专题03 不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义12大重难题型+3阶分层过关）（原卷版）高一数学上学期人教A版

3/3专题03不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律3.1不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性）能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。基础题，乘负变号是必考点。3.2基本不等式的形式与推导能准确写出基本不等式，理解其几何意义。理解性考点，是应用的基础。3.3“一正二定三相等”的运用条件能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。3.4直接利用基本不等式求最值能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。最基础的考查方式。3.5“配凑法”应用基本不等式能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。期末解答题核心考法，是能力的区分点。3.6换元法（化繁为简）当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式条件最值问题。3.7“1”的代换法（条件等式）当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。高频题型，技巧性强，是高分的关键。3.8分式型最值问题能处理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。常见中档题，分离常数是常用技巧。3.9二次使用基本不等式（连续放缩）能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。3.10恒成立问题中求参数范围（综合应用）对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。期末压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。3.11基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。命题趋势偏向应用，考查数学建模能力知识点01等式的性质性质1如果，那么；性质2如果，，那么；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么；知识点02比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：；；另外，若，则有；；.知识点03不等式的性质性质别名性质内容1对称性a>b⇔ba2传递性a>b,b>c⇒ac3可加性a>b⇔a+cb+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d4可乘性a>b,c>0⇒acbca>b,c<0⇒ac<bc；推论3：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；推论4：a>b>0⇒anbn（推论5：a>b>0⇒5取倒数a>b,ab>0⇒1a1知识点04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2说明：①对于非负数a,b，我们把a+b2称为a,b的，ab称为a,b②我们把不等式ab≤a+b③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有ab=a+b2④结构特点：和式与积式的关系.知识点05利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值；②已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值．知识点06几个重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a变形式：（a，b∈R）（当且仅当a=b时取等号）.（2）基本不等式：（a>0，b>0）（当且仅当a=b时取等号）.变形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，则ba+ab≥2知识点07基本不等式链拓展.m>n时，知识点08权方和不等式的二维形式若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)知识点09糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;知识点10糖水不等式的倒数形式:设,则有:题型一由已知条件判断所给不等式是否正确解｜题｜技｜巧直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等），结合已知条件直接推导判断。（2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。（3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。【典例1】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．题型二由不等式关系，求解不等式范围解｜题｜技｜巧（1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可．（2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为题型三作差法比较式子大小关系【典例1】）若，，则（用“”、“”或“”填空）．【典例2】已知，且，则.（填中最恰当的一个）【变式1】已知，，设，，则与的大小关系为．【变式2】（用不等号“”或“”填空）题型四糖水不等式及其应用【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（

）A． B．C． D．【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．(1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．题型五直接用基本不等式求和或积的最值解｜题｜技｜巧（1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）”.（2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用.（3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．5【典例2】（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（

）A．有最小值为 B．有最大值为C．有最小值为 D．有最大值为【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为.【变式3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3】（24-25高一上·广东东莞·期末）（多选）若a，，且，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为6 B．的最小值为6C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9题型六巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用）解｜题｜技｜巧（1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。（3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。【典例1】（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（

）．A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·山西·期末）已知实数，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为.【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为题型七二次与二次（一次）的商式求最值【典例1】已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【典例2】设，则（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是.【变式2】若，则的最小值为.题型八换元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【典例2】已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【变式1】已知正实数x,y满足x+y≤2且x−y>0，则2【变式2】已知，，，则的最大值为．【变式3】若对恒有，则的取值范围是题型九两次应用基本不等式求最值【典例1】对任意的正实数a,b,c，满足b+c=1，则8ab2+a【变式1】已知实数m，n满足m>2n>0，则m2+2【变式2】已知正数a，b满足，，则的最小值为.题型十条件等式变形求最值【典例1】（多选）已知两个实数、满足，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·重庆·期末）（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式1】（多选）已知，则下列正确的是（）A．B．的最小值为2C．的最小值为D．的最小值为【变式2】已知且，则的最大值为，最小值为．题型十一利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围【典例1】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】已知，且，若恒成立，则实数的范围是．【变式3】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十二基本不等式的应用【典例1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（

）A． B．3 C． D．4【典例2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是个∕时．【典例3】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.(1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？(2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值.【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【变式2】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是万元．【变式3】2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求：(1)设长为，用表示，并求出的取值范围；(2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价.【变式4】某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？期末基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，则有（

）A．最小值3 B．最小值6C．最大值6 D．最大值32．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（

）．A． B． C． D．3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．184．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（

）A．25 B．6 C．10 D．56．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（

）A．12件 B．24件 C．36件 D．40件7．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（

）A．16 B．18 C．22 D．268．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，，则10．（24-25高一下·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．82．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，若，，且，则的最小值是（

）A． B．1 C． D．43．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．84．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．或5．（24-25