2026年高考数学复习难题速递之函数应用（2025年11月）

第52页（共52页）2026年高考数学复习难题速递之函数应用（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．已知f（x）＝ex，g(x)=-x3+x2，x≤03elnxx，x＞0A．(1，e34)C．(1，e2)2．已知x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0＞ln2 B．x0C．2x0+lnx0＝0 D．23．已知函数f（x）＝x2﹣2x，g(x)=f(x)+a，x≥0-f(x)-a，x＜0A．-115 B．-54 C．34．在平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图像绕坐标原点O逆时针旋转π4后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数y＝f（x）为“R函数”．已知函数y=mx+1x，A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数f(x)=1x-11-x-x+kA．f（x）在（0，1）上单调递减 B．曲线y＝f（x）是中心对称图形 C．∀k∈R，都有c＞b+1 D．∀k∈R，都有c＞a+36．已知函数f(x)=A．m的取值范围为[1B．若f（a﹣4）＞f（3a），则a的取值范围是（﹣2，+∞） C．∀a∈R，f（a2）＜f（a﹣1） D．对任意满足条件的实数m，均有函数的值域为R7．已知函数f（x）＝﹣|x﹣a|+a，g（x）＝x2﹣4x+3，若方程f（x）＝|g（x）|恰有2个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．[12，32C．[12，38．已知函数f(x)=1-i=12025(-x)ii，g(x)=1+i=12025(-x)ii，若函数F（x）＝A．11 B．9 C．7 D．5二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（θ）＝sin4θ﹣sin3θ在（0，π）上恒有f（θ1）＝f（θ2）＝f（θ3）＝0，其中θ1＜θ2＜θ3，则下列结论正确的是（）A．θ1，θ2，θ3成等差数列 B．θ1，θ2，θ3成等比数列 C．cosθ1+cosθ3＞cosθ2 D．8cosθ1cosθ2cosθ3＝﹣1（多选）10．对于函数f(A．函数f（x）为奇函数 B．设h(x)=f(x)+f(1x)，xC．若方程f（x）﹣a＝0在定义域内恰有两个不同的根，则实数a的取值范围为（4，+∞） D．若f(x)=x+ax(a＞0)（多选）11．已知函数f（x）＝|x2+mx+2|在[0，4]上的最大值为2，函数g（x）＝f（x）﹣ax有且仅有三个不同的零点，则（）A．m＝﹣2 B．m＝﹣4 C．a=4-22（多选）12．已知函数f(A．函数f（x）的值域为（0，1） B．函数f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形 C．f（x2）+f（2﹣x）＞1的解集为（0，1） D．若函数g（x）满足y=g(x+1)-12为奇函数，且其图象与函数f（x）的图象有1350个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，⋯，1350），则x1+y1+x2+y2+⋯三．填空题（共4小题）13．已知函数f(x)=3x3x-3，其定义域记为集合D，且a，①D＝{x|x≠1}；②f（x）是减函数；③若a+b2=1，则|f（a）﹣f（b）④对任意a∈（﹣∞，1），都存在b∈（l，+∞）使得f（a）+f（b）＜0．14．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x∈R都满足f（1+x）＝f（1﹣x）．当x≤1时，f(x)=lnx，0＜x≤1，ex，x≤0.若函数g（x）＝m|x15．已知a∈R，f(x)=xlnx，关于x的方程f2（x）+2af（x）﹣4＝0有三个实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，若满足不等式m＜(x1ln16．设函数f(x)=bx，x＜0，x2-bx+14，x≥0.若存在点A（a，a）在函数f四．解答题（共4小题）17．为了节能减排，学校决定安装一个可使用10年的太阳能供热设备，并接入电网．安装这种设备的费用y（单位：万元）与太阳能电池板的面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为2．为了保证正常热水供应，安装后采用太阳能和电能互补的模式．设在此模式下，安装后学校每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C(x)=k-x210，0≤x≤4，（1）求常数k的值；（2）写出F（x）的解析式；（3）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？18．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分P（t）（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：P（t）=-0.4t2+8t+c，0≤t≤10，（1）求常数c和k的值；（2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；（3）已知大模型的标准化训练效率定义为E（t）=P(t)-50t19．已知函数f（x）=（1）若函数g（x）＝f（x）﹣kx恰有4个零点，求实数k的取值范围．（2）若函数h（x）＝f[f（x）]﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若x1＜x2＜x3，求证：x1﹣ex2＜﹣2．20．已知函数f（x）＝2+log3x，g（x）＝3x．（1）若F（x）＝f（g（x））•g（f（﹣x）），求函数F（x）在区间[-（2）若H(x)=（3）令G（x）＝（f（x）﹣2）2+（4﹣k）（f（x）﹣1），已知函数G（x）在区间[1，9]上有零点，求实数k的取值范围．

