第22章二次函数中考压轴题分类专题（学生版）-人教版(2024)九上

专题22.24二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【训练中考压轴题意义】‌了解中考命题趋势和知识重难点‌：通过训练历年中考数学真题，学生可以快速了解中考数学的命题趋势、试题分布以及知识重难点，从而对自己的知识储备进行全方位的查漏补缺

‌提高解题速度和精确度‌：通过严格控制做题时间，用中考的时间要求自己，可以更加客观地训练解题速度和精确度，帮助学生适应考试节奏。‌认识中考题型和命题风格‌：中考真题令学生认识到中考的题型、命题风格、各知识版块分值分布，考查的重点及难易程度，对学生的帮助是最大的。‌检验复习方向和效果‌：真题成为检验复习方向以及复习效果的得力工具，通过定期模拟考试，学生可以了解自己的不足，进而调整复习策略。

‌提高应试能力‌：通过反复做真题，学生能够适应考试的紧张氛围，掌握答题技巧，了解考点要求，提高解题能力和应变能力。

‌权威性和准确性‌：真题的权威性和准确性远高于模拟题，因为它们来自于同一个命题组，考察点、风格以及难度等都很接近，通过对真题进行分析研究，可以总结出命题的规律。

‌综合性‌：中考真题是命题组成员辛苦劳动的结晶，含金量高，出的题目在保证基础得分的同时，还具有一定的选拔作用，有助于提高学生的综合解题能力。综上所述，训练数学中考真题对于提高学生的数学成绩和应试能力具有不可替代的作用，是备考过程中不可或缺的一部分。第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】二次函数与面积问题【例1】（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．(1)求二次函数的表达式；(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．【变式1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．(1)求抛物线表示的函数解析式；(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．(1)求该二次函数的解析式；(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．【题型2】二次函数与定值问题【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【变式1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；②若直线AD，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【变式2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点Px1,y1(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．【题型3】二次函数与最值问题【例3】（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．(1)求的值；(2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．【变式1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．【变式2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为，则_________；②求t的取值范围：③求的最大值．【题型4】二次函数与存在性问题【例4】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．

(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当时，y的取值范围是，求t的值；(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．【变式2】（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题【例5】（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．①此时点的坐标为________；②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：设C点坐标为①此时点B的坐标为________；②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．【变式1】（2024·四川·中考真题）【定义与性质】如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．【理解与运用】（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．【思考与探究】（2）设函数的图象为抛物线．①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

【变式2】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出，求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．【题型6】二次函数与三角形综合问题【例6】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)当时，求点P的坐标；(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．【变式2】（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；(2)当时，求的值；(3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．【题型7】二次函数与四边形综合问题【例7】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．【变式1】（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．(3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；②如图3，连接，，求的最小值．【题型8】二次函数与利润问题【例8】（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？【变式1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．(1)，_____；(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？【变式2】（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）【题型9】二次函数与实际问题【例9】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最