【高考数学 热点题型】第7讲 压轴小题导数技巧：求参12类热点题型归纳（原卷及答案）-高考数学 热点题型归纳与交式演练

第7讲压轴小题导数技巧：求参12类热点题型归纳

目录

【题型一】求参1：基础讨论型...........................................................2

【题型二】求参2：分离参数型...........................................................2

【题型三】求参3：零点型...............................................................3

【题型四】求参4：构造函数型...........................................................3

【题型五】求参5：“分函最值”基础型....................................................4

【题型六】求参6：“分函值域子集”型....................................................5

【题型七】求参7：保值函数.............................................................6

【题型八】求参8：分离参数之“洛必达法”与放缩型......................................7

【题型九】求参9：整数解求参...........................................................7

【题型十】求参数10：隐零点型..........................................................8

【题型十一】求参11：复合函数（嵌套函数）型...........................................9

【题型十二】求参12：绝对值型.........................................................10

二、真题再现...........................................................................10

三、模拟检测...........................................................................11

【题型一】求参1:基础讨论型

【典例分析】

若对任意(0，+<»),不等式Nx-〃An(2/n)-〃“nxK)恒成立，则实数机的最大值()

A.yfeB.eC.2eD.e2

【提分秘籍】

基本规律

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

L移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。

2.讨论点的寻找是关键。

3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围

【变式演练】

1.已知函数-ar+1,xe(o,4^),若f(x)有最小值，则实数〃的取值范围是

「23、(2-

A.自y)B.(e,+<Q)C.一〃,+ooD.-e=*o

「)\/

2.若关于A的不等式""之lnx+,〃对一切正实数X恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.(fg)B.(-oo,

e]C.(5]D.(-oo,2]

3.已知函数小)=加；刎3­-av2+l,xe(0,4^o),若外“有最小值，则实数〃的取值范围是

、「2工、(2白1

A.[e,+x)B.(e,«Q)C.D.-e\4-001

【题型二】求参2：分离参数型

【典例分析】

已知不等式代川-工2吊工+2〃?+3对立€(0,"0)恒成立，则〃，取值范围为()

A.m<--B.m>--C.in<-2D.m>-2

22

【提分秘籍】

基本规律

分离参数是属于“暴力计算”型方法，分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最

值来求解参数的取值范围。

1.分离参数思维简单，不需过多思考；

2.参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂

3.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶。。等等求导.

【变式演练】

1.已知函数/(x)=g-Alnx,当x>l时，不等式/(刈1+1恒成立，则左的取值范围是

X

A.(-<o,-e]B.(-oo,-4]C.D.(-oo,0]

2.关于x的方程(h7)/+41nx-5+攵=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是_________

3.已知函数/'("="©7遥3Tl^+丘，且/(”之网”对任意的代包*0)恒成立，则实数人的最大值为

【题型三】求参3：零点型

【典例分析】

已知函数/(同=2优'-©“/至多有2个不同的零点，则实数。的最大值为

A.0B.1C.2D.e

【提分秘籍】

基本规律

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知

识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可

以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合

思想研究；③构造辅助函数研究.

【变式演练】

rr<Q

1.已知函数/("='",若函数g(x)=/(x)—/(r)有5个零点，则实数4的取值范围是()

Cc111/V/

A.(-e>0)B.f--,0C.S，-e)D.卜巴一目

2,若函数/3=上+。5+/?1+%2-犬］"0有零点，则Z?的取值范围是（)

A.(-oo,-l]B.[-1,0)

C.(-0),0)D.(0,+动

x2-4ax+4,x<0

3.已知函数lnx+2av,A>0恰有两个零点，则实数。的取值范围是（)

1

A.-30,---JB.(-oo>-l)U—,0

2H'°e

C.(-00,D.W，。川,+8）

【题型四】求参4：构造函数型

【典例分析】

对于任意司，七£口，+8），当天>不时，恒有。In2<2（%-百）成立；则实数。的取值范围是（）

x\

A.(YO,0]B.(F,l]C.(-co,2]D.(-8,3]

【提分秘籍】

基本规律

一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式再求导研究，以达到“化繁为简”的目的

【变式演练】

L对于任意芭，々£[1，+8)，当工2＞内时，恒有。皿£＜2(4-内)成立；则实数。的取值范围是()

x\

A.(3,()1B.(YO,1]C.(-co,2]D.(-8,3]

2.已知变量和毛(心0),且$＜占，若萄力＜々*恒成立，则m的最大值______.