2026年高考数学复习难题速递之函数应用（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACBDDDDA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDACDBCACD一．选择题（共8小题）1．已知f（x）＝ex，g(x)=-x3+x2，x≤03elnxx，x＞0A．(1，e34)C．(1，e2)【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】利用导数研究函数g（x）的单调性，进而作出函数g（x）的图象，令t＝g（x），要使得函数y＝f（g（x））﹣ag（x）﹣a恰有4个零点，则关于t的方程et＝a（t+1）要有两个根t1为t2，不妨设0＜t1＜3，t2＞3或t2＜0，即a=ett+1，令h(t)=【解答】解：由题意有：当x≤0时，g（x）＝﹣x3+x2，由g'（x）＝﹣3x2+2x＜0，所以g（x）在（﹣∞，0]单调递减，当x＞0时，g（x）=3所以g'由g'（x）＞0，解得0＜x＜e，g'（x）＜0，解得x＞e，所以g（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，作出g（x）的图象，如图所示：令t＝g（x），由f（g（x））﹣ag（x）﹣a＝0，得f（t）﹣at﹣a＝0，即et＝a（t+1），由图可知，要使得函数y＝f（g（x））﹣ag（x）﹣a恰有4个零点，则关于t的方程et＝a（t+1）要有两个根t1，t2，不妨设0＜t1＜3，t2＞3或t2＜0，由et＝a（t+1），有a=令h(所以h'(当t＞0时，h'（t）＞0，当﹣1＜t＜0或t＜﹣1时，h'（t）＜0，所以h（t）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）单调递减，所以h（0）＝1，h(3)=作出h（t）的图象，如图所示：由图可知：当1＜直线y＝a与h（t）的图像的两个交点的横坐标t1，t2满足0＜t1＜3，t2＞3或t2＜0，所以实数a的取值范围为(1，故选：A．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于难题．2．已知x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0＞ln2 B．x0C．2x0+lnx0＝0 D．2【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】设g（x）＝2x2e2x+lnx，由g（x）＝0，可得出2xe2x=-lnxx=1xln1x＞0，可得出x∈（0，1），构造新函数f（x）＝xex，x＞0，得到f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，结合f(2x0)=f(ln1x0【解答】解：设g（x）＝2x2e2x+lnx，其中x＞0，g'(x)=4xe2x则函数g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，因为x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，即x0是y＝g（x）在（0，+∞）上的唯一零点，由2x2e2x+lnx＝0，可得2x由x＞0，可得2xe2x＞0，所以1xln1x＞从而得出0＜x＜1，令f（x）＝xex，x＞0，可得f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，可得f（2x）＝2xe2x，f(因为实数x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则2x即f(2其中x0∈（0，1），所以2x即2x0+lnx0＝0，所以C正确，D不正确；令h（x）＝2x+lnx，x∈（0，1），可得h'(所以h（x）在（0，1）上为单调递增函数，因为h(1e即h(由零点存在定理可得1e＜x又由ln2＞ln所以x0＜ln2，故A错误．故选：C．【点评】本题考查了转化思想、同构思想，考查了导数的综合运用及函数的零点，属于中档题．3．已知函数f（x）＝x2﹣2x，g(x)=f(x)+a，x≥0-f(x)-a，x＜0A．-115 B．-54 C．3【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】将g（x）写成分段函数，分a＝0、a＞0和a＜0，结合图象及题意求解即可．【解答】解：由题意可知g（x）=x当x≥0时，由二次函数的性质可知g（x）≥a﹣1；当x＜0时，由二次函数的性质可知g（x）＜﹣a；当a＝0时，不等式g（x0）（g（x0）+a）＜0，即为[g（x0）]2＜0，无解；当a＞0时，解不等式g（x0）（g（x0）+a）＜0，得﹣a＜g（x0）＜0，又因为只有唯一一个整数x0，使﹣a＜g（x0）＜0成立，如图所示：此时f（2）＝a＞0，故只有x0＝1满足，且f（1）＝a﹣1＜0，解得0＜a＜1，故C，D满足；当a＜0时，解不等式g（x0）（g（x0）+a）＜0，得0＜g（x0）＜﹣a，如图所示：此时g（2）＝a＜0，且g（3）+g（﹣1）＝a+3﹣a﹣3＝0，g（4）+g（﹣2）＝a+8﹣a﹣8＝0，所以当g（3）＜0时，则g（﹣1）＞0；当g（4）＜0时，则g（﹣2）＞0；所以只考虑以下两种情况：当只有一个整数x0＝3满足0＜g（x0）＜﹣a时，则有0＜g(3)=a+3＜-当只有一个整数x0＝﹣1满足0＜g（x0）＜﹣a时，则有g(3)=a+3≥-所以当a＜0时，解得﹣3＜a＜-32，故A正确，故选：B．【点评】本题考查了分类讨论思想及数形结合思想，考查了不等式的解法及逻辑推理能力，4．在平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图像绕坐标原点O逆时针旋转π4后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数y＝f（x）为“R函数”．已知函数y=mx+1x，A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数与方程的综合运用；命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】由“相对”思想，将问题转化为直线y＝x+t与f（x）的图象至多一个交点，函数y=mx+1x与y＝x+t的交点问题，转化为方程的根来求解；y=m【解答】解：根据函数定义，在平面直角坐标系xOy中，任意与x轴垂直的直线与函数y＝f（x）的图象至多一个交点，由题意函数y＝f（x）的图象绕坐标原点O逆时针旋转π4，仍为函数图象相对可知，任意与x轴垂直的直线绕原点顺时针旋转π4后，与f（x）图象即∀t∈R，直线y＝x+t与f（x）的图象至多一个交点，故函数y＝f（x）为“R函数”等价于∀t∈R，方程f（x）＝x+t至多一个实数根，对于函数y=∀t∈R，要使方程mx+即∀t∈R，方程（m﹣1）x2﹣tx+1＝0在（﹣∞，0）∪（0，+∞）至多一个实数根，又x＝0不是方程的根，当m≠1时，对任意t∈R，方程的判别式Δ＝t2﹣4（m﹣1）≤0不恒成立，不满足题意，当m＝1时，tx﹣1＝0至多一个实数根，满足题意，故若函数y=mx+1x，m对于函数y=∀t∈R，方程m(x+1)故只需函数g(由g'(x则h'(x)=m(x-①当m＞0时，当x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，1）上单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；则h(即[g'(x)]min=-m-ee＜0，且x→+∞，故g（x）在R上必不单调；②当m＜0时，同理可得，h（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；[g'(x)]max=-m-ee，且x→﹣∞，g′（故g′（x）≥0恒成立不可能，所以要使函数g(则只需g′（x）≤0恒成立，则只需-m解得0＞m≥﹣e；③若m＝0，则g（x）＝﹣x，显然为单调函数；所以若y=m(x+1)ex中为“R综上所述，满足条件的m的整数值为﹣2，﹣1，0，1，共4个．