专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期末复习讲义）（原卷版）

1/16专题01集合与常用逻辑用语、不等式（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律集合的基本概念精准区分元素与集合的∈、∉关系；基础必考点，常出现在小题集合的基本运算能借助Venn图/数轴求交集/并集/补集高频易错点：描述法中代表元素混淆、忽略空集、数轴表示端点虚实不分；集合与其他知识的结合能快速结合不等式解集、函数定义域值域分析集合问题命题趋势：常与一元一次/二次不等式解集/函数定义域值域等结合考查运算量词与命题的否定熟练写出全称命题、特称命题的否定基础必考点，常出现在小题充分条件与必要条件的判断能结合不等式、函数性质判断条件关系命题趋势：常结合一元二次不等式、函数单调性考查充分必要条件不等式的性质能熟练掌握6条不等式性质，能利用性质判断不等式或比较大小基础必考点，常出现在小题基本不等式能准确运用基本不等式求最值，明确“一正二定三相等”的适用条件高频易错点：基本不等式使用时忽略“相等条件”一元二次函数的图像与性质能熟练掌握一元二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值核心必考考点，小题大题均有（大题主要结合一元二次不等式的实际运用）一元二次不等式解法能精准结合一元二次函数图像分析方程根、不等式解集的关系高频易错点：求解一元二次不等式时忽略二次项系数符号（a<0时不等号方向改变）温馨提示：本章内容为高中数学基础，各考点联系紧密（如集合与不等式解集结合、充分必要条件与一元二次函数结合），复习时需注重知识串联，针对易错点专项刷题巩固.知识点01集合表示与元素特性集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和；集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图.常用数集符号：自然数集N；正整数集N或N；整数集Z；有理数集Q；实数集R（必须牢记，期末填空、选择题高频出现）.·示例：已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A·易错点：未考虑到集合的互异性，将其中一种情况舍去.知识点02集合间关系与集合运算性质集合间基本关系包括：子集、真子集、相等集合；注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.集合运算性质：（1），，．（2），，．（3），，．（4）．（5）,．知识点03子集个数公式若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．·示例：已知集合A={1,2,3}，求A的子集、真子集、非空真子集个数.解：n=3，子集个数=23=8；真子集个数=23-1=7；非空真子集个数=23-2=6.知识点04充分条件与必要条件判断（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．集合之间的关系与充分必要性：设．（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件．·示例：若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】“”是“”的充分条件，，，即实数的取值范围为.故答案为：.·易错点：充分条件与必要条件判断颠倒：需明确“p⇒q则知识点05全称/特称命题的否定全称命题：含有全称量词“所有”“任意”“每一个”（符号∀）的命题，形式为“∀x∈M，特称命题：含有存在量词“存在”“有一个”“至少一个”（符号∃）的命题，形式为“∃x∈M，p(x)”，否定为“·示例：命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得，“”的否定是，故选：B·易错点：全称/特称命题否定时漏改量词，条件否定不彻底.知识点06不等式的基本性质对称性：传递性：可加性：可乘性：同向可加性：同向同正可乘性：可乘方性：比较大小的解题方法：关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或·示例：已知实数满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，，，，A错误；对于B，，，，，，，，即，B正确；对于C，，，，即，C正确；对于D，，D错误.故选：BC.知识点07基本不等式①若，则（或），当且仅当时取等号．②若，则，当且仅当时取等号基本不等式变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．求最值常见解题方法：①，当且仅当时等号成立；②，当且仅当时等号成立；③，当且仅当时等号成·示例：若，则的最小值为______【答案】/【解析】由，则.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.·易错点：忽略“一正”前提；未满足“二定”条件；遗漏“三相等”验证：变形不当导致错误.