3.已知函数〃x)=lnx-2以，g(x)二丑二-2x,若方程=g(x)恰有三个不相等的实根，则。的

\nx

取值范围为()

A.(0,6?]B.^0,-^—C.(e,~Ko)D.0,-1

【题型五】求参5：“分函最值”基础型

【典例分析】

已知/(x)=xer+，+e2,月(％)=-(%++aln(x+l),若存在％£R,毛€(-1,-KO),使得/(外)气(三)成立,

则实数。的取值范围是.

【提分秘籍】

基本规律

此类函数，多采用两函数“取最值法”。一般地，已知函数y=y=g(x),xw[c,d]

⑴若“小,可,%£仁力,总有/a)vg(w)成立,故/(x)aVg(w)而n；

(2)若我4。,句,切Wc,d],有/(%)vg(w)成立,故"X)皿vg(wLx；

(3)若肛小,句,叫小,句,有/(xjvg(w)成立,故〃»二VgUL；

(4)若气肉，叫目Gd],有/(5)=g(w)，则/(»的值域是g(x)值域的子集.

【变式演练】

1.已知函数/。)=卜"：2，“：°,冢幻="+5—2々(女>0),若对任意的不日-1,1],总存在y[-1，1]使得

-x+3,x>0

/(%)Wg(x2)成立，则实数k的取值范围为()

2

A.(0,2]B.(0,-]C.(0,3]D.(1,2]

3

2.已知函数/(力=17m,g(x)=l-x,若对DX]CR,总存在天目〃[.〃],使得/(%)>月(电)成立，以下对

川、〃的取值范围判断正确的是().

A.rn>2B.m>2C.n>2D.n>2

3.已知八x)=lnx—；+=,g(x)=一/一2〃x+4,若对任意的不£(0,2],存在4£[1,2],使得於i)遂Cn)成

立，则。的取值范围是()

【题型六】求参6：“分函值域子集”型

【典例分析】

已知函数/(工)=f-2x,g(x)=or+2(a>0),若对任意石总存在电,使得/(xj=g(w),

则实数〃的取值范围是()

A.B.?3

C.(0,3]D.[3,+oo)

【提分秘籍】

基本规律

解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题

【变式演练】

(-L)'-Lx<\

1.已知函数/(x)=124",g(x)=/+2x+a-l,若对任意的再eR,总存在实数々£(0,”),

log2(x+3),x>l

使得/(xJ=g(W)成立，则实数。的取值范围为()

A.*B.0,()C.\*)D..+8)

2.已知幕函数/*)=(〃?-1)2/—2在(。，内)上单调递增，函数g(x)=2、T,任意大日1,6)时，总存在

使得/Q)=g(M),则Z的取值范围是()

A.l<r<28B.l<r<28C./>28或「v1D.1N28或Y1

6/sinx+2,x>0r、一,、,、

3已知函数/。)=21，g")=<若对任意司£口，+»)，总存在当eR，使/(X)=g(w)，

x2+2a

则实数〃的取值范围是()

c(f⑵U92

D.同

【题型七】求参7：保值函数

【典例分析】

设函数f（x）的定义域为0,若满足条件:存在［也〃仁。，使/（X）在［〃?，〃］上的值域为［切?，5］（“R且

%〉0）,则称/（可为X倍函数”，若函数/。）="（4>1）为“3住函数”，则实数。的取值范围是（）

A.1,/B.(1,叫C."eD.(e,e3)

【提分秘籍】

基本规律

L保值函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义

2.应用函数思想和方程思想。

【变式演练】

1.设函数/（八）的定义域为/,若存在,,〃］1/,使得/卜）在区间［〃/］上的值域为［心,幼］9七"）,

则称“X）为“A倍函数”.已知函数/3=1呜（3'-同为“3倍函数”，则实数机的取值范围为（）

2.若存在实数K,对任意."/，履力之夕（“成立，则称g（x）是/"）在区间/上的“K倍函数”,已知函数

—X2—2x—4,A;,0

/3）=,1和g（x）=x,若g（x）是/（力在R上的K倍函数，则K的取值范围是.

lnx+—,x>0

2

3.对于函数）=/（",若存在区间［。,可，当工«。,可时的值域为［也附伏＞0）,则称），=〃x）为k倍值函

数.若/（'）="+2x是女倍值函数，则实数k的取值范围是（）

A.(e+l,+oo)B.(e+2,+oo)