故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的综合，属于较难题．5．已知函数f(x)=1x-11-x-x+kA．f（x）在（0，1）上单调递减 B．曲线y＝f（x）是中心对称图形 C．∀k∈R，都有c＞b+1 D．∀k∈R，都有c＞a+3【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】求导后结合定义域即可得A；计算f（x）+f（﹣x+1）为定值可得B；结合函数单调性可得a，b，c取值范围，再计算出f（b+1），结合f（x在（1，+∞）上单调性即可得C；举出反例即可得D．【解答】解：对A：因为f(则其定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），所以f'则当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）在（﹣∞，0），（0，1），（1，+∞）上单调递减，故A正确；对B：由题可得，f(又f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故曲线y＝f（x）关于点(1即曲线y＝f（x）是中心对称图形，故B正确；对C：由f（x）在（﹣∞，0）、（0，1）、（1，+∞）上单调递减，且函数f（x）有三个零点，则a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（1，+∞），则b+1∈（1，2），有f(又f(b)=则f(因为b∈（0，1），则1﹣b2∈（0，1），则f(又c∈（1，+∞），且f（c）＝0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故c＞b+1对∀k∈R恒成立，故C正确；对D：取k=12则有f(f(2)=即a＝﹣1，c＝2，此时c＝a+3，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了判断或证明函数的对称性，用导数判断或证明已知函数的单调性，函数对称性的应用，利用导数研究函数的零点，属于难题．6．已知函数f(x)=A．m的取值范围为[1B．若f（a﹣4）＞f（3a），则a的取值范围是（﹣2，+∞） C．∀a∈R，f（a2）＜f（a﹣1） D．对任意满足条件的实数m，均有函数的值域为R【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；对应思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】对于A，分析出要使定义在R上的函数f（x）是减函数，须满足一次函数的斜率3m﹣1＜0，二次函数的对称轴x＝m≤1，且函数在x＝1左侧的最小值大于等于在x＝1右侧的最大值，进而列出不等式组，求出m的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数f（x）在R上的单调性，将不等式f（a2）＜f（a﹣1），f（a﹣4）＞f（3a）转化为关于a的不等式，求出a的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的m=14，得到函数f【解答】解：对于A，当x≥1时，f（x）＝﹣x2+2mx﹣2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m﹣1）2，对称轴为x＝m，且f（1）＝0，因为定义在R上的函数f（x）是减函数，则3m-1即m的取值范围为[17，对于B，因为f（a﹣4）＞f（3a），又函数f（x）是定义在R上的减函数，所以a﹣4＜3a，解得：a＞﹣2，即a的取值范围是（﹣2，+∞），故B正确；对于C，因为a2即a2＞a﹣1对∀a∈R恒成立，又函数f（x）是定义在R上的减函数，所以f（a2）＜f（a﹣1）恒成立，故C正确；对于D，由选项A可知，当m∈[17，13令m=14当x≥1时，因为f(所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，又f（1）＝0，所以f（x）≤0；当x＜1时，可得f(所以函数f（x）的值域为(-∞，0]∪(3故选：D．【点评】本题考查了函数的性质，分段函数的应用，不等式的解法及应用，属于难题．7．已知函数f（x）＝﹣|x﹣a|+a，g（x）＝x2﹣4x+3，若方程f（x）＝|g（x）|恰有2个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．[12，32C．[12，3【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】根据已知研究f（x）、|g（x）|的性质并画出它们的大致图象，应用数形结合研究交点个数求参数范围即可．【解答】解：由f（x）＝﹣|x﹣a|+a，得f（x）=x所以f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝a，令x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，而y＝|g（x）|在（﹣∞，1）、（2，3）上单调递减，在（1，2）、（3，+∞）上单调递增，当直线y＝﹣x+2a与曲线y＝﹣x2+4x﹣3（x∈[1，3]）相切时，由﹣x2+4x﹣3＝﹣x+2a，得x2﹣5x+3+2a＝0，令Δ＝25﹣4（2a+3）＝0，得a=依题意，作出y＝|g（x）|与y＝f（x）的图象，如图所示：由图知，①当a＜12时，f（1）＝2a﹣1＜0且|g（a）|＝a2﹣4a+3＞a2+1＞f（a函数y＝f（x）的图象与y＝|g（x）|的图象无交点，不满足题意；②当a=12时，f（1）＝0函数y＝f（x）的图象与y＝|g（x）|的图象仅交于点（1，0），不满足题意；③当12若12＜a≤1时，f（1）＝2a﹣1＞0＝|g（若1＜a＜138时，f（1）＝1＞0＝|g要使方程f（x）＝|g（x）|恰有2个不同的实数根，则f（x）＝﹣x+2a的图象与x轴的交点在点（3，0）左侧，只需2a＜3，解得a＜3又因为a＞12，所以而a=32时，f（x）＝|g（x）|当32＜a＜138时，f（x）＝|g（④当a=138时，由上函数y＝f（x）的图象与y＝|g（x）|的图象⑤当a＞138时，函数y＝f（x）的图象与y＝|g（x）|的图象综上，当12＜a所以a的取值范围为(1故选：D．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想、分类讨论思想，属于难题．8．已知函数f(x)=1-i=12025(-x)ii，g(x)=1+i=12025(-x)ii，若函数F（x）＝fA．11 B．9 C．7 D．