2025北京平谷区高一（下）期末数学试题及答案

高中2025北京平谷高一（下）期末数学2025.7注意事项1．本试卷共4页，包括两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将答题卡交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）1.设向量，若，则（）A. B. C. D.62.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在中，角所对的边分别为，则（）A. B. C. D.4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B.5 C.1 D.5.已知是不重合的平面，是不重合的直线、下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.已知向量满足，且的夹角为，则（）A. B.1 C.2 D.47.莎士比亚说“书籍是全人类的营养品”．在这个充满变化的时代，书籍始终是我们最可靠的伙伴．阅读不仅能够丰富你的知识，更能塑造你的品格，成为你成长道路上最珍贵的礼物．下图是国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量（单位：册次）的统计图：下列说法正确的是（）A.这七个月外借图书量的中位数是12867B.这组数据的第80百分位数是10079C.1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差大D.1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小8.玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（）A. B. C. D.9.已知平行四边形，为实数，，则“点P在平行四边形内（不含边界）”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知函数，则以下正确结论的序号为（）①函数最小正周期是；②函数最大值与最小值距离为；③函数在区间上单调递减；④对任意，使得“”成立的充要条件是“”．A.①② B.②④ C.③④ D.②③第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．）11.已知复数z满足，则______．12.已知某校高一年级1000人，为普及航天知识，开展了航天知识竞赛．将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：则成绩在分的有______人．13.将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为______14.已知，，，．则______；若BC边上一动点F，则的最小值为______．15.如图，在棱长为2的正方体中，M、N分别是BC、CD的中点，点P是线段上的动点，点Q是侧面上（包括边界）的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在无数组点P和点Q，使得平面；③点P由滑到时，三棱锥体积逐渐增大；④使得平面的点Q的轨迹长度为．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题（本大题共6题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.已知函数．（1）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点．求的值；（2）求函数的单调递减区间．17.四棱锥，平面，底面ABCD为菱形，（1）求证：平面；（2）试判断在PD上是否存在点F，使得平面，说明理由．18.已知a，b，c分别为的三个内角A、B，C的对边，且．（1）求角B的值；（2）记知，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求AC边上的高h．条件①：；条件②：；条件③：．（注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）19.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，．E、F分别是AB、的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积．20.已知函数的部分图像如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，（ⅰ）求函数在区间的最大值和最小值；（ⅱ）求函数在区间内的所有零点的和．21.已知等腰梯形ABCD，，，，且，动点Q满足．（1）设，求的值；（2）求的值；（3）求的最大值．

参考答案第一部分选择题（共40分）一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）1.【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示，列出方程，求解即得.【详解】向量，由可得，解得.故选：C2.【答案】B【分析】化简复数，根据复数的几何意义可得答案.【详解】，复数对应的点为位于第二象限.故选：B3.【答案】A【分析】应用正弦定理计算求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A4.【答案】A【分析】根据题意建立直接坐标系，根据向量的线性坐标运算得的坐标，然后利用数量积的坐标运算求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，所以，所以.故选：A5.【答案】C【分析】按照线面的位置关系进行判断即可.【详解】对A，若，则或相交，故错误；对B，若，则或，故错误；对C，若，则，线面垂直判定定理，故正确；对D，若，则与相交，平行均可，故错误.故选：C6.【答案】B【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可.【详解】因为，且的夹角为，所以，，所以.故选：B7.【答案】D【分析】根据中位数的定义求解判断A，根据百分位数的概念求解判断B，根据方差的计算判断C，根据平均数的含义判断D.【详解】国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量分别为，从小到大为，故中位数是，故A错误；又，所以这组数据的第80百分位数是，故B错误；1月，2月，3月这三个月外借图书量的平均数为，则其方差为，2月，3月，4月这三个月外借图书量的平均数为，则其方差为，故1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差小，故C错误；由统计图可知1月外借图书量远小于5月外借图书量，所以1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小，故D正确.