【题型八】求参8：分离参数之“洛必达法”与放缩型

【典例分析】

已知函数/（x）=*sinx,则下列结论正确的是（）

A.f（x）是周期为2乃的奇函数B./(外在上为增函数

4,4)

71

C./a）在（-10肛104）内有21个极值点D.75）..如在0,-上恒成立的充要条件是“1

【提分秘籍】

基本规律

如果最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”。

【变式演练】

1.已知函数/。)=门[]入—/*2一])9£用,若/。)20在、£(0,1]时恒成立,则实数a的取值范围是

A.[―,4-oc)B.己,+8)C.2+8)D.[l,+x)

4-

2•若对任意xw(O,乃)，不等式短-e->asinx恒成立，则实数。的取值范围是

A.[-2,2]B.(F,e]C.(—2]D.(F1]

3.若-1)F+1<e-x对x/x>0恒成立，则实数a的取值范围是

A.B.(-^2)C.(f,】lD.(一8,3]

【题型九】求参9：整数解求参

【典例分析】

若不等式。m(1+1)-工3+2工2>。在区间(0,+00)内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是

932'932)

_21n2'而、2In2’甫J

(932'9

121n2’苒D.

121n2

【提分秘籍】

基本规律

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【变式演练】

1.已知函数/'。)=，-公-1在区间(-1,1)内存在极值点，且/(方<。恰好有唯一整数解，则。的取值范围是

()

~e2-l片-1

B.~2~

e2-\e-1

C.(Ie)D.

2ee

2.设函数/(x)=x(21QT)-G：+a，其中a>0,若仅存在两个正整数%使得/&)<。，贝心的取值范围是

33

A.41n2-2<«<31n3--B.41n2-2<«<31n3--

22

C.£/>41n2-2D.aV3hi3-2

2

3.已知函数"r)=Mnx,g(x)=-x+(a+\2)x+2at若不等式/⑴4g(x)的解集中恰有两个整数，则实数。

的取值范围是_______.

【题型十】求参数10：隐零点型

【典例分析】

已知-2<a<l,且xNO时，5*'+4824(2%-。)5恒成立，则”的最小值是()

A.-1B.ln2-2C.1-eD.ln3-3

【提分秘籍】

基本规律

1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。

2,解题框架(主要的)：

(1)导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根X。但不可解。但得到参数和X。的等量代换关

系。备用

(2)知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

(3)利用x°与参数互化得关系式，先消掉参数，得出X。不等式，求得X。范围。

(4)再代入参数和X。互化式中求得参数范围。

【变式演练】

L设函数/(x)=，-2e(l+lnx)(其中e为自然对数的底数)，则函数/(力的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.已知当xe(l,y)时，关于工的方程”一+12-5=_1有唯一实数解,贝必值所在的范围是

k

A.(3,4)B.(4,5)C.(5,6)D.(6,7)

3,设实数2>0,若对任意田)，不等式£-1"〃)之0恒成立，则2的取值范围是()

A

A.0<^<—B.0<2<^-1C.0<A<eD.0<A<e2

【题型十一】求参11:复合函数（嵌套函数）型

【典例分析】

・已知/（X）是定义域为（o,+8）的单调函数，若对任意的xe（O,y）,都有//（x）+10glx=4,且方程

.3.

|/（司-3|=/一6工2+9》-4+〃在区间（0,3]上有两解，则实数。的取值范围是

A.0<f/<5B.a<5C.0<«<5D.a>5

【提分秘籍】

基本规律

换元为主要切入点。注意借助于双坐标系来转换

【变式演练】

+—,x<0

L己知实数。>0,函数/（幻=,，若关于]的方程0-/（刈="“+g有三个不等

。2/八。、八2

H--X—（67+1）A'H--,X0

22

的实根，则实数”的取值范围是（）

D.(2,2+1)

A.(1,2+—)B.(2,2H—)C.(U+-)

e

||]丫

2.•设函数/"）=吧+x-a（aeRj,若曲线,，="'QX-I（,，是自然对数的底数）上存在点（改）,%）使得

xe+1

/（/■（%））=%，贝M的取值范围是

（I-1

A.（-oo,0]B.（0,e]C.一8，一D.[0,-KO）

e

3.已知。＞0,函数式x)=2e-r,若函数F(x)=/(/(x))-x恰有两个零点，则实数a的取值范围是()

•21、11、21

A.[―,—)B.(z0,—|C.(0,—)D.[—,—J

e"eeee'e

【题型十二】求参12：绝对值型

【典例分析】

已知函数/'("二2"g(M=d+G：.若不等式/(x)+g(x)+|/(x.g(x)上2/在[0,y)上恒成立，贝心的取

值范围为()