5【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；方程思想；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据导数求f（x）和g（x）的单调性，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，再应用零点存在定理确定零点所在区间，根据图像平移即可求得结果．【解答】解：由题知f(g(所以f′（x）＝1﹣x+x2﹣x3+⋯+x2024，则f′（﹣1）＝2025＞0，当x≠﹣1时，由等比数列的求和公式可得f'当x＜﹣1时，1+x2025＜0，1+x＜0，则f'当﹣1＜x＜0时，1+x2025＞0，1+x＞0，则f'当x≥0时，f'所以f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f（0）＝1＞0，f(由零点存在定理可得f（x）在（﹣1，0）上有唯一的零点，同理g′（x）＝﹣1+x﹣x2+⋯﹣x2024，所以g′（﹣1）＜0，当x≠﹣1时，由等比数列的求和公式可得g'所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又g(1)=1g(2)=1由零点存在定理可得g（x）在（1，2）有唯一的零点．又因为f（x+5）的图象是将y＝f（x）的图象向左平移5个单位得到的，g（x﹣3）的图象是由y＝g（x）的图象向右平移3个单位得到的，则f（x+5）的零点在区间（﹣6，﹣5）内，g（x﹣3）的零点在区间（4，5）内，所以F（x）零点均在区间[a，b]中a的最大值为﹣6，b的最小值为5，所以b﹣a的最小值为5﹣（﹣6）＝11．故选：A．【点评】本题考查了函数与方程思想、导数的综合运用及零点存在定理，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（θ）＝sin4θ﹣sin3θ在（0，π）上恒有f（θ1）＝f（θ2）＝f（θ3）＝0，其中θ1＜θ2＜θ3，则下列结论正确的是（）A．θ1，θ2，θ3成等差数列 B．θ1，θ2，θ3成等比数列 C．cosθ1+cosθ3＞cosθ2 D．8cosθ1cosθ2cosθ3＝﹣1【考点】函数的零点与方程根的关系；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】对A、B：借助和差化积公式可得f(θ)=2cos7θ2sinθ2，结合θ对C：由θ1，θ2，θ3的值计算即可得；对D：借助诱导公式与二倍角公式计算即可得．【解答】解：因为sin（α+β）﹣sin（α﹣β）＝（sinαcosβ+sinβcosα）﹣（sinαcosβ﹣sinβcosα）＝2sinβcosα，则sinx-cos（α+β）+cos（α﹣β）＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）+（cosαcosβ+sinαsinβ）＝2cosαcosβ，则cosx+cosy＝2cosx+y2对A、B：由题f（θ）＝sin4θ﹣sin3θ＝2cos7θ27θsinθ因为θ∈（0，π），所以72θ∈(0所以sinθ所以cos7故7θ12=π解得θ1=π7，θ2=3对C：cosθ1+cosθ3==2cos＞2cos3又因为cosθ1cosθ2cosθ3==cos=cos=2=sin=sin=sin=sin=-=-故8cosθ1cosθ2cosθ3＝﹣1，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了三角恒等变换、诱导公式的应用，考查了等差、等比数列的定义，属于中档题．（多选）10．对于函数f(A．函数f（x）为奇函数 B．设h(x)=f(x)+f(1x)，xC．若方程f（x）﹣a＝0在定义域内恰有两个不同的根，则实数a的取值范围为（4，+∞） D．若f(x)=x+ax(a＞0)【考点】函数的零点与方程根的关系；由函数的最值求解函数或参数；奇偶性与单调性的综合．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】利用奇偶性的定义即可判断A；由对勾函数的单调性即可判断B；将方程f（x）﹣a＝0的根的问题转化为函数y＝f（x）与y＝a的图象有两个交点，然后结合单调性和最值求出a的范围即可判断C；易知函数f（x）在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，+∞)上单调递增，然后对a进行讨论求出在区间[2，【解答】解：对于A选项，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），易得f（﹣x）=-x-a所以函数f（x）为奇函数，故A正确；对于B选项，函数h(即h(x)=(a+1)所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故B错误；对于C选项，方程f（x）﹣a＝0，a＞0，则方程根的个数即为f（x）＝a的解的个数，也即为y＝f（x）与y＝a的交点个数，易知函数f（x）在(0，a)所以当x＞0时，f(因为y＝f（x）与y＝a的图象有两个交点，所以a＞2a，解得a＞4对于D选项，易知函数f（x）在区间(0，a)①当a≤2，即0＜a≤4时，f（x）在[2，4]所以f(解得a＝4，符合题意；②当a≥4，即a≥16时，f（x）在[2，4]所以f(解得a＝12，不符合题意，舍去；③当2＜a＜4，即4＜a＜16时，f(x)min=f(a)=2a，f（x）又f(2)=2+a2（i）当f（4）≥f（2）时，即4＜a≤8时，f（x）max＝f（4），即4+a4-2a=1，解得a＝（ii）当f（2）≥f（4）时，即8≤a＜16时，f（x）max＝f（2），即2+a2-2a综上所述，a＝4或a=6+42，故故选：ACD．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，考查了函数的零点与方程的根的关系，属于难题．（多选）11．已知函数f（x）＝|x2+mx+2|在[0，4]上的最大值为2，函数g（x）＝f（x）﹣ax有且仅有三个不同的零点，则（）A．m＝﹣2 B．m＝﹣4 C．a=4-22【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】BC【分析】根据题设条件，利用二次函数的性质，直接求出m的值，即可判断出A和B的正误；结合f（x）的图象，将问题转化成y＝f（x）与y＝ax有且仅有3个交点，数形结合，即可求解．