期末重难点真题特训之压轴满分题型（84题24个考点）（教师版）-华东师大版(2024)九上

期末重难点真题特训之压轴满分题型（84题24个考点）【精选最新考试题型专训】压轴满分题一、利用二次根式的性质化简1．（2024·山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（

）已知，．求的值．解：；原式．A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数【答案】B【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答．【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想，故选：B．2．（23-24九年级上·山东滨州·期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则．【答案】【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值．【详解】解：根据题中的规律得：的正整数），，，，则．故答案为：．3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题．【问题解决】（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简；【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式；【问题迁移】（3）若，解方程．【答案】；；【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键．（1）根据题目所给方法对变形即可得解；（2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解；（3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可；【详解】（1），故答案为：；（2），（3），又，∴，上式，，故方程为，解得：．压轴满分题二、二次根式的乘除混合运算1．（23-24九年级上·湖北·单元测试）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点．先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，求解，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用勾股定理解直角三角形即可得判断结论④．【详解】解：四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，即，结论①正确；平分，，，，，，，，，结论②正确；，，∴，∴，即，故结论③正确；如图，过点作于点，连接，

平分，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，由垂线段最短得：当时，取得最小值，此时在中，，即的最小值是，结论④正确；综上，所有正确结论的序号是①②③④，故选：D．2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是．【答案】/【分析】本题考查程序框图的运算，仔细判断方向，准确计算是解题的关键．根据输入的数字从左往右依次计算即可．【详解】解：输入3，第一步，第二步，第三步．故答案为：．3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式的运算法则，正确的计算即可；（3）利用加减消元法解方程组即可；（4）分式方程的求解步骤求解即可；（5）先分别求解各不等式，从而即可得解；（6）先分别求解各不等式，从而即可得解；（7）根据分式的混合运算法则计算即可；（8）根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．（3）解：，，可得，解得，把代入①，可得：，解得，∴原方程组的解是．（4）解：，去分母得：，解得：，检验：当时，，，∴是原分式方程的解．（5）解：，解不等式，可得：，解不等式，可得：x>1，∴不等式组的解集为：．（6）解：，解不等式，可得：，解不等式，可得：x>2，∴不等式组的解集为：．（7）解：．（8）．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算，二次根式的运算法则，解二元一次方程组，解不等式组，分式的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则，二次根式的运算法则，解二元一次方程组，解不等式组的方法是解题的关键．压轴满分题三、二次根式的化简求值1．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（

