专题4.2 对数、对数函数（考点清单8个考点梳理+17题型解读）（原卷版）

专题4.2对数、对数函数【清单01】对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式【清单02】对数的性质1.对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN2.loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N3.对数恒等式alogaN＝N{解读：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．}【清单03】对数的运算性质（1）loga(M·N)＝logaM＋logaN（2）logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN（3）logaMn＝nlogaM(n∈R)．（a>0，且a≠1，M>0，N>0）【清单04】换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)【清单05】对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).【清单06】对数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【清单07】拓展结论1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．【清单08】反函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【考点题型一】指数式、对数式的互化与对数计算【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则的值为.【变式1-1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【变式1-2】（22-23高一上·江苏南京·期中）设，，则=（

）A． B． C． D．【变式1-3】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-4】（2024秋·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）计算下列各式的值：(1)；(2).【考点题型二】换底公式及对数式的化简、求值【例2】（24-25高一上·吉林长春·期中）（1）若，求的值；（2）求值：．【变式2-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）计算:

【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则(用表示)【变式2-3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）．【变式2-4】（2023秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）计算：=.【考点题型三】对数函数解析式与求值问题【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，，当时，，则．【变式3-1】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝.【变式3-2】（2023高三上·全国·专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是.【变式3-3】（19-20高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值.【变式3-4】（23-24高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点．(1)求的解析式；(2)解方程．【考点题型四】对数型函数的定义域【例4】（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25高三上·上海·期中）函数的定义域是.【变式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）函数的定义域为.【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为．【变式4-4】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的定义域是【考点题型五】根据对数函数定义域求参数范围【例5】（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）“函数的定义域为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式5-3】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-4】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是．【考点题型六】求对数型函数的值域【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：(1)；(2)．【变式6-1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（

）A． B．C． D．【变式6-2】（11-12高一上·浙江衢州·期末）对于任意实数，定义运算“”为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【变式6-3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式6-4】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为.【考点题型七】根据对数型函数值域求参数范围【例7】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的奇函数．(1)求实数的值：(2)若在上的值域为，求实数的值．【变式7-1】（24-25高三上·湖北·阶段练习）“”是“函数的值域为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-2】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数的值域是全体实数R，则实数m的取值范围是.【变式7-4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是【考点题型八】对数型函数的图象【例8】（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（

）A． B．C． D．【变式8-1】（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【变式8-2】（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

【变式8-4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（

）A．

B．C．

D．

【考点题型九】根据对数型函数的图象求参数范围【例9】（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则；若，且，则的取值范围是.【变式9-1】（2023高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【变式9-2】（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式9-3】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【变式9-4】（多选）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，若，且，则（

）A． B． C． D．【考点题型十】对数型函数图象过定点问题【例10】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（

）A． B． C． D．【变式10-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象恒过定点，则点的坐标为（）A． B． C． D．【变式10-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．【变式10-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标．【变式10-4】（24-25高一上·上海·随堂练习）对数函数（且）经过定点P，同时点P又经过函数，则P点坐标为，．【考点题型十一】对数型函数的单调区间【例11】（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式11-2】（23-24高一上·河南漯河·期中）函数y=log3(-x2+2x+15)的单调递减区间是（

）A．(1，+∞) B．(1，5) C．(-3，1) D．(-∞，1)【变式11-3】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递增区间是．【变式11-4】（2021·天津·高一期末）函数的单调递减区间是___________．【考点题型十二】根据对数型函数单调性求参数范围【例12】（24-25高一上·江苏·期中）已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是.【变式12-1】（24-25高二上·湖南·期中）设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(

).A． B． C． D．【变式12-2】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式12-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是．【变式12-4】（24-25高三上·四川成都·开学考试）若函数，在R上单调递增，则的取值范围为.【考点题型十三】解对数型函数不等式【例13】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为.【变式13-1】（江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试数学试题）设，若函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式13-2】（浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式13-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式13-4】（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是．【考点题型十四】比较大小【例14】（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式14-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式14-2】（24-25高一上·广东江门·期中）设，，，则（

）A． B．C． D．【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式14-4】（多选）（山西省长治市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题）已知，，，则(

).A． B． C． D．【考点题型十五】对数型函数最值问题【例15】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.【变式15-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数在区间上的最大值为.【变式15-2】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为.【变式15-3】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的最大值和最小值．【变式15-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像过点．(1)求的值及函数的定义域；(2)求函数在区间上的最大值．【考点题型十六】反函数问题【例16】（多选）（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．【变式16-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（

）A．16 B．0 C．1 D．2【变式16-2】（24-25高三上