【解答】解：令g（x）＝x2+mx+2，其对称轴为x=-m且g(则f（x）＝|g（x）|，因为函数f（x）在[0，4]上的最大值为2，若-m2≤0，即m则g（x）在区间[0，4]上单调递增，且g（0）＝2＞0，所以当x∈[0，4]时，f（x）＝g（x），所以f（x）在区间[0，4]上单调递增，又f（0）＝2，所以函数f（x）在[0，4]上的最大值不为2，不合题意；所以m＜0，若0＜-即﹣8≤m＜0，①当-m24此时f（x）＝g（x），0≤-由二次函数的性质知f（4）＞f（0）＝2，不合题意；②当-m24由题有g(解得﹣4≤m＜0，所以-4此时2≤-由二次函数的性质知，g（4）≥g（0）＝2，当且仅当-m要使函数f（x）在[0，4]上的最大值为2，则-m2=2，即m若-m2＞4，即此时g（x）在区间[0，4]上单调递减，要使函数f（x）在[0，4]上的最大值为2，则g（4）＝16+4m+2≥﹣2，解得m≥﹣5，无解，综上所述，m＝﹣4，所以A错误，B正确；f（x）＝|x2﹣4x+2|的图象如图所示，由g（x）＝0，得到f（x）＝ax，令y＝ax，由题知f（x）＝|x2﹣4x+2|与y＝ax有且仅有3个交点，令x2﹣4x+2＝0，解得x=2-2由图知，y＝ax与y=由y=消y得到x2+（a﹣4）x+2＝0，由Δ＝（a﹣4）2﹣8＝0，得到a=4由图知a=4+2所以a=4-22，故故选：BC．【点评】本题考查了函数与方程思想、分类讨论思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．（多选）12．已知函数f(A．函数f（x）的值域为（0，1） B．函数f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形 C．f（x2）+f（2﹣x）＞1的解集为（0，1） D．若函数g（x）满足y=g(x+1)-12为奇函数，且其图象与函数f（x）的图象有1350个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，⋯，1350），则x1+y1+x2+y2+⋯【考点】函数与方程的综合运用；复合函数的值域；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】根据题意，分析函数的值域可判断A；设h（x）＝f（x+1）﹣1，分析h（x）为奇函数，可得f（x）的对称中心，可判断B；由f（x）的对称性可得f（x）+f（2﹣x）＝1，结合函数的单调性即可判断C；由f（x）、g（x）的对称性可得两个函数的交点也关于（1，12）对称，求解后可判断D【解答】解：对于A，函数f(由于2x＞0，则2x+2＞2，则0＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（0，1），故A正确；对于B，设h（x）＝f（x+1）﹣1，则h(其定义域为R，有h(故f（x）的对称中心不为（1，1），故B不正确；对于C，因为f（2﹣x）=2所以f（2﹣x）+f（x）＝1，所以函数y＝f（x）的图象关于（1，12所以f（x2）+f（2﹣x）＞1，即f（x2）＞1﹣f（2﹣x）＝f（x），易知f(x)=所以f（x2）＞f（x），等价于x2＜x，解得0＜x＜1，所以f（x2）+f（2﹣x）＞1的解集为（0，1），故C正确；对于D，因为g（x）满足y=所以g（﹣x+1）-12=-g（x+1即g（﹣x+1）＝﹣g（x+1）+1，所以y＝g（x）的图象关于（1，12又因为y＝f（x）的图象关于（1，12所以两函数的交点也关于（1，12所以x1+y1+x2+y2+⋯+x1350+y1350＝（x1+x1350）+（x2+x1349）+…+（x674+x677）+（y1+y1350）+（y2+y1349）+…+（y674+y677）＝675（2+1）＝2025，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查函数的对称性以及单调性，考查了指数函数的性质，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知函数f(x)=3x3x-3，其定义域记为集合D，且a，①D＝{x|x≠1}；②f（x）是减函数；③若a+b2=1，则|f（a）﹣f（b）④对任意a∈（﹣∞，1），都存在b∈（l，+∞）使得f（a）+f（b）＜0．【考点】函数与方程的综合运用；定义法求解函数的单调性．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】①③．【分析】根据函数有意义求解判断①；根据复合函数的单调性判断②；由a+b2=1，可得b＝2﹣a，a≠1，b≠1，进而得到f(a)-f(b)=1+63a-3，结合指数函数的值域及不等式的性质可判断③；取【解答】解：对于①，由题可得3x﹣3≠0，解得x≠1，所以D＝{x|x≠1}，故①正确；对于②，f(因为函数t＝3x在（﹣∞，1）和（1，+∞）上为增函数，且y=1+3t-3在（﹣∞，3则函数f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上为减函数，故②错误；对于③，因为a+b2=1，则b＝2﹣a，a≠1，则f=3由a≠1，则3a＞0且3a≠3，所以3a﹣3＞﹣3且3a﹣3≠0，则13a-3＜-1所以|f(a对于④，当a＝0时，f(对任意的b∈（1，+∞），f(则f(a)+故答案为：①③．【点评】本题考查了函数单调性的应用，函数与方程的应用，不等式性质的应用，属于难题．14．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x∈R都满足f（1+x）＝f（1﹣x）．当x≤1时，f(x)=lnx，0＜x≤1，ex，x≤0.若函数g（x）＝m|x|﹣2与【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．【答案】（﹣∞，0]∪{e}．【分析】由f（1+x）＝f（1﹣x）得出f（x）关于x＝1对称，根据x≤1时f（x）的表达式结合对称性作f（x）的图像，分m＜0，m＝0，m＞0三种情况讨论g（x）＝m|x|﹣2与f（x）的交点情况，并利用交点数恰好为2得出对应的实数m的范围，从而求解．【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，且对任意的x∈R都满足f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（x）关于x＝1对称，结合x≤1时，f(函数g（x）＝m|x|﹣2是过定点（0，﹣2）的折线，当m＞0时，函数g（x）＝m|x|﹣2是过定点（0，﹣2），开口向上的折线，如图，只有当直线y＝mx﹣2与y＝lnx在（0，1]上的图像相切时，函数g（x）＝m|x|﹣2与f（x）的图像恰有两个交点，设切点（x0，y0），其中x0∈（0，1]，y＝lnx的导数为y'所以x0处切线斜率为m=联立直线和切线方程得：1x0⋅x0-2=lnx0，解得所以m=当m＜0时，函数g（x）＝m|x|﹣2是过定点（0，﹣2），开口向下的折线，如图，函数g（x）＝m|x|﹣2与f（x）的图像恒有2个交点，当m＝0时，函数g（x）＝﹣2，与f（x）交点情况如下图所示，所以m＝0时g（x）＝﹣2与f（x）的图像有2个交点，符合题意，综上所述，实数m的取值范围为m≤0或m＝e．故答案为：（﹣∞，0]∪{e}．【点评】本题考查了函数的图像和性质，考查了函数的零点与方程的根的关系，属于难题．15．已知a∈R，f(x)=xlnx，关于x的方程f2（x）+2af（x）﹣4＝0有三个实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，若满足不等式m＜(x1ln【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】18．