）A． B． C．2023 D．【答案】B【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．【详解】解：三个实数，，满足，且，．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件．2．（2024·山东菏泽·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为．【答案】【分析】本题考查分式的加减法和二次根式的运算．找出规律是解题的关键．利用分式的加减法则分别可求，，•••，，利用规律求解即可．【详解】解：∵，∴，，……，……∴．故答案为：．3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，∴，∴，即，∴，∴．根据小明的解答过程，解决以下问题：(1)计算：．(2)已知．①求的值；②求的值．【答案】(1)(2)①，②【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值；（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；（2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：①∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴．压轴满分题四、二次根式的应用1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．【答案】(1)2，，(2)阴影部分面积为；(3)不能截出；理由见解析【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，（1）根据正方形的面积，即可求出边长；（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为，∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，故答案为：2，，；（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，∴长方形木板①的长为，宽为，∴阴影部分面积为；（3）解：不能截出；理由：，，∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．由（2）可得长方形木板的长为，宽为．∵，但，∴不能截出．2．（2024九年级上·湖南·专题练习）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．请解决下列问题：(1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．解：∵一个三角形边长依次为，即，，，∴___________．根据海伦公式可得：___________．(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．【答案】(1)9，(2)【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．（1）直接代入求解即可；（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．【详解】（1）解：，，故答案为：，．（2）解：∵，，，∴，，，∴．3．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵，∴，即∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2；请根据阅读材料解答下列问题：(1)若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值．(2)若时，求式子的最值，并说明此时的值．(3)时，式子成立吗？说明理由．【答案】(1)当时，函数有最小值，且最小值为(2)的最小值为；此时(3)不成立；理由见解析【分析】本题考查基本不等式的应用，二次根式混合运算，解题的关键是理解题意，学会仿照例子解决问题．（1）仿照材料中的例子求解即可；（2）仿照材料中的例子利用二次根式混合运算法则进行计算即可；（3）仿照材料中的例子求出时，有最小值2，根据，不能取到最小值2，得出时，，原等式不成立．【详解】（1）解：∵，∴，∴，当且仅当，解得：，负值舍去，经检验：是方程的解，∴当时，函数有最小值，最小值为；（2）解：∵，∴，∵，∴当取最小值时，取最小值，∴当时，有最小值，且最小值为，∴的最小值为，解方程得：，（舍去），经检验是方程的解，∴当时，的最小值为；（3）解：式子不成立．理由：∵，∴，，∴，当且仅当，即时，有最小值，且最小值为2，∵，∴不等式不能取等号，即不等式不成立．压轴满分题五、一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法）1．（24-25九年级上·四川雅安·期中）用适当的方法解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据直接开平方法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程；（3）先化简，再利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：，；（2）解：，，；（3）解：，，．2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）计算或解方程：(1)计算：；(2)计算：；(3)解方程：；(4)解方程：．【答案】(1)；(2)；(3)，；(4)，．【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，解一元二次方程；根据二次根式的运算法则以及解一元二次方程的方法进行计算，即可求解．（1）根据实数的运算法则进行计算即可求解；（2）根据二次根式的性质化简，二次根式的乘除法进行计算即可求解；（3）根据因式分解法解一元二次方程；（4）先化为一般形式，然后直接开平方法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，∴，∴，∴或，解得：，；（4）解：，∴，即，∴，解得：，．3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明．【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解．（1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）；【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程．请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：需要写出必要的推算过程）【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解．【答案】（1）2，作图见解析；（2）①作图见解析；②5（3）【分析】本题主要考查了解一元二次方程，（1）根据边长之间的关系可得小正方形的边长，再根据题意补充完整即可；（2）画出图形，根据面积相等列出方程，再求出解即可；（3）根据题意画出图形，标注长度，再根据面积相等列出方程，求出解即可.【详解】图1小正方形的边长为：；故答案为：2；补充完整，如图所示；（2）①如图所示，②用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用来那个中方式表示出大正方形的面积，得到整理，得，解得；，即，解得；（3），如图所示，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用两种方式表示出大正方形的面积，得到可知，解得．压轴满分题六、配方法解一元二次方程与应用1．（23-24九年级上·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（

）A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁【答案】B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程判断作答即可．【详解】解：由题意知，甲中，丙中，∴甲和丙出现了错误，故选：B．2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是．【答案】2020【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：与是“同族二次方程”，，，，解得，，则代数式的最小值是2020．故答案为：2020．3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题例题：求代数式的最小值解：∵

