2025-2026学年 4.4 探究三角形相似的条件同步练习北师大版数学九年级上学期（含答案）

/4.4探究三角形相似的条件相似三角形的有关概念及判定定理1基础夯实知识点1相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则BCBA.2 B.4C.3 D162.如图,△ABC∽△ACP.(1)若∠A=75°,∠APC=65°,则∠BCP的大小为度.(2)若△ABC与△ACP的相似比为53,AP=6,则AC=,BP=知识点2相似三角形的判定定理13.如图,在△ABC纸片中,∠A=76°,∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 ()A.①② B.②④C.①③ D.③④4.下列描述中的各组图形，不一定相似的是()A.各有一个角是50°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形5.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是.(写出一个条件即可)6.如图,已知AD是△ABC的角平分线,AD=BD,求证:△ABC∽△DAC.7.如图，在△ABC中,∠ACB=90°.(1)在AB上求作点D,使△CDB∽△ACB.(要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,求证:CB8.如图,四边形ABCD是平行四边形，G是DC的延长线上一点，AG分别与DB,CB交于点E,F,下列结论错误的是()A.△ADG∽△FCG B.△ADE∽△FBEC.△ABE∽△GDE D.△ABF∽△GDE9.如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 ()A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.210.如图，△ABC中，CE⊥AB,垂足为E,BD⊥AC,垂足为D,CE与BD交于点F，则图中相似三角形有 ()A.6对 B.5对 C.4对 D.3对11.如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.(1)求证:△ABC∽△AEB.(2)当AB=6,AC=4时,求CE的长.12.如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠ADB=∠DCB=90°,E为AB的中点,CE与BD交于点F.(1)求证:△ABD∽△DBC.(2)求证:DE∥BC.(3)若DF:BF=2:3,CD=6,求DE的长.13.如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.(1)求证:△PFA∽△ABE.(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似?若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.第2课时相似三角形的判定定理2基础夯实知识点 相似三角形的判定定理21.解释教材或选练习如图，已知△ABC，则选项中的三角形与△ABC相似的是 ()2.易错题教材变式「2025山东济南育英中学期末」如图，点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是 ()A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABCC.ABAC3.「2025上海崇明一模」如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是 ()4.「2025福建三明三元期中」如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，其中AD=BC,OAOD=5.如图,BD平分∠ABC,且AB=4,BC=6,则当BD=时,△ABD∽△DBC.6.「2025广东普宁期末」如图,在△ABC中,点D是AB上一点,且AD=1,AB=3,AC=3求证:△ACD∽△ABC.7.「2024广东广州中考」如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.能力提升8.△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是______C9.如图,在△ABC中,AB=23,(1)用尺规作出点D.(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接BD,并证明:△ABD∽△ACB.10.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=12cm,AB=65cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,设时间为xs(0<x<6),那么:(1)当x为何值时,△OPQ的面积为5cm²?(2)当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似?11.如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)△ACF与△ACG相似吗?说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.素养提优12.如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,连接OA,过点A作AB⊥ON,垂足为B,AB=3cm,OB=4cm,动点E,F同时从点O出发,点E以1.5cm/s的速度沿ON方向运动,点F以2cm/s的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C.当点E到达点B时，两点均停止运动.设运动时间为t(t>0)s.(1)当t=1时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由.(2)在运动过程中，无论t取何值时，总有EF⊥OA,为什么?相似三角形的判定定理3基础夯实知识点 相似三角形的判定定理31.若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的各边长可能满足()A.DE=6,DF=8,EF=10B.DE=9,EF=18,DF=25C.DE=1,EF=2,DF=2.5D.DE=6,DF=10,EF=122.「2025湖南新田期中」已知点D、E、F分别为△ABC的三边AB、BC、AC的中点,连接DE、EF、DF,则下列结论不一定正确的是 ()A.DE∥AC BC.DF=EF D.△DEF∽△CAB3.「2024山东邹平期末」如图所示，网格中相似的两个三角形是 ()A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.③与④4.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,DF=3CF,那么△AEF和△ECF是否相似?并说明理由.5.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米,AD=28千米,BD=21千米,BC=42千米,DC=31.5千米,公路AB与CD平行吗?说出你的理由.单位：千米6.学科教材变式特色P94例3如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且AB(1)∠1与∠2相等吗?