全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷47(题后含答案及解析)

全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷47(题后含答案及解析)

题型有：1.单项选择题2.填空题3.计算题4.证明题

单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1

-27

己知可逆方阵A的逆矩阵则A=

73]

-22”

131-7-3

27-2-1

A.

B.

C.

D.

正确答案：B

……=尚")・=+・(；1

解析：12

2.已知1-1J〔V是齐次线性方程组Ax=O的两个解，则矩阵A可为

()

A.(5,一3,—I)

/5-31\

C2T)

C.\2-17/

12-1

-12-2

D.1-531

正确答案：A

解析：将四个选项代入验证Ax=O是否成立即可.答案为A。

+12=。，

3.方程组I12一"二°,的一组基础解系由个向量组成.

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：B

解言;方程组的基础解系中自由未知量的个

由A=/।。°\-f1°°J,I

数.\°10->/V01°T/,得r(A)=2.故基

础解系中自由未知量的个数为4-r(A)=2.

fX|4-X2+/$=0,

12©-xt-ax3=0.

4.若不一2z2、3工』二°只有零解的充要条件是

A.-1

B.-2

C.-3

D.?4

正确答案：D

解析：方程组只有零解的充要条

1

w9

-a—4

因方程组只有零解,

故IAI#0,即r(A)=3,则一a-4W0,得aW?4.

2001

0010

0-600

7000

5.行列式)

A.0

B.21

C.42

D.一42

正确答案:D

解析行列式展开性质

200

0001

000

7

7000答案为D

产i—3xz+2JG=0

6.方程组।-2右+64-4电=°的一组基础解系由个向量组

成.（）

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：B

解析：该方程组的系数矩阵秩等于1,有3个未知数，因此基础解系由2个

线性无关的向量组成.答案为B。

7.实二次型f（xL…，xn）=ATx为正定的充要条件是（）

A.f的秩为n

B.f的正惯性指数为n

C.f的正惯性指数等于f的秩

D.f的负惯性指数为n

I卜确答案：B

解析：由正定的性质即得.答案为B

8.要使£1=(1,0,1)T,e2=(-2,0,1)T都是线性方程组Ax=0的解,

只要系数矩阵A为

123

-121

A.312B.

112

,211

010

00

C.020D.

020

321

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

解析：€1,£2显然线性无关，故系数矩阵的秩至多为3—2=1,只有D符

合.

9.若Ql,Q2,a3是齐次方程组Ax=0的基创解系，则下列答案中也是Ax=0

的基础解系的为（）

A.a1—a2,a2--a3,a3—a1

B.a1,a2,Q3的任意三个线性组合

C.a）,a1-a2,al—a2—。3

D.al,2a1,3a1

正确答案：C

解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与

等价.答案为C。

10.零为矩阵A的特征值是A不可逆的()

A.必要条件

B.充分条件

C.非充分、非必要条件

D.充要条件

正确答案：D

解析：零为矩阵A的特征值,|0XE—A|4A|=(一l)n|A|=0,|A|=0推得A不可

逆.故选D.

11.n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()

A.方程个数mVn

B.方程个数m>n

C.方程个数m=n

D.秩(A)Vn

正确答案：D

解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)Vn-Ax=0有非零解(充分条件);

同样，若Ax=0有非零解f「(A)Vn(必要条件).答案为D。

12.若四阶实对称矩阵A是正定矩阵，则A的正惯性指数为

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：D

13.设A,B,A+B,A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则()

A.A-l+B-1

B.A+B.

C.A(A+B)-1.B

D.(A+B)-l

正确答案：C

解析：由于

(A-l+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-lA)(A+B)-1B=(B-1B+B-lA)(A+B)-1B=B-1(A+B)

(A+B)-1.B=B-1.B=L所以(AJ+B-1)特征值全大于0.负定矩阵=特征值全小于

0.半正定矩阵=特征值中含()，而其余全大于(),半负定矩阵V特征值中含0,

而其余全小于0.

16.设A、B为n阶方阵，满足A2=B2,则必有()

A.A=B

B.A=­B

C.IAI=IBI

D.IAI2=IBI2

正确答案：D

解析：VA2=B2A2=AA=BB=B2AIAI=IBI,IAAI=IBBI.：.\

AA|=|A||A|=|A|2,|BB|=|B||B|=|B|2：.IAI2=IBI

2.答案为D。

-T|+x2+x3+zQ=4

2X2+工3+居=4

K：

=2

17.线性方程组b（入+1）/=/2-1无解，则人二（）

A.0

B.1

C.一1

D.任意实数

正确答案：A

解析：当入W0且人工一1时有惟一解，当\二一1时有无穷多解.当人=0

时无解.答案为A。

18.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CAC,则下述结论

不成立.（）

A.A与B相似

B.A与B等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B有相同的特征向量

正确答案：D

解析：Yc是正交阵・・・c=c-1,B=C-1AC,因此A与B相似.A对.c是正

交阵ICIWO,CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B

等价，B对.两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对.（入I—A）X=0与（入I

B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方

程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D答案为D。

ab

A=

19.设2阶矩阵则A*=)

a

A.