∴不代数式的最小值为4．(1)代数式的最小值为(2)已知实数a，b满足，求代数式的最小值．【答案】(1)2(2)5【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法．（1）先将原式变形，进行配方后即可得答案；（2）由可得，再代入后，进行配方，利用配方法即可得答案．【详解】（1），，，的最小值是2，故答案为：2；（2），，，，代数式的最小值是5．压轴满分题七、一元二次方程根的判别式1．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式判断作答即可．【详解】解：∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是．【答案】【分析】本题考查一元二次方程，根据根的判别式即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：．3．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）①；②；③；(2)若关于的一元二次方程方程，①证明：此方程一定是“美好方程”；②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①③(2)①证明见解析；②存在，的值为【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键．（1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案；（2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值．【详解】（1）解：①，，故符合题意；②，，故不符合题意；③，，故符合题意；故选：①③．（2）解：①证明：，，此方程一定是“美好方程”．②存在，理由如下：，，，始终在函数的图象上，，，即存在实数，使得Px1,x2始终在函数的图象上，的值为压轴满分题八、一元二次方程的根与系数的关系1．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象有一个交点，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等相关知识，根据题意可得出直线的解析式，联立，得出一元二次方程，令即可得出的值，得出关于的一元二次方程是解题的关键．【详解】解：由平移可得直线的解析式为：令整理得，∵直线与反比例函数的图象有一个交点，解得：或(舍去)，∴的值为4，故选：C．2．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据，列式结合求解即可得到答案；【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个根，∴，，∵，∴，，∴，∴，解得：，，当时，，，故不符合题意舍去，当时，，，符合题意，故答案为：．3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题：(1)若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可）(2)若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围；(3)若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值．【答案】(1)是函数图象上的“大九中”点(2)，且(3)或【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键掌握相关知识，并理解“幸福函数”和“大九中”点的定义．（1）根据“大九中”点的定义判断即可；（2）由函数是“幸福函数”，可得，整理可得，根据题意可得：，即可求解；（3）根据题意可得：，，整理得：，，推出，是方程的两个根，再根据根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：，，是函数图象上的“大九中”点；（2）函数是“幸福函数”，，即，整理得：，函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，关于的方程有两个不相等的实数根，即，解得：，，，，且；（3）反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，，，，，，，，整理得：，，，是方程的两个根，，，整理得：，解得：或，当时，方程为，，即方程有两个实数根，符合题意；当时，方程为，，即方程有两个实数根，符合题意；综上，或．压轴满分题九、一元二次方程的应用（营销、传播、工程）问题1．（23-24九年级上·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81，再解方程求出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可．【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，得：1+x+（1+x）x=81即（1+x）2=81解得x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去），所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台．答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键．2．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动．(1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率；(2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1000元，则每副乒乓球拍应降价多少元？【答案】(1)该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为；(2)每副乒乓球拍应降价元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设平均每月增长率为x，利用8月销售量6月销售量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：设平均每月增长率为x，根据题意得：，解得：或（舍去），答：该增长率为；（2）解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，根据题意得：，即，解得：或（舍去），答：每副乒乓球拍应降价元．3．（23-24九年级上·四川内江·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．压轴满分题十、一元二次方程的应用（几何、行程、图形）问题1．（2024·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480米(2)70分钟【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，由题意得：，解得：，经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，则，答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：小明从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止．(1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？(2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由．【答案】(1)1秒后的面积等于(2)不能等于，理由见详解【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解．（2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到．【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，依题意，则，整理得：，解得：（舍去），答：1秒后的面积等于；（2）解：的面积不能等于，理由如下∶设经过t秒以后面积为，则，整理得：，，所以此方程无解，故的面积不能等于．3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，…，个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究：点数2345…示意图…直线1…(1)当点数时，直线的条数是______；(2)请你帮小明在下列横线上填上归纳出的一般性结论：______；(3)若某人共画了190条直线，则该平面上共有多少个点？【答案】(1)45(2)(3)该平面上共有20个点【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用：（1）根据前几个图形中点与直线的个数关系可得规律，n个点有条直线，据此规律求解即可；（2）根据（1）所求即可得到答案；（3）根据（2）所求可得方程，解方程，看方程是否有正整数解即可．【详解】（1）解：2个点有1条直线，3个点有条直线，4个点有条直线，5个点有条直线，……，以此类推可知，n个点有条直线，∴当点数时，直线的条数是；（2）解：由（1）可知，；（3）解：当时，整理得：．解得，或（不合题意，舍去）．答：该平面上共有20个点．压轴满分题十一、平行线分线段成比例1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，点H为的中点．连结并延长，分别交正方形各边于点M，N，P，Q，若，则的长为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，连接并延长交于T，推出四边形是平行四边形，得到，求得，过P作于L，根据勾股定理得到，于是得到的长【详解】解：∵四边形都是正方形，，∴,∵点H为的中点，∵四个直角三角形全等，∴，连接并延长交于T，∴四边形是平行四边形，∴，∴∵∴∴，过P作于L，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴或（不合题意舍去）∴，∴的长，故选：C．2．（23-24九年级上·重庆忠县·期中）如图，在等腰中，，点和点分别在AB和上，连接DE，将沿DE翻折，点的对应点刚好落在上，若，，，则的长为．【答案】【分析】先作，，根据平行线的判定即可推得，结合三线合一、勾股定理求出、CF、后，由平行线分线段成比例得到后，再结合翻折性质即可求解．【详解】如图，过点作，，则，，，，，，，，即，，，，，，将沿DE翻折，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定、三线合一、勾股定理、平行线分线段成比例、翻折性质，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例．3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．(1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：．证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程）(2)用三角形内角平分线性质定理解答问题：①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长．②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________．【答案】(1)见解析(2)①cm；②【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解；（2）①根据（1）中的结论即可求解．②根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：①∵是角平分线，∴，∵，，，∴，解得cm；②解：∵是角平分线，∴，∴，∴，∵是中点，∴，∵，∴，∴．故答案为：9．压轴满分题十二、相似三角形的判定与性质综合1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．（1）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证；（2）设，由得出，则可得出答案．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，；（2）解：∵，设，则在中，由勾股定理得，∵四边形是矩形，，∵点为的中点，，，，，，且，，解得，．2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，相交于点，已知，．(1)求的长；(2)当时，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用（1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长．（2）利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用，即可求得的长．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，