为什么?(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.能力提升7.△ABC的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),(7,1),以C,D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是 ()(7,-2) B.(5,-1)C.(6,0) D.(7,3)8.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中作出格点△ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有个.9.如图所示的是由4个边长为1的正方形组成的图形.(1)求证:△ABD∽△BCD.(2)求∠ABC的度数.10.一个钢筋三角形支架边长分别是20cm,50cm,60cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角形支架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，有几种不同的截法?素养提优11.新排班推理能力如图①,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分别在,AB、A'B'上,AD(1)当CDC(2)当CDC(3)如图②,M是AC的中点,P,Q是BC的三等分点,AP、AQ分别交BM于点D、点E,则BD:DE:EM=.黄金分割基础夯实知识点黄金分割1.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC,且AC>BC，下列说法错误的是 ()A.如果ACABB.如果ACC.如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D.0.618是黄金比的近似值2.大自然中，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”的美.黄金分割比的比值为5−12A.55−5cmC.6.18cm D3.如图1，在线段AB上找一点C,点C把线段AB分为AC和CB两段,其中AC是较短的一段，若ACCB=CBA.5−12 B.54.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm.(结果保留根号)能力提升5.能教材变量练习「2024四川南充中考，如图，已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=12A.5−1C.5−16.如图，在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为圆心，以BC长为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于124B的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.下列结论不正确的是 A.∠BCE=36° B.BC=AEC.BEAC4探究三角形相似的条件第1课时相似三角形的有关概念及判定定理1基础夯实1.B∵△ABC∽△A'B'C',∴BC2.答案(1)25(2)10,32解析(1)∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=40°,∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=25°.(2)∵△ABC∽△ACP,相似比为-53,AP=6,∴AC3.C题图①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以△BDE和△ABC相似;题图②中，仅有∠B=∠B一个条件，不能推出△BCD和△ABC相似;题图③中,∠C=∠C,∠CED=∠B,所以△CDE和△CAB相似;题图④中，仅有∠C=∠C一个条件，不能推出△CDE和△ABC相似.所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选C.4.A选项A，当一个等腰三角形中50°的角为顶角，底角为65°，另一个等腰三角形中50°的角为底角，顶角为80°时，这两个等腰三角形不相似，故选A.5.答案∠ADE=∠C(答案不唯一)解析∵∠DAE=∠BAC,∴添加的条件可以是∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似,可判定△ADE∽△ACB.(答案不唯一)6.证明∵AD是△ABC的角平分线,·∠BAD=∠CAD,∵AD=BD,∴∠BAD=∠B,∴∠CAD=∠B,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.7.解析(1)如图，点D就是所求作的点.证明:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠CAD,∴△ADC∽△CDB,∴ADCD=能力提升8.D∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△ADG∽△FCG,△ADE∽△FBE,故选项A、B均正确，不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC,∴△ABE∽△GDE,故选项C正确,不符合题意；无法证明△ABF∽△GDE，故选项D错误，符合题意.故选D.9C△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠C=60°,∴∠CAD+∠ADC=120°,∵∠ADE=60°,∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,∴△ADC△∵BD=4DC,∴设DC=x,则BD=4x,∴BC10.A∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠AEC=∠ADB=90°,∠BEF=∠CDF=90°,又∵∠A=∠A,∠EFB=∠DFC,..△AEC∽△ADB,△BEF∽△CDF,∵∠EBF=∠ABD,∠BEF=∠ADB=90°,..△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF,..共有6对相似三角形.故选A.11.解析(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴∠ACD=∠BCA,∵∠ACD=∠ABE,∴∠BCA=∠ABE,∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.(2)∵△ABC∽△AEB,∴ABA=ACAB,∵AB=6,AC=4,612.解析(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD,∵∠ADB=∠DCB,∴△ABD∽△DBC.(2)证明;∵E是AB的中点,∠ADB=90°,∴DE=BE=AE,∴∠EDB=∠EBD,∵∠CBD=∠EBD,∴∠CBD=∠EDB,..DE∥BC.(3)∵∠EDF=∠CBF,∠EFD=∠CFB,∴△DEF∽△BCF,∴设AB=4m,则BC=3m,由(1)知△ABD∽△DBC,∴ABBD=BDBC=ADCD∴素养提优13.解析∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∠B=90°.