正确答案：A

解析：亩伴随矩阵的定义即得.答案为A

20.设A,B为n阶方阵，则下列各式一定成立的是()

A.(A+B)2=A2+2AB+B2

B.(A+B)2=A2+AB+BA+B2

C.(A+B)(A-B)=A-D2

D.(A-B)(A+B)=A2~B2

正确答案：B

解析;后阵乘法不满足交换律.

填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

21.已知向量组a线性相关，则k二

正确答案：k=2

解析：向量a1,a2,Q3线性相关,故对al,a2,a3组成的矩阵作初

等变换,即

n21121ri21〕

21220000—300

22k20-2k-2000k-20由于

a1,a2,a3线性相关,故k=2.

22.二次型f(xl,x2,x3)=xl2—2x22+x32—2xlx2+4xlx3+8x2x3对应的

对称矩阵A=

1—12、

—1-24

正确答案：124b

解析：xl,x2,x3平方项系数对应主对角线元素：1,一2,1x1x2的系数

一2对应al2和a21的系数的和：・・.al2二一la21=-1x1x3的系数4对应al3和

a31系数的和：・・・al3=a31=2x2x3的系数8对应n23和a32的系数的和；，

a23=al2=4.

23.设A、B均为3阶矩阵，IAI=3,IBI=-2,则I-2T.B-1I=。

正确答案：12

解析

I—2ATB1|=(一2尸•|Ar|•B1|=-8X|A|X

=12.

1]a

—2和a?=4

24.设A为实对称矩阵，a1=13)1J是A属于不同特征值入1

和入2的特征向量，贝ija二.

正确答案：5

解析：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(Ql,a2)=a

一8+3=a—5二0,所以a=5.

25.设a=(1,1,0,一1),8二(-2,1,0,0),y=(-l,-2,0,1),则3

a—0+5r=.

正确答案：(0，—8,0,2)

解析：3a—p+5y=3(1,1,0,一1)一(一2,1,0,0)+5(—1,一2,0,

1)=(0,一8,0,2).

01-13]

2•B=20

26.设矩阵A=-12,则3AT-BT=

/4—1-10

正确答案：(一36

-5

解析3AT

-1-214

BT=3V02—1302一36—5

fl00

010

00一］

27.已知方阵A相似于对角矩阵贝IjA10=

正确答案:E

100、

-iAP=010

00-1,

解析：存在可逆矩阵P使因此

(1001

010P

00一1

A=P所以

fl00n001

-i

/°=p010pl=p010

00100-1

100

=P00Pi=p・p—】=E.

00

28.设A是三阶矩阵,其行列式|A|=5,则K5A*)・1|=.

正确答案：'5)

I(5A•尸|=11

I5A*|5J|A-|53X5Z

解析：

2-131

A=4-254

29.设12—14一4，则Ax=O的基础解系含有个解向量.

正确答案：1

解析：由于r(A)=2,所以基础解系含有4—2=2个解向量.

20100

10,5=021

00102

30.设矩阵，则A+2B.

320)

25

正确答案:07

解析

120,100,1201200、320、

A+2B=210+2021210+04252

,001013,001,026,027,

计算题

30

A=040

005

31.设求(2E+A)・1(A2-4E).

正确答案：(2E+A)-1(A2一4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A一

101

=A-2E=020

003,

32.设f(x)是二次多项式，已知f(一1尸9,f(2)=—3,求出f(3).

a+6+c=1

a-6+c=9

正确答案：设f(x)=ax2+bx+c,则有4a+26+c=—3解得a=0,b=一4,

c=5»从而f(x)=-4x+5,f(3)=一7.

j：t4-ii4-工3+n,=1•

3%［卜24+zs+a74=-1，

xt4-2X3+2/4=4,

33.当a、b为何值时，非齐次线性方程组一七十x,-2x^h有唯

一解?有无穷多个解?并求有无穷多解时的通解.

32

由(A,b)一

0124

0-1-2b

1111

0-2a—3-4

0UU0

0031—ab+4

11

0I23-a4

•故当。一1#0.即“工

0030+4

0000

1时，“A)=r(A,b)=4,方粗蛆有唯一解.

当a=1.6为任意实数时・r(A)=r(A,b)=3V4.

方程蛆有无穷多解.

01224

则(A,b)

0030b+4

00000

b-5

00-1

3

4-26

002

3

6+4

0010丁

00000

6-5

b-5

-Tl3

4-26

x：=-2X+即特解fj,3

4V

6+4

6+4

^=—

0

-2

&R解系为与二,故此方程组逋解为rj

0

1

正确答案:f+k小为任京实.

<4X|-X2-X,-X4=1,

34.求线性方程组13与一/一为=3的通解.

正确答窠：对增广矩阵作初等行变换，有

0-2-6

-1725

-162L

-2

-4