湘教版高二数学试卷及答案

湘教版高二数学试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分一、选择题（总共10题，每题2分）1.在复平面内，复数z=(1+i)^2除以i的辐角主值是（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/42.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.2πB.πC.3π/2D.π/23.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，恰好出现两次正面的概率是（）A.1/8B.3/8C.1/4D.1/24.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的模长是（）A.√5B.√10C.√15D.2√25.椭圆C:x^2/9+y^2/4=1的焦点坐标是（）A.(±√5,0)B.(0,±√5)C.(±3,0)D.(0,±3)6.函数g(x)=ln(x+1)在区间(0,1)上的平均值是（）A.ln2-1B.ln2C.ln3-1D.ln37.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=5，a_3=11，则a_5的值是（）A.17B.19C.21D.238.不等式|2x-1|<3的解集是（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)9.已知直线l:y=2x+1与圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=4的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.重合10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)的值是（）A.-2B.2C.0D.1二、判断题（总共10题，每题2分）11.若a>b，则a^2>b^2。（）12.直线y=kx+b的斜率k一定存在。（）13.椭圆的离心率e满足0<e<1。（）14.数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则{a_n}是等差数列。（）15.函数f(x)=e^x在R上单调递增。（）16.若A和B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）17.向量a=(1,0)与向量b=(0,1)是线性无关的。（）18.抛物线y^2=2px(p>0)的焦点在x轴正半轴。（）19.若f(x)是偶函数，则f(x^2)也是偶函数。（）20.复数z=a+bi(a,b∈R)的模长|z|是实数。（）三、填空题（总共10题，每题2分）21.已知cosθ=-1/2，且θ∈[π,2π)，则sinθ的值是________。22.函数f(x)=√(x-1)的定义域是________。23.数列{a_n}是等比数列，a_2=6，a_4=54，则公比q的值是________。24.过点(1,2)且与直线y=3x-1平行的直线方程是________。25.椭圆C:x^2/16+y^2/9=1的准线方程是________。26.函数f(x)=sin(π/2-x)的周期是________。27.从5名男生和4名女生中任选3人，其中至少有1名女生的概率是________。28.已知向量a=(2,3)，b=(1,-1)，则向量a·b的值是________。29.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是________。30.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式是________。四、简答题（总共4题，每题5分）31.已知函数f(x)=2cos^2x+sin2x，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。32.求过点(1,2)且与圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0相切的直线方程。33.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求a_5的值。34.设A、B是两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(A∪B)=0.8，求P(A∩B)和P(¬A∩¬B)。五、讨论题（总共4题，每题5分）35.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性及极值。36.已知椭圆C:x^2/9+y^2/4=1，讨论直线y=kx与椭圆的位置关系。37.从一副扑克牌中（除去大小王）随机抽取一张，记事件A为“抽到红桃”，事件B为“抽到K”，讨论事件A与B的独立性。38.设复数z=a+bi(a,b∈R)，讨论当|z|=1时，z^2的辐角主值的取值范围。参考答案一、选择题1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.C8.D9.A10.A二、判断题11.×12.×13.√14.√15.√16.√17.√18.√19.√20.√三、填空题21.-√3/222.[1,+∞)23.324.y=3x-125.x=±8/326.2π27.3/528.-529.230.1+√3i四、简答题31.解：f(x)=2cos^2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+√2sin(2x+π/4)。当sin(2x+π/4)=-1时，f(x)取得最小值0。此时2x+π/4=3π/2+kπ，k∈Z，解得x=5π/8+kπ/2，k∈Z。最小值为0，取得最小值时的x值为5π/8+kπ/2，k∈Z。32.解：圆C的标准方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心为(2,-3)，半径r=4。设所求直线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y+k+2=0。由直线与圆相切，得圆心到直线的距离d=r，即|2k+3+k+2|/√(k^2+1)=4，解得k=-15/8或k=1。所求直线方程为15x+8y-31=0或x-y+1=0。33.解：a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。当n=1时，a_1=S_1=1，符合上式。所以a_5=6×5-5=25。34.解：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.8=0.5。P(¬A∩¬B)=1-P(A∪B)=1-0.8=0.2。五、讨论题35.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x∈(-1,0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2,3)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。f(0)=2，f(2)=-2，f(-1)=-4，f(3)=2。极大值为2，极小值为-2。36.解：联立方程组x^2/9+y^2/4=k^2x^2+4y^2=4，得(9+4k^2)x^2+36y^2=36。当9+4k^2=0时，k无解，直线与椭圆无交点。当9+4k^2≠0时，方程有解，直线与椭圆相交。若直线与椭圆相切，判别式Δ=0，解得k=±3/2。当k∈(-3/2,3/2)时，直线与椭圆相交；当k=±3/2时，直线与椭圆相切；当k>3/2或k<-3/2时，直线与椭圆相离。37.解：P(A)=13/52，P(B)=4/52，P(A∩B)=1/52。P(A)P(B)=13/52×4/52=1/52=P(A∩B)，所