(1)证明:∵AD∥BC,..∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠B=90°,∴△PFA∽△ABE.(2)存在.∵PF⊥AE,∴∠PFE=90°=∠B.∴当以P,F，E为顶点的三角形与△ABE相似时，有两种情况：如图①,若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB,..PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形PA=EB=2,即x=2.如图②,若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB,∴∠PEF=∠PAF…PE=PA.∵PF⊥AE,∴点F为AE的中点.∴PEAE=EFEB综上可知，x的值为2或5.第2课时相似三角形的判定定理2基础夯实1.D·AB=AC=6,∠B=75°,.∠C=∠B=75°,∴∠A=30°,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知D中三角形与△ABC相似.2.C选项A,若∠ABD=∠C,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；选项B,若∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；选项C，当ABAC选项D，若ADAB3.A在三角形纸片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.A∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；B∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；C∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；D∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意.故选A.4.答案12解析∵AD,BC相交于O,∴∠COD=∠AOB,∵OA5.答案26解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,当ABBD=BDBC时,△ABD∽△DBC,∵AB=4,BC=6,∴40B=BD,1解得6.证明∵AD=1,AB=3,AC=3∴又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.7证明∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,∵∴△ABE∽△ECF.能力提升8答案127解析由折叠易知BF=B'F,在△B'FC与△ABC中,∠ACB=∠B'CF.若B'CAC=CFCB,则△B'FC∽△ABC,易知B'F=B'C,AB=AC=3,B'F=BF,∴BF/₃=4-B/F,解得B'F=易错点相似三角形的对应关系不确定时，需分类讨论，避免漏解.9解析(1)如图，点D即为所求.(2)证明:∵∵∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB.10.解析(1)∵∠AOB=90°,∴BO²=AB²-AO²,..BO=6cm.在Rt△OPQ中,OQ=(6-x)cm,OP=2xcm,∵△OPQ的面积为5cm²,∴12OQ⋅(2)在△AOB和△OPQ中,∠AOB=∠POQ=90°,若OPOA=OQOB,则△OPQ∽△OAB,故2x12=6−综上所述，当x=3或-65解析(1)相似.理由；设正方形的边长为a，则AC⋅∵∠ACF=∠GCA,∴△ACF∽△GCA.(2)∵△ACF∽△GCA,∴∠1=∠CAF,∵∠CAF+∠2=45°,∴∠1+∠2=45°.素养提优12.解析(1)相似.理由如下:当t=1时,OE=1.5cm,OF=2cm.∵又∵∠EOF=∠ABO=90°,∴△EOF∽△ABO.(2)在运动过程中,OE=1.5tcm,OF=2tcm.∵AB=3cm,OB=4cm,∴OEB=OFB=1又∵∠EOF=∠ABO=90°,∴△EOF∽△ABO.∴∠EFO=∠AOB.又∵∠AOB+∠FOC=90°,∴∠EFO+∠FOC=90°.∴∠FCO=90°,即EF⊥OA.第3课时相似三角形的判定定理3基础夯实1.D已知△ABC的三边长分别是3,5,6.选项A,当DE=6,DF=8,EF=10时,36选项B,当DE=9,EF=18,DF=25时,39选项C,当DE=1,EF=2,DF=2.5时,31选项D,当DE=6,DF=10,EF=12时,362.C∵点D、E、F分别为△ABC的三边AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF是△ABC的中位线,∴DE∥AC,DF‖BC,EF‖AB,3.A设网格中每个小正方形的边长为1，则三角形①的三边长分别为2,2,.12+3三角形③的三边长分别为2，22+2三角形④的三边长分别为2⋅24.解析△AEF与△ECF相似.理由:设正方形ABCD的边长为4a.∵E是BC的中点,DF=3CF,,BE=EC=2a,CF=a,DF=3a.根据勾股定理易得AEAE5.解析公路AB与CD平行.理由:∵ABBD=6.解析(1)∠1与∠2相等.理由如下:∵ABBC=BCE=ACD,∴△ABC∽△AED,∴∠BAC=∠EAD,∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2.(2)△ABE与△ACD相似.理由如下:⋅又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD.能力提升7.A、点A,B,C的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),∴AB=AC=4,∠BAC=90°,即△ABC为等腰直角三角形,∵D(7,1),∴CD=2,∵以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,∴△CDE为等腰直角三角形.当CD=CE=2或CD=DE=2时,如图,可知E₁(5,3),E₂(7,3),E₃(5,-1),E₄(7,-1);当CE=DE时,过点E作EF⊥CD于点F,如图;∵CE=DE,EF⊥CD,∴点F为CD的中点,∴CF=1,∵∠CED=90°,∴EF综上,点E的坐标可能是(5,3)或(7,3)或(5,-1)或(7,1)或(6,2)或(6,0).故选A.8.答案6解析如图.结合题意知,使得△ADE∽△ABC的格点△ADE一共有6个.故答案为6.9.解析(1)证明：【证法一】由题意得AB=10∴ABC=ADD=BDDC,∴△ABD∽△BCD.【证法二】根据题意得AD=2,BD=由正方形的性质得∠1=45°，∴∠ADB=∠BDC=135°.∴△ABD∽△BCD.(2)∵△ABD∽△BCD,∴∠BAD=∠CBD.∴∠1=∠BAD+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°,即∠ABC=45°.10.解析当取30cm为一边长时，设另两边长分别为xcm、ycm(x<y).若30cm与20cm对应,则x解得：x=75,y=90.75+90>50,故此种情况不存在.若30cm与50cm对应,则x2012+36=48<50,故此种情况存在.若30cm与60cm对应,则x2010+25=35<50,故此种情况存在.当取50cm作为一边长时，无法得到符合