∴，∴∴∴，∴，∴，∴∴，∴．3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．（1）如图1，当时，直接写出与的位置关系：_____________；与的数量关系为______________；（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并说明理由．（与的数量关系可用含式子表示）【拓展应用】（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．【答案】（1）；；（2）当时，成立，不成立，应为．理由见解析；（3）的长为或【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，，根据，求出，即可证明结论；（2）证明，得出，，根据，求出，即可证明结论；（3）分两种情况：当D在线段上时，同（2）知，，故，得，根据勾股定理得，解得；当E在线段上时，，解得．【详解】解：（1）如图，延长交于，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，故答案为：；；（2）成立，不成立，应为．理由如下：延长交于，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，则，∵，，∴，∴；（3）当D在线段上时，如图：同（2）可得，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，解得（舍去）；当E在线段上时，如图：同理可得，解得（舍去）；综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．压轴满分题十三、证明三角形的对应线段成比例1．（2024·河北唐山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【答案】A【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∵DE∶EC＝2∶3，∴＝＝＝．∵AB∥CD，∴，∴＝＝．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．2．（2024·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，OA＝3，AB＝4，OA⊥AB．(1)△OAB的面积为；(2)若点C在线段OB上，OC＝2BC，双曲线过点C，则k＝．【答案】6【分析】（1）△OAB的面积为：×OA×AB，代入数计算即可；（2）过C作CD⊥OA，可得△OCD∽△OBA，从而得到对应线段成比例，进而求出C点坐标，再利用待定系数法求出k．【详解】（1）△OAB的面积为：×OA×AB＝×3×4＝6；（2）过C作CD⊥OA，∵OA⊥AB，∴CD∥AB，∴△OCD∽△OBA，∴，∵OC＝2BC，∴，∴，=，∵OA＝3，AB＝4，∴OD＝2，CD＝，∴C(2，)，∵双曲线过点C，∴k＝．故答案为6；．【点睛】此题主要考查了三角形的面积求法，相似三角形的性质，待定系数法求函数关系式，综合性较强，但难度不大，关键是同学们掌握好基础知识．3．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明；（2）由得到，得到，进而得到，即可得到．【详解】（1）∵，∴∵，∴∴∵，∴∴；（2）∵，∴∵，∴∴∴∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．压轴满分题十四、相似三角形的应用1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）一块直角三角形木板的一条直角边AB为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1的方式进行加工，小华准备按图2的方式进行加工，加工损耗忽略不计，请用学过的知识说明谁的加工方案符合要求？【答案】小明，见解析【分析】本题考查相似三角形的应用，图中，根据相似三角形对应边的比相等即可求得；图中，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求得．首先根据勾股定理求得直角三角形的直角边，再根据找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【详解】解：由得.设小明加工的桌面边长为.因为，所以，所以，所以，即，解得；设小华加工的桌面边长为，过点作于点，交DE于点，因为所以，因为所以，因为，所以，所以，所以即，解得，因为，所以故小明的加工方案符合要求.2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，且、、、在同一水平线上．(1)请求出的距离；(2)请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计）【答案】(1)9米(2)40米【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.（1）根据题意可得，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米；（2）证明，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】（1）解：根据题意可得，，∵，，，∴，∴，∴，∴解得米，（2）解：∵，∴，∴∴解得：米,∴凌霄塔的高度为米．3．（2024·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：【问题发现】（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．【类比探究】（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1．【分析】（1）连接，证明，即可求证；（2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系；（3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）连接，如下图：∵点D为BC边中点∴又∵为等腰直角三角形∴，，∴又∵∴∴∴（2）分别过点、作、交于点∵为等腰直角三角形∴又∵、∴、为等腰直角三角形∴，∵，∴∴∴∴，，∴，∴又∵∴∴，即（3）∵，∴又∵∴∴∴设，∴∴当时，最大，最大为1．【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．压轴满分题十五、三角形中位线的实际应用1．（2023·江西·一模）如图，四边形中，，，，请用无刻度的直尺按要求画图（不写做法，保留作图痕迹）．(1)在图1中，画出的中点．(2)在图2中，画出的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，连接并延长交于点；（2）连接交于点，连接交于点，然后延长交于点，则点为的中点．【详解】（1）如图，点为所求．（2）如图，点为所求．【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了中位线的性质和线段垂直平分线的性质．2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，点F在BC边上，点G在射线FC上，且，EF与DG的延长线相交于点H．(1)当E为AB中点时，求的度数；(2)当E在AB边上运动时，问：（1）中的度数是否发生变化？若改变，求的度数的变化范围；若不变，请说明理由．【答案】(1)45°(2)∠H的度数不会发生改变，且∠H=45°【分析】（1）根据AE=EB=BF=FG=，证明点C与点G重合，证明△BEF≌△GHF，得到BE=GH，从而得到FG=GH，判定△FGH是等腰直角三角形，从而得证．（2）如图，连接AC、BD二线交于点O，连接OE、OF，运用正方形的性质，判定△OEF是等腰直角三角形，再证明OF//DG即可得证．【详解】（1）∵正方形ABCD中，，E为AB中点，∴AE=EB=BF=FG=，∠EBF=∠BCD=90°，∴点C与点G重合，∠FGH=90°，∴△BEF≌△GHF，∴BE=GH，∴FG=GH，∴△FGH是等腰直角三角形，∴∠H=45°．（2）∠H的度数不会发生改变，且∠H=45°．理由如下：如图，连接AC、BD二线交于点O，连接OE、OF，∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，AB=BC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=∠BOF+∠COF=90°．∵AE=BF=FG，∴BE=CF，∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF，∠BOE=∠COF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠EOF=90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE=45°．∵BF=FG，OB=OD，∴OF//DG，∴∠OFE=∠H=45°．故∠H的度数大小不变，且∠H=45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形全等判定，三角形中位线定理是解题的关键．3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：(1)三角形中位线定理是：；(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系：、；

