，放置一个高1.55〃?的球网，羽毛球是（填“是”

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或“否”)可以过网；

③求出满足的函数关系Cx-h)2+k(a<0)；

(2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足

函数关系>=-0.25・4.5)2+5.2.乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使

得球拍达到最大高度2.75m时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的

水平为离为4,第二次接球的起跳点的水平杷离为刈，则力>0(填

“V"或“=”).

【解答】解：(1)①由表格中数据知，当工=3和x=5时，y=4.75,

，对称轴为x=4,顶点坐标为(4,5),

・•・当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是4〃7,

故答案为:4；

②•・•当x=5时，y=4.75>1.55,

・・・羽毛球是可以过网，

故答案为：是；

③,・Z=4,k=5,

••y=a(x-4)2+5,

把x=0,y=l代入解析式得，a(0-4)2+5=1,

解得〃=-0.25,

：.y=-0.25(x-4)2+5；

(2)在第一次接球中，当y=2.75时，

则-0.25(x-4)2+5=2.75,

解得修=7,-2=1，

•・•接球时球越过球网，

:・4=7,

在第二次接球中，当歹=2.75时，

则-0.2(x-4.5)2+5.2=2.75,

解得=1,M=8,

•・•接球时球越过球网，

・"2=8,

中考微君二法函微

二刈一力=8-7=1>0.

故答案为：>.

12.(2024秋•和静县校级期中)如图，已知排球场的长度。。为18米，位于

球场中线处球网的高度48为2.4米，一队员站在点。处发球，排球从点O

的正上方1.6米的。点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE

为6米时，到达最高点G建立如图所不的平面直角坐标系.

(1)当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网04〃的点尸处有一队员

,他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说

明.

(2)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度。的取值

范围是多少？(排球压线属于没出界)

八y

o------*---------1I---------------------1■>

uEAFDx

【解答】解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(6,3.4),

设抛物线解析式为(x-6)2+3.4,

将点。(0,1.6)代入，得：36。+3.4=1.6,

解得：a="-,

20

・・・排球飞行的高度)与水平距离x的函数关系式为尸-击(x-6)2+?

由题意当％=9.4