【分析】先求定义域，再求导，得到f(x)=xlnx的单调性，画出其图象，令f（x）＝t，则t2+2at﹣4＝0有两个不等实根，设为t1，t2，t1＜t2，则t1+t2＝﹣2a，t1t2＝﹣4，结合函数图象可得t1＜0，t2＞e，得到a＜2e-【解答】解：因为f(由lnx≠0，得x≠1，故定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导得f'令f′（x）＝0，得lnx﹣1＝0，解得x＝e，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜e时，f′（x）＜0，所以f(x)=xlnx在（0，1），（1，e其中f（e）＝e，作出f(x)=令f（x）＝t，则方程f2（x）+2af（x）﹣4＝0，即为t2+2at﹣4＝0，又因为Δ＝4a2+16＞0恒成立，故t2+2at﹣4＝0有两个不等实根，设为t1，t2，t1＜t2，由韦达定理可得t1+t2＝﹣2a，t1t2＝﹣4，而f2（x）+2af（x）﹣4＝0有三个实数解x1，x2，x3，x1＜x2＜x3，故f（x）＝t1有1个根，f（x）＝t2有2个不等实根，又因为t1t2＝﹣4＜0，故t1＜0，t2＞e，-2所以a=又因为a=2t2-t22在故a＜所以(=[因为a＜所以2a-所以(2a-3)2＞代入计算可得(4满足m＜(x1lnx故答案为：18．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想、数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题．16．设函数f(x)=bx，x＜0，x2-bx+14，x≥0.若存在点A（a，a）在函数f【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】1；0．【分析】利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可．【解答】解：当a＜0时，将点A（a，a）代入f（x），得到ba＝a，解得b＝1，则b的一个取值为1，当a≥0时，满足a2-ba由题意得此方程在0，+∞）上有解，得到(b+1)2-则b的最小值为0．故答案为：1；0．【点评】本题考查分段函数的应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．为了节能减排，学校决定安装一个可使用10年的太阳能供热设备，并接入电网．安装这种设备的费用y（单位：万元）与太阳能电池板的面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为2．为了保证正常热水供应，安装后采用太阳能和电能互补的模式．设在此模式下，安装后学校每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C(x)=k-x210，0≤x≤4，（1）求常数k的值；（2）写出F（x）的解析式；（3）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【考点】根据实际问题选择函数类型；运用基本不等式解决实际问题．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）50；（2）F(（3）当x为5平方米时，F（x）取得最小值，最小值是30万元．【分析】（1）由C（3）＝4.1可得出关于k的等式，即可解得k的值；（2）分0≤x≤4、x＞4两种情况讨论，根据F（x）＝10C（x）+2x可得出函数F（x）的解析式；（3）求出函数F（x）在0≤x≤4、x＞4时的最小值，比较大小后可得出结论．【解答】解：（1）依题意得，C（3）＝4.1，所以k-3210=4.1故k的值为50；（2）依题意可知F（x）＝10C（x）+2x，又由（1）得，C(当0⩽x⩽4时，F(当x＞4时，F(所以F(（3）当0⩽x⩽4时，F（x）＝﹣x2+2x+50，因为F（x）在[0，1]上单调递增，在[1，4]上单调递减，所以F（x）min＝F（4）＝42；当x＞4时，F(当且仅当200x即x＝5时等号成立，所以F（x）min＝30；又42＞30，故F（x）min＝30，则当x为5平方米时，F（x）取得最小值，最小值是30万元．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．18．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分P（t）（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：P（t）=-0.4t2+8t+c，0≤t≤10，-（1）求常数c和k的值；（2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；（3）已知大模型的标准化训练效率定义为E（t）=P(t)-50t【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模；运算求解．【答案】（1）c＝40，k＝720；（2）t∈（403（3）t＝5（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高．【分析】（1）根据函数P（t）的初始值和连续性求出c，k的值即可．（2）根据分段函数的解析式，在t的不同范围内令其解析式大于等于92，求一元二次不等式的解集即可．（3）先求出不同t的范围时E（t）的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同t的范围时E（t）的最大值，然后进行比较即可．【解答】解：（1）因为P（0）＝40，P（t）＝﹣0.4t2+8t+c，0≤t≤10，则有c＝40．因为P（t）在t＝10处函数图象是连续不断的，所以-0.4解得k＝720．（2）当0≤t≤10时，令P（t）≥92，则﹣0.4t2+8t+40≥92，化简得t2﹣20t+130≤0，因为Δ＝400﹣4×130＜0，所以此时不等式无解集；当10＜t≤60时，令P（t）≥92，则-720化简得3t2﹣130t+1200≤0，解得403所以满足条件的训练时长范围为t∈（403（3）当0≤t≤10时，P（t）＝﹣0.4t2+8t+40，此时E(因为t＞0，所以0.4t当且仅当0.4t=10t时，即此时0.4t-10t+8≤4，此时E当10＜t≤60时，P(此时E（t）=P(t)-50t=-720t-1.8t+120综上，当t＝5时，E（t）＝4，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高．【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=（1）若函数g（x）＝f（x）﹣kx恰有4个零点，求实数k的取值范围．