(3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是；(4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．

【答案】(1)三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半(2)；(3)42(4)，证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；（2）先证和全等，再说明是△ABG的中位线．利用三角形中位线定理得出结论；（3）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于于，再根据梯形面积公式计算即可；（4）连接、相交于O，过点O作于P，利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理得出是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论．【详解】（1）解：三角形中位线定理是：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．（2）解：；．证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，

∵，∴，，∵就是梯形的中位线，∴∴∴，，∴是的中位线，∴，，即，∵∴．（3）解：∵梯形的中位线长为，∴梯形两底和的一半等于于，∴（4）解：，证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图，

∵四边形是平行四边形，∴，，∵，，，，∴，∴，，∴是梯形的中位线，是梯形的中位线，∴，，∴．【点睛】本题考查三角形与梯形中位线性质，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理．熟练掌握三角形中位线性质和应用是解题的关键．压轴满分题十六、位似图形1．（23-24九年级上·重庆·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的概念得到，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：与是以为位似中心的位似图形，与的相似比是，故与的周长比是，故选A．2．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为．

【答案】【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵，∴，与位似，与的位似比为，与的相似比为，与的面积比为，故答案为：．3．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为．(1)若点A的坐标为，求点的坐标；(2)若的面积为m，则的面积为．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出位似比是解题的关键．（1）首先得到和的位似比为，进而求解即可；（2）根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为，点的坐标为．∴位似比为，∵点A的坐标为，∴点的坐标为；（2）∵，且相似比为，的面积为m，∴的面积为．压轴满分题十七、坐标与图形变化——轴对称1．（2023·浙江台州·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为1,0，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，根据正方形的性质求出点坐标，的长，根据菱形的性质，求出点的坐标，根据关于y轴对称的点的特点，求出点F的对应点的坐标即可．【详解】解：∵点B的坐标为，∴，∵正方形，∴，∴，，∵菱形，∴轴，，∴，∴将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为；故选B．2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点在轴的负半轴上，，直线经过原点，点关于直线的对称点在轴的正半轴上，点关于直线的对称点为，则的度数为；点的纵坐标为．【答案】/75度【分析】题目主要考查轴对称的性质、坐标与图形、含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．根据等边对等角确定，再由轴对称图形的性质得出直线垂直平分，结合图形即可求解确定；过A作轴于C，过作轴于D．根据等腰三角形的性质得出，再由含30度角的直角三角形的性质得出，结合图象即可求解．【详解】解：∵∴．∵点关于直线的对称点在轴的正半轴上，∴直线垂直平分，∵直线经过原点O，∴，∴．如图，过A作轴于C，过作轴于D．∵点A的横坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，∵点在第四象限，∴点的纵坐标为，故答案为：；．3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．【拓展运用】（1）请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为-1）内．①画出顶点在格点的，其中，②直接写出的面积=____________，点C到AB边的距离为____________．【拓展运用】（2）①在图3中，设轴，轴，于点，则____________，____________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；②图4中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，则的最小值为____________；③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：____________．【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③【分析】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．（1）①根据题意画出图形；②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论；（3）①根据题意列出代数式即可；②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值．③把看成点到两点和的距离之和，根据两点间的距离公式即可得到结论．【详解】解：（1）①如图所示；②，，的面积，点到边的距离，故答案为：2，；（2）①轴，轴，，，，故答案为：，；②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点．，，，，即的最小值为，故答案为：；③把式看成点到两点和的距离之差，两点和的距离是的最大值，最大值为：，故答案为：．压轴满分题十八、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比1．（2023·河南洛阳·一模）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解．【详解】解：点是的重心，，，和是以点为位似中心的位似图形，∽，，∽，，同理可得，与的面积之比为，故选：C．【点睛】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．2．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若A，B的横坐标分别为1，，则的长为．【答案】/【分析】先根据A，B的横坐标求得的长，进而求得的长，再根据位似变换的性质得到且，根据相似三角形的性质求出即可．【详解】解：∵A，B的横坐标分别为1，∴，∵正方形，正方形∴，∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶3，∴，且，∴，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质等知识点，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)在图中画出沿x轴翻折后的；(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；(3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)，，【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似：（1）根据轴对称的性质，画出即可；（2）根据位似的性质，画出即可；（3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）由图可知，，∵翻折，∴，∵与的相似比为∴与的相似比为，∴与的周长比是，与的面积比是；故答案为：，，．