A.[F+8)B.[-2,-bx)C.[0,-KO)D.；,+8)

【变式演练】

1.已知函数小)=上芈的定义域为(。3,若对任意的内,勺€(0、以北以刈＞吗3恒成立,

X)-x2x；x；

则实数，"的取值范围为()

A.(-oo,3]B.(YO,4]C.(YO,5]D.3，6]

2.已知定义在R上的函数f(x)满足。-4)7(力40,且y=〃x+4)为偶函数,当口一4|〈人一4|时,有

()

A./(8-Xj)</(8-X2)B./(8-Xj)</(8-x2)

C./(8-X])>/(8—x,)D./(8—x,)>/(8-x,)

3.已知向量a=(x+l,l),Z?=(sinx,8sx),函数=a若对于任意的外,占6°，?，且工产占，均有

|〃3)-/(8)|<加丁四成立，则实数2的取值范围为()

A.[0,+cc)B.[l,+oo)C.(-<»,!]D.(-co,0]

真题再现

1.12021•全国•高考真题(理))设。/0,若4为函数/(力=〃"一炉(."〃)的极大值点，则()

A.a<bB.a>hC.ab<a12D.ah>a2

0

2.12013•全国•高考真题(文))已知函数/⑴=卜'："：,g|/U)|>ar,则。的取值范围是()

ln(x+l),x>0

A.(-oo,01B.(-ooj]C.[-2,11D.[-2,0]

3.(2019•天津・高考真题(理))已知aeR,设函数=二〃+2〃，用，]：若关于x的不等式/(x)..O在

x-aInx,x>1,

R上恒成立，则”的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[l,e]

«=0lc0',/?=-,c=-ln0.9

4.[2022•全国•高考真题)设9，则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3111

5.（2022・全国•高考真题（理））已知。=互力=则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>h>cD.a>c>h

6.12022•全国•高考真题（理））已知x=X和4分别是函数=（〃>0且〃工1）的极小值点

和极大值点.若M<W，则。的取值范围是.

7.（2022・天津•高二期末）己知函数f（x）=e]（x-l）,则“X）的极小值为:若函数雇工）=g一；，

对于任怠的不«-2,2],总存在工«-1,2],使得/（内）>且（毛），则实数，"的取值范围是.

1.已知函数/（x）=（x~T）e'+b,若存在bwR,对于任意xe[l,2],都有|/（力|音，则实数。的取值范

围是.

2.不等式研+1+/心《此1对于定义域内的任意“恒成立，贝心的取值范围为.

3.已知函数/")=皿'："々°,方程/(x)+W(x)=OQ〃wR)有四个不相等的实数根，则实数阳的取值范围

-xe\x<0

是()

A.(—'-:)B.f——,0C.—-D.0,-1

4.已知函数/(幻=(讹、+5)吠+0)与8*)=©2，的图象恰有三个不同的公共点(其中6为自然对数的底数),

则实数〃的取值范围是()

A.B.(-；，等C惇1)D.(1,@

5.已知函数f(x)=(x-2)e*+e+l,g(x)=-+x\nx对任意的加e总存在〃e使得贝，〃)"(〃)

xf

成立，则。的范围为

6.已知函数g(x)=—对于任意的Ne[l，e],存在9目1e，使g(%)«/(w),则实数

.Xf

。的取值范围为()

B.e+--].—+-

e4e

e21

D.—+-,+<»

4e

7.已知函数〃x)=Wnx+2+Lg(x)=-f一6一4,工=:是函数g(x)的极值点，若对任意的苦£上，1],

a2」,

总存在唯一的We(f,3),使得/&)=鼠七)成立，则实数。的取值范围是()

(21

A.(-co,0)B.[4,-KO)C.一,eD.(-co,-l]

Ie.

8.对于函数尸/（x）,若存在区间［a,b］,当加时的值域为［Amkb］（k>O）f则称y子>）为上倍值函数.

若人x)=^+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是()

12

A.(e+-,+功B.(e+—,+oo)

ee

C.(e+2,+co)D.(e+3,+oo)

9.已知关于K的不等式有且仅有两个正整数解（其中e=2.71828…为自然对数的底数）,

则实数，〃的取值范围是（）

169941169、

znzC，)

A,—5e4e3B・(4。L73eT~】5747°

10.已知关于x的不等式何工-加〃）〉，〃婷有且仅有两个正整数解（其中e=2.71828…为自然对数的底数）,

则实数〃7的取值范围是（）

169,,94,r169、

-4'A3]B<(.3'O2]

5e4e4e3夕0」衰方D・

11.己知函数/（x）=/x不等式f（x）>/nr+lnx对任意xe（0,YO）恒成立,则实数f/l的取值范围是（）

A.(-oo,2|B.I0，2]C.(^o,e2-l]D.