故选：D8.【答案】C【分析】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,得,则这个陀螺的体积为:,进行求解即可.【详解】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,依题意得,得,则这个陀螺的体积为:,因为,则,得这个陀螺的体积最大约为:.故选:C9.【答案】A【分析】判断点P在平行四边形内（不含边界）是否能推出，以及判断是否能推出点P在平行四边形内（不含边界）即可求解.【详解】由，点P在平行四边形内（不含边界）可得，，反之，当时，如时，则点在平行四边形外部，所以点P在平行四边形内（不含边界）是的充分不必要条件，故选：A.10.【答案】D【分析】验证是否成立即可判断①，求函数最大值与最小值即可判断②，当，求单调减区间即可判断③，当时，验证是否成立即可判断④.【详解】由，故①错误；由，当时，，所以当时，，当时，，所以函数最大值与最小值距离为，当时，，当时，，当时，，所以函数最大值与最小值距离为，综上函数最大值与最小值距离为，故②正确；由有，所以，所以，由在单调递减，所以函数在区间上单调递减，故③正确；当时，，故④错误.故选：D.第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．）11.【答案】【分析】应用复数的除法法则化简z，然后利用共轭复数概念求解即可.【详解】复数z满足，则，所以.故答案为：12.【答案】【分析】先求出成绩在分的频率，再求出人数即可.【详解】因为成绩在分的频率为，所以成绩在分的有人.故答案为：13.【答案】（答案不唯一，只要满足即可）【分析】先利用平移变换法则求得解析式，然后根据正弦函数对称中心列式求得，即可得解.【详解】将函数图像向左平移个单位长度，得到，由题意，所以，当时，.故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）14.【答案】①.②.4【分析】利用余弦定理求出.设，利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律得，结合一次函数性质求解最小值即可.【详解】，，，所以．设，则，所以，因为，所以，即的最小值为4.故答案为：；4.15.【答案】①②④【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理可得判断①；根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质判断②；根据线面平行的判定定理得平面，即可确定锥体的高为定值，又的面积为定值即可判断③；先作出的面积截面，然后根据面面平行的判定求出点Q的轨迹，利用勾股定理求其长度判断④.【详解】对于①，因为，，且，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，又，平面，所以平面，而点P是线段上的动点，即平面，所以，正确；对于②，因为，，且，平面，所以平面，在中，只要满足，都有平面，即存在无数组点P和点Q，使得平面，正确；对于③，因为M、N分别是BC、CD的中点，所以，所以，平面，平面，所以平面，所以直线上各点到平面的距离相等，又的面积为定值，所以三棱锥体积不变，错误；对于④，设直线与直线分别交于，连接，分别交于，连接，则五边形即为平面截正方体的截面；由于M、N分别是BC、CD的中点，故，由于，故，同理,又，则，则，，同理可求得，，即点为上靠近的三等分点，点为上靠近的三等分点，取点为上靠近的三等分点，连接，则，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面，所以点Q的轨迹为，所以，正确.故答案为：①②④三、解答题（本大题共6题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据三角函数的概念得，代入函数的解析式求解即可；（2）根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的单调递减区间.【小问1详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点，所以，所以；【小问2详解】，令，解得，所以函数的单调递减区间为.17.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）依据题意得到，底面为菱形，得到，根据线面垂直判定定理可得结果；（2）利用中位线定理，线线平行得到线面平行，可得结果.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又底面ABCD为菱形，所以，平面，所以平面【小问2详解】存在，点为的中点，理由如下：由为的中点，为的中点，所以，由平面，平面，所以平面，所以点为的中点得证.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理及特殊角的函数值化简求解即可；（2）选择条件①：利用余弦定理求得或，故不唯一，不符合题意；选择条件②：由余弦定理求得，进而等面积法求得AC边上的高h；选择条件③：由同角三角函数基本关系得，由两角和的正弦公式得，由正弦定理得，进而求得AC边上的高.【小问1详解】由，根据正弦定理得，又，所以，则，即，又，所以.【小问2详解】选择条件①：，，，由余弦定理得，所以，即，解得或，故不唯一，不符合题意；选择条件②：，，，由余弦定理得，所以，即，解得（舍去）或，唯一，符合题意，利用面积公式，所以AC边上的高；选择条件③：由题意，，，，角确定为锐角，故唯一，符合题意，所以，又，由正弦定理得，所以AC边上的高.19.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）取中点M，连接，先证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证出平面；（2）由面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理得平面平面；（3）等体积法求三棱锥的体积即可.【小问1详解】取中点M，连接，因为F是的中点，所以，且，又，且，又为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面；【小问2详解】因为平面平面，所以平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问3详解】因为平面，，，，所以，所以.20.【答案】（1）（2）（ⅰ），；（ⅱ）【分析】（1）根据函数图象求出，根据图象过点得，再根据最大值点求出即可；（2）（ⅰ）根据两角和差的正弦公式和二倍角公式化简得，然后根据正弦函数的性质求解最值即可；（ⅱ）函数的零点即方程的，结合，求出方程的解，进而求得零点之和.【小问1详解】由函数的图象，可得，又，所以，即，又，所以，又，即，根据五点对应法，可得，所以，所以.【小问2详解】（ⅰ），因为，可得，