知识点08一元二次不等式解法及应用一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为解题方法总结：（1）已知关于的不等式的解集为（其中），则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集）（2）已知关于的不等式的解集为（其中），则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集）（3）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为即关于的不等式，以此类推）（4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．·示例1：已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.题型一\t"/gzsx/zj135719/_blank"\o"根据交并补混合运算确定集合或参数"根据交并补集混合运算确定参数的值或范围解｜题｜技｜巧1.先“化简”明确集合具体形式：对已知集合，优先通过解方程（如一元二次方程）、解不等式（如一次/二次不等式）化简，确保含参数集合与已知集合形式统一（如均为区间或离散元素集）.2.再“可视化”：用数轴或者韦恩图表示集合，转化集合关系3.后“列条件”：转化为参数的数学关系.分两类情况列条件：子集/空集相关：若含参集合C⊆D，先讨论C=∅的情况，再讨论交并补关系：根据图形直接列不等式/方程.终“验证”：验证是否满足集合中元素的性质，排除矛盾与无效解.易｜错｜点｜拨空集遗忘讨论、未考虑到元素的互异性、补集忽略全集、端点虚实混淆、范围取反错误.【典例1】(25-26高一上·四川成都第七中学（高新校区）·月考)已知集合A=x|x2−3x−4<0,B=x|a−1≤x≤a+2，若集合A．−1,0∪2,3 C．−2,−1∪3,4 【典例2】．(25-26高一上·上海朱家角中学·)已知集合A=x|2x−a<0,B=x|x+7xA．a<−6 B．a>−6C．a≥−6 D．a≤−6【变式1】已知集合A=x|x2−x−6>0，B=x|x2−3ax+4≤0，若A．2915,209 B．2915,【变式2】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)已知集合A=xa−2≤x≤a+2，B=x(1)当a=2时，求A∪B，∁R(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.【变式3】(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知集合A={x∣a<x<2a−3}，B=x∣(1)若a=4，求A∩B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．【变式4】(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县第一中学·月考)已知集合A={x|x2+2x−8=0}，B={x|x2−5x+6=0}，C={x|x2−mx+A．−1 B．4 C．−1或4 D．1或4题型二充分必要条件与集合间的关系答｜题｜模｜板1.基础转化：条件关系与集合关系的“双向翻译”：p是q的充分条件，则p的范围在q的范围里；p是q的必要条件，则q的范围在p的范围里；p是q的充要条件，两集合完全相等；p是q的充分不必要条件，则P是Q的子集但不相等；p是q的既不充分也不必要条件，则两集合互不包含.2.进阶技巧：含参问题的“三步解题法”：定集合：化简条件与结论对应的集合，判包含：根据条件关系转化为集合包含关系，列条件：根据包含关系求参数，验证端点3.特殊技巧：“正难则反”简化复杂问题：当直接分析“p是q的充分条件”难度较大（如含“不都”“至少”等否定词），可利用“原命题与逆否命题等价”转化为反面问题易｜错｜点｜拨含参集合未分类讨论、混淆“条件”与“结论”的对应性、条件与集合的包含关系颠倒【典例1】设集合A=x|x2+x−6=0},B=x|mx−2=0}A．m∈0,23C．m∈0,−23【典例2】(25-26高一上·黑龙江大庆外国语学校·月考)设集合A={x|−1≤1−x<3}，B={x|1−m<x<2m−2}(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B的必要条件，求实数m的取值范围．【变式1】设a,b∈R，集合A=a,a2+1,B=b,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】已知集合A={x|y=4−x2}，集合A．a∈−∞,−2 B．a∈−∞,−2 C．a∈2,+∞【变式3】(17-18高三下·上海七宝中学·开学考)设集合M=x,yy>x+2，N=x,yxA．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【变式4】(17-18高二下·黑龙江双鸭山第一中学·开学考)若集合A=xx2−5x+4<0，B=xx−a<1A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又不必要条件题型三利用不等式性质比较代数式的大小关系（涉及到指对幂函数）答｜题｜模｜板作差→变形（因式分解、配方、通分等）→判断差的符号→下结论.作商（需保证两式同正/同负）→变形（约分、指数运算等）→与1比较大小→下结论.找公共中间量（如0、1、-1），分别比较两式与中间量的大小，间接推导关系.构造函数（如一次、二次、指数、对数函数），利用函数单调性.易｜错｜点｜拨作差后未彻底变形、作商法忽略符号前提、构造函数忽略定义域、中间量选取不当【典例1】(25-26高一上·天津第一百中学·期中)若a，b，c为实数，下列结论正确的是（