12.已知函数/(x)=lnx+W_]，若存在与qI©,使得=则实数b的取值范围是()

A.[-l,c2]B.[O,c2-c]C.[-l,c2-c]D.[0,c2]

第7讲压轴小题导数技巧：求参12类热点题型归纳

目录

【题型一】求参1：基础讨论型...........................................................2

【题型二】求参2：分离参数型...........................................................3

【题型三】求参3：零点型...............................................................4

【题型四】求参4：构造函数型...........................................................5

【题型五】求参5：“分函最值”基础型....................................................6

【题型六】求参6：“分函值域子集”型....................................................7

【题型七】求参7：保值函数.............................................................9

【题型八】求参8：分离参数之“洛必达法”与放缩型.....................................10

【题型九】求参9：整数解求参..........................................................II

【题型十】求参数10：隐零点型.........................................................12

【题型十一】求参11：复合函数（嵌套函数）型...........................................14

【题型十二】求参12：绝对值型.........................................................15

二、真题再现...........................................................................16

三、模拟检测...........................................................................17

【题型一】求参1:基础讨论型

【典例分析】

若对任意（0，+<»）,不等式e2*-〃An（2m）-〃"nxK）恒成立，则实数小的最大值（）

A.\[eB.eC.2eD.e2

【答案】B

【分析】令=e2x-m\n（2/«）-minx,求导F（x）=2既一色，由xf0时J'（x）<0,

X

r|>2）=2^2w-1>0,存在不«0,，〃），有（伉）=0,则.f。）而n=/（x。），根据不等式（2，〃）

2

-”?瓜仑0恒成立，则f（x）*=/（-v0）>0,整理转化为1一2%ln4-4/Inx0-4%O>0,令

力（x）=l-2xln4-4xlnx-4/,用导数法得到人（力在（0,+8）上是减函数，再根据力仁卜。，解得

X。G（0,,再由/〃=2X（/%求解.

【洋解】令/(x)=^x-/??ln(2/n)-m\nx,所以f'(x)=2e~x--,要In(2m)有意义，

X

则〃2>0,当x-0时J'(x)<0,尸(m)=2#-I>()所以存在%«0,〃7),有/小)=0,

当工£(0,%)时,/'(X)<O,当X£(%,~K»)时,/'(X)>O,所以，⑴min=丁(毛)=4-In(2/77)一勿In线,

又尸(*0)=2卢--=0f所以〃/=2%成“，In(2/77)=In=In4+In%0+2匹,

x。

2r2rix

所以F(x)in=『("o)=-力In(2m)-mInx(l=e°-2x0e°(in4+Inx()+2xJ-2x^e°Inx(),

?

=o"0—2x°In4—4*oInx()-4々：)，因为不等式ex"”n(2/n)””rt仝0恒成立

2

所以1一2/In4-4匹In/-4x020令力(x)=1-2xIn4-4xInx-4一,

//（.x）=-4Inx-8A--4-2In4<0,所以力（x）在（0,+。。）上是减函数，又〃0,

XG((),/]

当小）之。时，即维G（0/]，又加=2x-、所以万=2。2"。+>0,

所以在xc(o［］时是增函数，所以勿=2X/2*。<2xlxe吗=e,

22

所以实数小的最大值是e.故选：B

【提分秘籍】

基本规律

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

L移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。

2.讨论点的寻找是关键。

3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围

【变式演练】

1.已知函数〃力二,e-%/彳加+1,xe(O,-Hx),若/(x)有最小值，则实数”的取值范围是

「22)(2}

A.r［^,+co)B.(e,+co)C.-^2,+<»D.-e2,+^

.5)I」J

【答案】c

【分析】对函数y=/'(x)求导得出ra)=(x+i乂/-依)，由题意得出函数y="x)在(0,转)上存在极小

值点，然后对参数〃分类讨论，在时，函数y=/(x)单调递增，无最小值；在。>6时，根据函数y=/(x)

的单调性得出/(力极小值w/(0)，从而求出实数”的取值范围.