压轴满分题十九、直角三角形的性质1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线定义、等腰三角形和平行线的性质，解题的关键是证明．根据，，根据直角三角形30度角的性质即可求得的长，再根据角平分线的性质即可得到，根据平行的，从而可推出，即得到了的长．【详解】解：∵，∴，∴（根据直角三角形30度角的性质），∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．故选：B．2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，点D，E分别为、AB的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为．【答案】或【分析】本题主要考查三角形中位线定理、旋转的性质和分类讨论思想的应用，根据三角形中点得，，，则，由旋转的性质得，，，分情况讨论可得，利用线段和差关系即可．【详解】解：∵，，点D，E分别为、AB的中点，∴，，，∵，∴，∵绕着点B顺时针旋转得到，∴，，，∴，∴，则，∵，，∴，∴，∵∴，故的长或．3．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边中，点D，E分别是上的动点，且，AD交CE于点F．(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______；的度数为______；(2)如图2，过C作于P，；①求CF之长；②若，求AB之长；(3)如图3，于P，连接，若，求证：．【答案】(1)相等，(2)①；②(3)见解析【分析】（1）证即可求解；（2）①由（1）可得，即可求解；②由题意得，进一步推出，求得，即可求解；（3）作，交的延长线于点，连接，证得，再证得，推出是等边三角形，证，即可求证；【详解】（1）解：由题意得：，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：相等，（2）解：①∵，∴，∴；②∵，∴，∴，∴，由①可求得：，∴，∴（3）证明：作，交的延长线于点，连接，如图所示：∵，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含度角的直角三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．压轴满分题二十、三角函数的定义求边长1．（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，由正六边形，可得，，则是等边三角形，，则，，，进而可得Q点坐标．【详解】解：如图，∵正六边形，∴，，∴是等边三角形，，∴，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标等知识．熟练掌握正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标是解题的关键．2．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为．【答案】【分析】由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可．【详解】解：由题意知，，，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∵，∴，由题意知，，，∴，∴，，∴可推导一般性规律为，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，余弦，正弦，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．3．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且．(1)求的长；(2)若，求的长．【答案】(1)6(2)【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键．（1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求；（2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，设，则，，由勾股定理得，，解得，，∴，∴的长为6；（2）解：如图，过C作于F，∵，∴，∴，设，则，由勾股定理得，，解得，，∴，，由勾股定理得，，∴的长为．压轴满分题二十一、三角函数综合1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知．(1)求证：四边形是菱形；(2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；（2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，、分别平分、，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：连接，由（1）知，，，为的中点，，四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，，，，，，解得：，平行线与间的距离为．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且．(1)试求的度数．(2)①证明：．②若，求的值．【答案】(1)(2)①见解析；②【分析】（1）根据同弧圆周角相等得，然后利用直角三角形两个锐角互余，以及等量代换，即可解决问题；（2）①结合等腰三角形性质，证明，即可解决问题；②过点C作于点H，设，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题【详解】（1）解：平分，，，，，，，，；（2）①证明：，D为中点，，，，，，，；②解：如图，过点C作于点H，根据题意设，，，，，，，，，，的值为【点睛】本题考查同圆中同弧圆周角相等，直角三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．3．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点O0,0的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关．比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．(1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是．(2)已知α是钝角，则下列说法正确的是．．．．α．α>0(3)若角α的终边与直线重合，则αα．(4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值．【答案】(1)α(2)A(3)或(4)的值为；α的值为【分析】（1）由点Px,y在第四象限，推出，根据（2）根据三角函数的定义分析求解即可；（3）分两种情形讨论即可解决问题；（4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解．【详解】（1）解：∵，∴点Px∴，∵，∴，∴取取正值的是，故答案为：；（2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限，∴，，而>0，∴，故正确；∵，，∴，故不正确；∵，，，∴，故不正确；，故不正确；故答案为：；（3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为，∴，当m>0时，，，，∴；当时，，，，∴；故答案为：或；（4）解：∵角α是锐角，∴终边上一点在第一象限，，∴，∵，∴，解得或（舍去）；经检验，是原方程的解，∴的值为；∴，∴的值为．【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．压轴满分题二十二、解直角三角形1．（2024·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点F，交的延长线于点D，交的延长线于点E，于点G．下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．易得，通过证明，得出，再证明，得出，即可判断A；过点F作于点H，设，则，通过证明，得出，则，在得出，根据正切的定义，即可判断B；易得，则，即可推出，即可判断C；过点C作于点P，易得四边形为矩形，则，通过证明，得出，进而求证，得出，即可判断D．【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，则，故A错误，符合题意；过点F作于点H，设，则，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，则，∵，，∴，∴，故B正确，不符合题意；∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，故C正确，不符合题意；过点C作于点P，∵，，，∴四边形为矩形，则，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故D正确，不符合题意；故选：A．