）A．若a>b，则a2>b2C．若a>b，则ac2>bc2【典例2】(25-26高一上·天津南开区·)若a>b>0>c，则不等式：①ca>cb；②b−ca−c>ba；A．②③ B．①②③ C．①②④ D．②③④【变式1】(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)下列命题为真命题的是（

）A．若a>b>0，则aB．若a>b>0，m>0，则b+mC．若a>b，c>d，则a−c>b−dD．若x，y均为实数，则x【变式2】(25-26高一上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·)设m=26−5,n=27−29A．m<n<p B．p<n<m C．n<p<m D．m<p<n【变式3】(25-26高一上·天津武清区杨村第一中学·)已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是（

A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若a>b，则aC．若a>b，c>d，则a−c>b−d D．若c>a>b，则1【变式4】(25-26高一上·重庆第一中学校·月考)已知a>b>0,c<d<0,a2<A．ab>cd B．dc>题型四含条件的基本不等式变形综合答｜题｜模｜板1.“1的代换”法（高频考点）：将待求式乘以约束条件中的“1”，展开后利用基本不等式a+b≥2ab2.配凑法（构造“定值”）：根据基本不等式“定值”要求，对代数式拆补（注意拆补的项为正数，保证“一正”前提）.3.消元法（减少变量个数）：约束条件含两个及以上变量，可通过代数变形将待求式转化为单变量函数，再用基本不等式或函数单调性求最值.易｜错｜点｜拨忽略“一正”前提、未凑出“定值”强行用不等式、“1的代换”漏乘全项、等号成立条件不满足【典例1】(25-26高一上·浙江浙东北ZDB联盟·期中)已知x≥0，y≥0，2xy+x+y=1，则（

）A．xy的最大值为1−22 B．xyC．3x+y的最小值为23−2 D．【典例2】(25-26高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)若a>0，b>0，且a+b=24，则（

）A．ab有最小值144 B．a2C．1a+1b有最小值16【变式1】(25-26高一上·贵州贵阳第一中学·)已知2x+y=1，则xy+3x+y的最大值是（

）A．1 B．32 C．2 D．【变式2】(25-26高一上·河北邢台卓越联盟·月考)如图，在一处半径为50米的半圆形空地内规划一个矩形区域ABCD，其中两个顶点A，D在半圆的直径上，另外两个顶点B，C在半圆的圆弧上，则（