［详解］Qf(x)=xel--ar5--at2+1,/.f(x)=(x+1)-ar2-ar=(x+1)(er-ar),

32

构造函数g(x)="-at,其中x>(),则g'(x)="-a.

①当aWl时，对任意的x>0,g")>0,则函数y=g("在(0.+8)上单调递减，

此时,g(x)>g(0)=l>0,则对任意的x>0,r(x)>o.

此时，函数)，=/(》)在区间(0,+8)上单调递增，无最小值；

②当。>1时，解方程g'(x)=e'-a=0,得x=lna.

当0<x<lna时，g'(x)<0,当x〉ln〃时，g'(x)>0，

此时，^(^)min=g[\na)=a-a\x\a=a(\-\naY

(i)当1—lnaAO时，即当时，贝U对任意的K>0,>0,

此时，函数)，=/(1)在区间(0,+8)上单调递增，无最小值；

5)当1-lnavO时，即当时，.•.g(O)=l,当x-田时，g(x)->+co,

由零点存在定理可知,存在4w(OJna)和qe(lna,y),使得g(ri)=g(q)=O,

即e"-,4-a/2=0,月.当。<，[<八和时，g(x)>0,此时，r(v)>0；

当时，g(x)vO,此时，/'(x)<0.

所以，函数)，=/(%)在x=A处取得极大值，在取得极小值，

由题意可知,/(勃)极小债=/&)"(0)=1，

，2arle2e，z

/(r2)=t2e~^2=2'一；片卢~~^2+]=।――-52a<1,

，2

可得小：3，又成一〃2=0,可得。二e一，构造函数/7(X)=JPX，其中工3

则”")=今辿>。，此时，函数)，=/?(x)在区间|,+8)上电调递增，

3

o/3、滔2。7I

当工之二时，则-=^-=T^2,..a>-e\

2

-2-、

因此，实数。的取值范围是故选C.

2,若关于工的不等式eiNlnx+a对一切正实数”恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.[B.°0,e]C.(—co,l]D.(-oo,2]

【答案】C

【分析】

构造函数/3）=产-机1-心>0）,将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研

究函数的最值，得到峭一“-/5,-a.O,再利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

解：设f（x）=L-布-心>0）,则f（x）..o对一切正实数X恒成立,即/加-0，

由「（外入…」，令"幻=小"」，则〃a）=ej+4>o恒成立，所以/?（外在（0,+8）上为增函数，

XXX-

当了->0时，当Xf+CO时，h（x）->-KO,则在（0,田）上，存在/使得〃*0）=0,

当0<x<与时，力（幻<0,当X>拓时，力。）>0,故函数/⑴在（0,$）上单调递减，在（.％,+功上单调递

增，

所以函数/*）在X=X。处取得最小值为/（毛）=-6。-a..0,

因为婚-。=_!_,即.％_〃=_/,/,所以;+%-〃一。・。恒成立，即2氏天+；,

又飞+L.2卜0」=2,当且仅当凡=’,即毛=1时取等号，故2a,2,所以故选：C.

3.已知函数小）=.田-*—：加+],Ro收），若/（x）有最小值，则实数〃的取值范围是

「22]（2-2\

A.[&+<»）B.（e,+co）C.-6?2,+<X>D.-e,+oo

【答案】c

【分析】

对函数尸/（力求导得出r（x）=（x+i乂/-⑹，由题意得出函数y=〃x）在（0,+8）上存在极小值点，然

后对参数a分类讨论，在时，函数y=/（x）单调递增，无最小值；在。>6时，根据函数y=/（力的单

调性得出/（X）极小色工）⑼，从而求出实数〃的取值范围.

【详解】

Qf^x)=xex--ar3--ax2+1,.\f\x)=(x+l)eK-ax2-av=(A+1)(6?'-av),

32

构造函数g(x)=，—ca,其中x>0,则g'(x)="-a.

①当时，对任意的x〉0,g'(x)>0,则函数y=g(x)在(。，+8)上单调递减,

此时，g(x)>g(0)=l>0,则对任意的x>0,/(x)>0.

此时，函数y=/(x)在区间(0,+8)上单调递增，无最小值；

②当“〉1时，解方程g'(x)=e'-£7=0,得x=lna.

当0cx<ln“时，g'(x)<0,当x>Ina时，g'(x)>0,

此时，g(x*面=g(lna)=a_〃ln4=a(l_ln〃).

(i)当1-lnaNO时,即当时,则对仟意的x>0,7(力20.

此时，函数)，=/("在区间(0,+