2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段的延长线交于点．若，，，则的长为．【答案】/【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，一次函数综合，勾股定理等等，先解直角三角形得到，设，由勾股定理得到，解方程可得；再由平行四边形的性质得到，则，如图所示，以点E为圆心，直线和直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，证明，得到，解方程得到，求出直线解析式为，直线解析式为，联立，解得，则，即可得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴，设，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，如图所示，以点E为圆心，直线和直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，∴，解得，∴，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，同理可知直线解析式为，联立，解得，∴，∴，故答案为：．3．（24-25九年级上·河北承德·期中）在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有30°与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h．(1)①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）；②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）；(2)请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边．【答案】(1)①和；②(2)见解析【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；（2）根据题意画出图形即可；【详解】（1）解：①如图1，为等腰直角三角形，，则；如图2，为含30°的直角三角形，，，，则，．综上，等腰直角三角形直角边长为，含30°的直角三角形直角边长分别为和．②如图3，由题意可知，∴四边形是矩形，由图可得，，，∴（2）如图4，即为所作图形．【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．压轴满分题二十三、解直角三角形的应用1．（23-24九年级·重庆·自主招生）如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：）【答案】N、A之间的距离为【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．过点M作于C，过N作于E，过M作于D，求出，，由，得到，设，则，求出，，根据勾股定理得，即可解答．【详解】解：过点M作于C，过N作于E，过M作于D，如图，则，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，，∵，，设，则，∴，，在中，根据勾股定理，得，∴，解得或（舍去），∴，∴．∴N、A之间的距离为．2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号）【答案】飞机距离地面的高度为【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．过点作于点，先根据坡比的概念得到米，然后证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案．【详解】解：过点作于点，如图，斜坡的坡比，铅垂高度米，，米，，，四边形是矩形，米，，，，是等腰直角三角形，，设米，则米，米，在中，，，解得，米，答：飞机距离地面的高度为米．3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：【实地测量】(1)利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度．(2)利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，DE，CF，AB均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度．(3)利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面