（2）若函数h（x）＝f[f（x）]﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若x1＜x2＜x3，求证：x1﹣ex2＜﹣2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）（0，1e（2）（I）(1（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知e﹣1﹣1＜m≤0，且e所以x1设φ（m）＝ln（m+1）﹣em+1（e﹣1﹣1＜m≤0），则φ'因为φ'（m）在区间（e﹣1﹣1，0]上单调递减，且φ'（e﹣1﹣1）＞0，φ'（0）＜0，所以φ'（m）＝0在区间（e﹣1﹣1，0]上有且仅有一根，设这个根为m0，其中1m因为当m∈（e﹣1﹣1，m0）时，φ'（m）＞0，φ（m）单调递增；当m∈（m0，0）时，φ'（m）＜0，φ（m）单调递减，所以φ(因为m0+1≠1m0+1，所以取不到等号，所以x1【分析】（1）通过分析函数y＝f（x）与y＝kx的图象交点情况，结合导数求切线斜率，即可得出k的取值范围是0，（2）（I）通过分析函数f（x）的单调性、值域以及方程f（f（x））＝m的根的情况，进而得出实数m的取值范围是(1（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定m的范围，进而得到x1＝ln（m+1），x2=em，构造函数φ（m）＝ln（m+1）﹣em+1，通过分析其导数φ'（m）的单调性与零点，得出（m）的单调性，再结合均值不等式，最终证明x1﹣ex【解答】解：（1）作出y＝f（x），y＝kx的图象，由题意知，这两个函数的图象有四个交点，设y＝ex﹣1，则y'＝ex⇒y'|x＝0＝1，由图象可知，y＝kx的图象与y＝ex﹣1（x≤0）的图象有两个交点，所以0＜k＜1；设y＝lnx，则y'=1x，设过原点且与函数y＝lnx的图象相切的切点为（x0则lnx0=由图象知道，y＝kx与y＝lnx（x＞0）的图象有两个交点，所以0＜k＜1e（2）（Ⅰ）由于f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增，且值域为（﹣1，0]，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且值域为R，f(设f（x）＝t，方程f（t）＝m，由题意可知f（f（x））＝m有三个不同的实数根，则f（t）＝m有两个不同的实数根t1，t2（t1≤0，t2＞0），此时f（x）＝t2有且仅有1个解，因此需要f（x）＝t1有且仅有2个解，所以t1∈（﹣1，0]，而m=故实数m的取值范围是(1（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知e﹣1﹣1＜m≤0，且e所以x1设φ（m）＝ln（m+1）﹣em+1（e﹣1﹣1＜m≤0），则φ'因为φ'（m）在区间（e﹣1﹣1，0]上单调递减，且φ'（e﹣1﹣1）＞0，φ'（0）＜0，所以φ'（m）＝0在区间（e﹣1﹣1，0]上有且仅有一根，设这个根为m0，其中1m因为当m∈（e﹣1﹣1，m0）时，φ'（m）＞0，φ（m）单调递增；当m∈（m0，0）时，φ'（m）＜0，φ（m）单调递减，φ(因为m0+1≠1m0+1，所以取不到等号，所以x1【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系及不等式的证明，属于难题．20．已知函数f（x）＝2+log3x，g（x）＝3x．（1）若F（x）＝f（g（x））•g（f（﹣x）），求函数F（x）在区间[-（2）若H(x)=（3）令G（x）＝（f（x）﹣2）2+（4﹣k）（f（x）﹣1），已知函数G（x）在区间[1，9]上有零点，求实数k的取值范围．【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数；复合函数的值域．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）[0，9]；（2）1012；（3）[4，【分析】（1）求出F（x）的表达式，根据二次函数的性质即可求解；（2）求出H（x）的表达式，再计算H（x）+H（1﹣x）的值，分析出规律后即可求解；（3）求出G（x）的表达式，再令t＝log3x，将G（x）转化为常见的二次函数形式，最后结合分离变量及对勾函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）F（x）＝f（g（x））•g（f（﹣x））＝（2+log33x）•（32+log3（﹣x））＝（2+x）•（﹣9x）＝﹣9（x+1）2+9，F（x）为二次函数，对称轴为x＝﹣1，开口向下，当x∈[﹣2，﹣1）时，函数F（x）单调递增，当x∈[-1，-又F(-13)=5，F（﹣2）＝0，F则函数F（x）的最大值为F（﹣1）＝9，函数F（x）的最小值为F（﹣2）＝0，所以函数F（x）的值域为[0，9]；（2）H(则H(所以H=3=3所以H(故H(（3）G(令t＝log3x，当x∈[1，9]时，t∈[0，2]，则函数G（x）等价于y＝p（t）＝t2+（4﹣k）t+4﹣k，若函数G（x）在区间[1，9]上有零点，则等价于y＝p（t）＝t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即p（t）＝t2+（4﹣k）t+4﹣k＝0在区间[0，2]上有解，所以t2+4t+4﹣k（1+t）＝0在区间[0，2]上有解，所以k=设m＝t+1，则m∈[1，3]，则k=因为函数q(m)=m+且q(1)=4即当1≤m≤3时，q(所以4≤所以实数k的取值范围是[4，【点评】本题考查了指数函数、对数函数及对勾函数的性质，考查函数的零点及转化思想，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．运用基本不等式解决实际问题【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】均值不等式在解决实际问题中有广泛应用．例如，在优化设计、资源分配等问题中，可以通过均值不等式求解最优解，从而解决实际问题．通过均值不等式，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行分析和求解．【命题方向】运用均值不等式解决实际问题的命题方向包括优化设计问题、资源分配问题等．例如，通过均值不等式求解最优资源分配方案，或设计最优几何图形．这类题型要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并能灵活运用均值不等式进行求解和分析．某单位准备建造一间地面面积为12平方米，背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/平方米，房屋侧面的造价为800元/平方米，屋顶造价为5800元，房屋背面的费用忽略不计．若墙高为3米，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？