）

A．矩形ABCD面积的最大值为2500平方米B．矩形ABCD面积的最大值为3000平方米C．矩形ABCD面积的最小值为2500平方米D．矩形ABCD面积的最小值为1250平方米【变式2】(25-26高一上·湖南长沙望城区第二中学·月考)设正实数x，y满足3x+y=1，则（A．xy的最大值是16 B．9xC．3x+y的最大值为2 D．2【变式2】(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)若实数a，b满足1a+3b=A．3 B．3 C．23 题型五含参一元二次不等式能成立/恒成立答｜题｜模｜板无区间约束的恒成立问题与无区间约束的能成立问题——抓“判别式”与“二次项系数”.有区间约束的恒成立问题——“轴动区间定”分类讨论.有区间约束的能成立问题——“最值反向”转化适用场景；存在性问题等价于“函数在区间上的最值满足条件.易｜错｜点｜拨忽略二次项系数为0的情况、恒成立与能成立的最值判断颠倒、端点值取舍错误【典例1】(25-26高一上·江苏启东中学·月考)若关于x的不等式kx2+kx+1≥0恒成立，则实数kA．0,4 B．−C．0,4 D．−【典例2】(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知命题“∃x∈0,5,x2−ax+2−a<0A．−∞,22 B．−∞,23【变式1】(25-26高一上·四川宜宾第一中学校·月考)已知关于x的不等式a2−4x2−a+2x−1<0A．−2<a<65 B．−2≤a<65 C．【变式2】(25-26高一上·山东济南·)对∀x∈R，不等式a−2x2+a−2x−2<0A．−6<a≤2 B．−2≤a≤6 C．a<−6或a≥2 D．a≤−2或a≥6【变式3】(25-26高三上·海南海口海南华侨中学·)若“∃x∈2,3，mx2−x+m<0（m≠0）成立”是假命题，则实数A．12,+∞C．310,+∞【变式4】(24-25高三上·河南许昌鄢陵县·期中)∀x∈−2,+∞，x2+4−aA．3 B．3 C．23 题型六二次函数与不等式的实际运用答｜题｜模｜板所有实际运用问题的基础，需从题目中提取“自变量、因变量”，结合数量关系构建二次函数.求实际问题中的“最大利润”“最小成本”“最大面积”等最值问题，需结合二次函数单调性与定义域求解.实际问题中“利润不低于某个值”“面积大于某个值”等范围要求，转化为二次不等式ax²+bx+c≥m（或≤m）求解.问题中含两个及以上变量，需通过题目中的约束关系消元，转化为单变量二次函数.易｜错｜点｜拨建模时忽略自变量的实际定义域、求解不等式后未结合定义域取舍、多变量建模时消元错误或漏约束【典例1】一服装厂生产某种风衣，日产量为xx∈N件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p=160−2x，R=500+30x，要使获得的日利润不少于1300元，则xA．x∈N0<x<45 B．C．x∈N0<x⩽20 D．【典例2】(20-21高一上·河北沧州七校联盟·期中)某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（

）A．6⩽x⩽7 B．5⩽x⩽7 C．5⩽x⩽6 D．4⩽x⩽6【变式1】用一条长为16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为xcm（长大于宽），要使矩形的面积大于12cm2，则实数x的取值范围是（A．{x∣2<x<6} B．{x∣4<x<8} C．{x∣2<x<8} D．{x∣4<x<6}【变式2】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【变式3】某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为akW⋅h.本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅h至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kWA．0.55元/kW⋅h B．0.6元/kW⋅h C．0.7元/【变式4】某企业研发部原有80人，年人均投入aa>0万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x∈N*且45≤x≤75），调整后，研发人员的年人均投入增加4x%．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数A．45≤x≤55x∈N*C．50≤x≤55x∈N*说明：相当于“课堂验收成果”，用“分层、限时”的检测题，帮学生自查“基础是否扎实、难题是否突破”，便于诊断“哪里还要补”.每个版块选取3~5道试题（三个板块选其中两个板块也可），部分可选取最新期末真题并标注题源，综合拓展部分可链接中高考真题，以达到考教衔接.期末基础通关练（测试时间：10分钟）1.(20-21高一上·江苏南通如皋·调研)已知集合A=x,yx2+mx−y+2=0,m∈R，集合B=x,yx−y+1=0,0≤x≤2，若集合A∩B中有2A．−32,1 B．−3,−1 C．−2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)若a>b>0，m<0，下列结论正确的是（

）A．a−1b>b−1a B．ma3.32．(25-26高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)设实数x,y满足x>32,y>3，不等式k2x−3y−3A．12 B．24 C．32 D．484.(25-26高一上·浙江嘉兴南湖区嘉兴第一中学·月考)已知关于x的不等式ax2−2x+4a<0在(0,2]A．−∞,12 B．12,+期末重难突破练（测试时间：10分钟）1.(17-18高三上·上海格致中学·月考)已知a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，集合A={x|a