专题3.1 函数的概念（考点清单3个考点梳理+12题型解读）（原卷版）

专题3.1函数的概念【清单01】函数的概念1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈Ax称为自变量，y称为因变量.2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）；3.值域：所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}．显然，值域是集合B的子集．4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等）5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数.【清单02】函数的表示方法1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．【清单03】分段函数分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【考点题型一】函数关系及相等函数的判断【例1】（多选）（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（）A．与表示同一函数B．函数y=fx的图像与直线的交点最多有1个C．与是同一函数D．函数的定义域为，则函数的定义域为【变式1-1】（24-25高一上·贵州·期中）若函数y=fx的定义域为，值域为，则函数y=fx的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．，与，【变式1-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（

）A． B．C． D．【变式1-4】（多选）（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点至多有1个C．若，则D．关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是【考点题型二】求函数值【例2】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知函数，则．【变式2-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（

）A． B． C． D．2【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（

）A．1014 B．1012 C．2024 D．2025【变式2-3】（多选）（20-21高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（

）A． B．C． D．【变式2-4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数.(1)求的值;(2)计算和，猜想的值并加以证明.【考点题型三】求分段函数值【例3】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则【变式3-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数y=fx的图象上的三点，其中，则的值为（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-2】（24-25高一上·甘肃·期中）已知函数则的值为（

）A．4 B．5 C．8 D．0【变式3-3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3-4】（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数，则.【考点题型四】求具体函数的定义域【例4】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（24-25高一上·北京房山·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-4】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为.【考点题型五】求抽象（复合）函数的定义域【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域；（2）已知函数的定义域为，求的定义域．【变式5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为.【变式5-3】（24-25高一上·天津·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是．【变式5-4】（2024高一·全国·专题练习）已知，函数的定义域是，求的定义域.【考点题型六】常见函数的值域【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【变式6-1】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（）A． B．C． D．【变式6-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，那么函数的值域是．【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是.【变式6-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；【考点题型七】求函数的解析式【例7】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式.【变式7-1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；【变式7-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式.(1)已知函数，求；(2)已知是一次函数，，求.【变式7-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式;（2）已知，求的解析式;（3）已知一次函数满足，求的解析式.【变式7-4】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且．(1)写出函数的解析式；(2)求的值；(3)若，求实数的值．【考点题型八】由函数的定义域、值域求参数【例8】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）的值域为，求实数的取值范围．【变式8-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是．【变式8-4】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数，，若函数的值域为，则实数的取值范围是．【考点题型九】由函数值求自变量或参数【例9】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数．(1)求，；(2)若，求实数的值．【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（

）A．1 B．-1 C． D．0或1【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）函数满足，若，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．【变式9-3】（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为.【变式9-4】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数．(1)点在的图象上吗?(2)当时，求的值；当时，求的值．【考点题型十】由分段函数值求自变量或参数【例10】（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数①若，则x的值是②若且，则的取值范围是【变式10-1】（多选）（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（

）A．3 B．20 C． D．5【变式10-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．【变式10-3】（24-25高一上·浙江温州·期中）设，若，则（

）A． B． C． D．【变式10-4】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（

）A． B． C．2 D．【考点题型十一】分段函数的性质及其应用【例11】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知函数(1)的值；(2)若的值;(3)若的取值范围.【变式11-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（

）A．4 B．3 C．7 D．5【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式11-4】（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（

）A． B．若，则x的值是C．的解集为 D．的值域为【考点题型十二】分段函数的最值问题【例12】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（）A．1 B． C． D．-【变式12-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范