解：设房屋侧面的长度为x米，房屋总造价为y，则y＝2x×3×800+12x×＝4800（x+9x）+5800（x＞∵x+9x≥29=6，当且仅当x=9∴y的最小值为4800×6+5800＝34600，则当矩形小房地面的长度分别为3，4米时，总造价最低．最低总造价是34600元．3．复合函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】复合函数的值域是内层函数和外层函数值域的共同部分．复合函数形式如f（g（x））．﹣分析内层函数g（x）的值域．﹣将内层函数的值域代入外层函数，求出外层函数的值域．﹣综合内层和外层函数的值域，确定复合函数的值域．求函数y＝2|3﹣x|的值域．解：|x﹣3|≥0，则y＝2|3﹣x|≥20＝1，故函数y的值域为[1，+∞）．4．定义法求解函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1f(x1)-f(x2)x1②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．已知函数f(x)=x2（1）求实数m的值；（2）判断f（x）在区间(2解：（1）因为f（x）是奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）．所以有x2+2-x+m=-x2解得m＝0．（2）函数f（x）在区间(2证明：由于m＝0，所以f(设∀x1，x2∈(2则f(由x1，x所以x1x2＞2，x1x2﹣2＞0．又由x1＜x2，得x1﹣x2＜0，于是(x1-x2)x1x2(所以函数f（x）在区间(25．由函数的最值求解函数或参数【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】﹣分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式．﹣利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数．﹣验证求解结果的正确性．【命题方向】题目包括通过最值反求函数或参数，考查学生对最值及函数关系的理解和应用能力．已知函数f(x)=2x+mx+1在[0解：f(显然m≠2，当m＞2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，则2+m-20+1=3当m＜2时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，则2+m-21+1=3综上，m＝3．故答案为：3．6．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n．【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．7．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）=a-2x2x解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）=a-2x2x+1=-【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．8．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．9．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝x=kπ2解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函数y＝sint的对称轴为t则2x-π4=kπ+则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x故答案为x=这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x-π【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．10．三角函数的恒等变换及化简求值【知识点的认识】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．公式①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2-②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（π2-x）＝③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2-x）＝cot④余切函数有y＝cot（π2-x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cot【解题方法点拨】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：sin60°=32，cos(-∴原式=3先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【命题方向】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．11．由函数零点所在区间求解函数或参数【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．若函数f（x）＝a+log7x在区间（1，7）上有零点，则实数a的取值范围为_____．解：因为函数f（x）在区间（1，7）上为增函数，所以若函数f（x）在区间（1，7）上有零点，则f（1）＜0，f（7）＞0，所以a＜0，a+1＞0，所以﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）．12．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．13．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．14．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100-p元，预计年销售量将减少（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为8000100-p（11.8﹣政府对该商品征收的税收y=8000100-p（11.8﹣p）故所求函数为y=80100-p（11.8﹣由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得80100-p（11.8﹣p）p化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=8000100-p（11.8﹣p）（2≤p∵g(p)=8000100-∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．15．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的