5 7　用二元一次方程组确定一次函数表达式　　导学案　北师大版数学八年级上册

7用二元一次方程组确定一次函数表达式典型例题题型一利用待定系数法确定一次函数的表达式例1已知某一次函数的图象如图1所示，则其函数表达式是.图1解析：设一次函数的表达式为y＝kx+b，由图象知函数图象过点(0，1)和(2，0)，将这两点的坐标代入y＝kx+b得解得所以函数表达式为y＝-x+1.答案：y＝-x+1例2已知一次函数y＝kx+b(k≠0)中自变量x的取值范围是-2≤x≤6，函数值y的取值范围是-11≤y≤9，则这个一次函数的表达式为.解析：当k>0时，y的值随x值的增大而增大，所以当x＝-2时，y＝-11；当x＝6时，y＝9.所以解得当k<0时，y的值随x值的增大而减小，所以当x＝-2时，y＝9；当x＝6时，y＝-11.所以解得所以这个一次函数的表达式为y＝-6或y＝-+4.题型二利用二元一次方程组和一次函数图象解决问题例3已知一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图2所示.(1)写出关于x，y的方程组的解；(2)若k<m，求k，b的值.分析：(1)方程组的解就是两函数图象的交点坐标.(2)根据k<m确定直线y＝kx+b过点(3，4)和(5，0)，再利用待定系数法求出k，b的值即可.图2解：(1)因为一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于点(3，4)，所以关于x，y的方程组的解为(2)因为k<m，所以直线y＝kx+b过点(3，4)和(5，0)，所以解得所以k的值为-2，b的值为10.例4百舸竞渡，激情飞扬.端午节期间某地举行龙舟比赛.甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程y(m)与时间x(min)之间的函数图象如图3所示.根据图象回答下列问题：(1)1.8min时，哪支龙舟队处于领先位置？(2)(3)求乙队加速后，路程y(m)与时间x(min)之间的函数表达式.图3分析：(1)根据图象易得1.8min时甲龙舟队处于领先位置；(2)由特殊点的意义可得结论；(3)将特殊点(2，300)，(4.5，1050)的坐标代入所设表达式求解即可.解：(1)甲.(2)乙，0.5min.(3)设乙队加速后y与x之间的函数表达式为y＝kx+b(k≠0).根据题意，得解得所以y＝300x-300.点拨：认真观察图象，将图象所示的两个已知点的坐标代入函数表达式y＝kx+b中，求出k，b的值.题型三利用二元一次方程组和一次函数解决实际问题例5一茶叶专卖店销售某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，销售一段时间后得到如下数据：销售单价x/(元/kg)120130120…180每天销量y/kg1009590…70设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系.(1)求出y与x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，每天销量最大？最大销量是多少？分析：(1)首先由表格可知销售单价每涨10元，每天销量就少5kg，即可得y与x是一次函数关系，进而可求得答案；(2)根据自变量的取值范围及y随x的增减变化情况求解.解：(1)由表格可知，销售单价每涨10元，每天销量就少5kg，所以y与x是一次函数关系.设y与x的函数表达式为y＝kx+b.根据题意，得解得所以y与x的函数表达式为y＝-0.5x+160.因为销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg.所以自变量x的取值范围为120≤x≤180.(2)因为每天销量与销售单价的关系为y＝-0.5x+160，所以每天销量y随销售单价x的增大而减小.又因为120≤x≤180，所以当x＝120时，每天销量最大，最大销量是y＝-0.5×120+160＝100(kg)，所以当销售单价为120元时，每天销量最大，最大销量是100kg.例6某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案：方案一，没有底薪，只拿销售提成；方案二，底薪加销售提成.：(1)求l1的函数表达式.(2)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？(3)如果该公司销售人员小丽的月工资要超过1000元，那么小丽选用哪种方案较好？图4解：(1)设l1的函数表达式为y＝kx(k≠0，x≥0).因为y＝kx的图象经过点(30，420)，所以30k＝420.所以k＝14.所以l1的函数表达式为y＝14x(x≥0).(2)设l2的函数表达式为y＝ax+b(a≠0，x≥0).因为y＝ax+b的图象经过点(30，560)，所以560＝30a+b.因为每件商品的销售提成方案二比方案一少7元，所以a＝14-7＝7.所以560＝30×7+b.所以b＝350.即方案二中每月付给销售人员的底薪为350元.(3)由(2)得l2的函数表达式为y＝7x+350(x≥0).由解得因为1000>700，观察图象可知小丽选择方案一较好.拓展资源岳飞布阵“揭秘”据说，有一次岳飞被金兵围困在泰州城，当时他身边只有900名士兵，全部驻守在城上.泰州城有东、南、西、北四面墙，无论金兵从哪边看，城墙上都有250名士兵把守，兵力分布如图①所示.晚上，城楼上突然灯火通明，士兵们举着火把来来往往.金兵探子报告主帅金兀术，金兀术带兵亲临城下观看，发现东、南、西、北四面墙上，无论从哪边看都是250人.过了一会儿，金兵观察四面墙上守兵的探子频繁来报：每面墙上守兵由250人增加到265人(如图②)；接着又由265人增加到285人(如图③)；接着又增加到295人(如图④)；再增加到305人(如图⑤)；再增加到315人(如图⑥)；再增加到325人(如图⑦)；最后增加到349人(如图⑧).直看得金兀术和众金兵眼花缭乱，金兵主帅发现城墙上守兵在不断增加，以为岳家军援兵已到，正犹豫时，突然后面金兵惊呼：“大营失火了！”原来突袭金兵大营的200名士兵已经得手，这时金兀术急忙掉转马头，带着金兵仓皇而逃.图5运用一次函数分析岳飞的妙法岳飞的妙法是什么？原来岳飞运用了如下的数学原理：城墙四角的人数，要被计算两次，即多被计算一次(例如东南角上的士兵，从东边数时要计算一次，从南边数时还要计算一次).因此在总人数不变的前提下，要增加每边城墙上的人数，只要增加四角上的人数，而减少中间的人数即可.当然，这个问题也可用所学的