专题02 等式与不等式（原卷版）

专题02等式与不等式题型1一元二次方程的解集及其根与系数的关系（常考点）题型9分式不等式题型2由已知条件判断所给不等式是否正确题型10基本不等式求积的最大值（重点）题型3由不等式的性质比较数(式)大小题型11基本不等式求和的最小值（重点）题型4作差法比较代数式的大小题型12基本不等式“1”的妙用求最值题型5利用不等式求值或取值范围题型13分类讨论解绝对值不等式（难点）题型6解不含参数的一元二次不等式题型14基本(均值)不等式的应用题型7解含有参数的一元二次不等式（重点）题型15绝对值三角不等式题型8由一元二次不等式的解确定参数题型1一元二次方程的解集及其根与系数的关系（共6题）例1（2025·上海奉贤区期末）设、是方程的两个实数根，则的值为．【变式1-1】已知方程的两个根为、，则．【变式1-2】已知一元二次方程的两个实根为，则【变式1-3】（2025·上海嘉定区期末）已知方程的两个根为、，则的值为.【变式1-4】（2025·上海徐汇区期末）下列说法正确的是（

）A．方程的两个实数根满足B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根C．已知方程的两个实数根，则D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则【变式1-5】（2025·上海闵行区期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、．(1)求实数m的取值范围；(2)若，求实数m的取值范围．题型2由已知条件判断所给不等式是否正确（共5题）例2（2025·上海期末）若下列不等式中：①；②；③；④，成立的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2025·上海闵行区期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，，那么 D．如果，，那么【变式2-2】（2025·上海期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（2025·上海期末）若实数，，满足，，则（

）A． B． C． D．【变式2-4】（2025·上海宝山区期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．题型3由不等式的性质比较数(式)大小（共4题）例3（2025·上海虹口区期末）设为实数，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【变式3-1】已知、、，则“”是“”的（

）条件A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要【变式3-2】如果，那么下列式子中一定成立的是（

）A． B． C． D．【变式3-3】如果，那么下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．题型4作差法比较代数式的大小（共5题）例4已知，设，则与的值的大小关系是（

）（23-24高一上（23-24高一上A． B．C． D．【变式4-1】设、是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．【变式4-2】已知a，b都是正实数，求证：，并指出等号成立的条件.【变式4-3】设、为实数，比较与的值的大小.【变式4-4】已知是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．题型5利用不等式求值或取值范围（共4题）例5（2025·上海区期末）已知，，则的取值范围是.【变式5-1】（2025·上海徐汇区期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是.【变式5-2】已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为．【变式5-3】是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件题型6解不含参数的一元二次不等式（共5题）例6（2025·上海虹口区期末）不等式的解集为.【变式6-1】（2025·上海期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-2】不等式的解集为．【变式6-3】已知关于x的不等式．(1)若，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，则求m的取值范围．【变式6-4】（2025·上海长宁区期末）设集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．题型7解含有参数的一元二次不等式（共5题）例7（2025·上海金山区期末）当时，关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式7-1】设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是．【变式7-2】（1）已知关于x的不等式的解集是，求a，b的值；（2）解关于x的不等式.【变式7-3】已知．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)求不等式的解集．【变式7-4】已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．(1)求实数，的值；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．题型8由一元二次不等式的解确定参数（共7题）例8若一元二次不等式的解集为，则实数．【变式8-1】甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为．【变式8-2】已知，关于的不等式的解集为，则=.(用表示)【变式8-3】若关于的不等式的解集为，则实数的值是【变式8-4】设a、b为常数，若关于x的不等式的解集为，则．【变式8-5】已知，关于的不等式的解集为，则．【变式8-6】已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则．题型9分式不等式（共7题）例9（2025·上海宝山区期末）不等式的解集为.【变式9-1】（2025·上海徐汇区期末）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式9-2】（2025·上海期末）不等式的解集为．【变式9-3】不等式的解集为.【变式9-4】不等式的解集用区间表示为.【变式9-5】（2024·上海虹口区期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是．【变式9-6】（2024·上海闵行区期末）设集合.(1)若，试用区间表示集合，并求；(2)若，求不等式的解集.题型10基本不等式求积的最大值（共3题）例10（2025·上海虹口区期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（

）.A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为【变式10-1】已知实数满足，则的最大值为.【变式10-2】已知，则的最大值为．题型11基本不等式求和的最小值（共4题）例11（2024·上海期末）函数（）的最小值是.【变式11-1】（2024·上海浦东新区期末）已知，，且，则的最小值为．【变式11-2】（2024·上海青浦区期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为.【变式11-3】已知函数为，其中，若对任意的恒成立，且函数存在零点，则的最小值为.题型12基本不等式“1”的妙用求最值（共4题）例12设，且，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式12-1】已知正实数a，b满足，则的最小值为.【变式12-2】（2025·上海嘉定区期末）若，则的最小值是.【变式12-3】设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为题型13分类讨论解绝对值不等式（共5题）例13（2024·上海松江区期末）解下列不等式：(1):(2).【变式13-1】不等式的解集为，则实数的取值范围是．【变式13-2】“”是“”的条件【变式13-3】已知函数，.(1)当时，解不等式；(2)若存在实数，使得不等式，求实数的取值范围.【变式13-4】方程的解集是．题型14基本(均值)不等式的应用（共4题）例14（2025·上海徐汇区期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长m.【变式14-1】已知，记的最大值为，最小值为，则．【变式14-2】（2024·上海奉贤区期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题：①由图知，即可以得到不等式；②由图知，即可以得到不等式；③由图知，即可以得到不等式；以上三个命题中真命题的是.（写出所有正确命题的序号）【变式14-3】某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．

(1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围；(2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）．题型15绝对值三角不等式（共9题）例15（2025·上海金山区期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为.【变式15-1】（2025·上海长宁区期末）若对任意，都有，则实数的最大值为【变式15-2】（2025·上海徐汇区期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是.【变式15-3】代数式的最小值是．【变式15-4】已知实数满足且