专题03 立体几何中的折叠和开放性问题-期末真题（考题猜想易错必刷2大题型）（原卷版及全解全析）

专题03立体几何中的折叠和开放性问题（考题猜想，易错必刷2大题型）【题型一】折叠问题【题型二】开放性问题【题型一】折叠问题一、解答题1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为．

(1)求BC的长；(2)求二面角的余弦值．2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.4．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2.(1)求图2中的点B到平面ACDE的距离；(2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值.5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙．(1)证明；平面ABC；(2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【题型二】开放性问题一、解答题1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．2．（23-24高二上·福建厦门·期末）如图，在平行六面体中，平面，，，.(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.3．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.4．（19-20高二上·北京西城·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值是，求的值；(3)若，在线段AD上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)设.①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.6．（23-24高二下·广西桂林·期末）如图，已知边长为的正方形，以边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；(3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，使平面，证明你的结论．

专题03立体几何中的折叠和开放性问题（考题猜想，易错必刷2大题型）【题型一】折叠问题【题型二】开放性问题【题型一】折叠问题一、解答题1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为．

(1)求BC的长；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，借助线线角的空间向量法求解；（2）利用空间向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）由于，，，平面，故平面，又因为，所以两两垂直，故分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，且A为PB的中点，所以，设，则，所以A0,0,0，B1,0,0，，P0,0,1，则，．

因为直线PB与CD所成角的大小为，所以，即，解得或（舍去）．所以BC的长为2；（2）设平面PBD的法向量为m=因为，PD=0,1,−1，，所以，令，则，，，设平面PBC的法向量为n=a,b,c，所以令，则，，．所以，由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面.（2）根据二面角的知识求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）取线段中点，连接，由图1可知，四边形是矩形，且，在图2中，且，且，四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，平面．（2）由已知，四边形是矩形，折叠前后都有，由于平面，所以平面，由于，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，，则，，以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，平面的一个法向量，设平面的一个法向量n=x,y,z由，得，于是平面的一个法向量，，平面与平面夹角的余弦值为．3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】利用面面垂直性质定理可得平面，（1）（法一）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得.（法二）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出可得答案；（2）求出平面的一个法向量，设在线段上存在一点且，则，设直线与平面所成的角为，利用线面角的向量求法求出再结合的范围可得答案.【详解】（1）∵平面平而，平而，平面平面，，∴平面，（法一）又平而，则，又正方形中，，且，平面，则平面，又平面，则.（法二）∵平而，，∴以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴平面，∴，∴，，设平面的一个法向量为，令，则，设在线段上存在一点且，则，设直线与平面所成的角为，则，不满足，所以不存在点满足题意.4．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2.(1)求图2中的点B到平面ACDE的距离；(2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值.【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）根据线面垂直的判定证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面ACDE的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可；（2）利用共面向量基本定理证明四点共面，求出平面ABFE的法向量，利用平面夹角的向量公式求解即可.【详解】（1）由题意可知，图2中，，又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，在平面BCDF内，过D作于点H，则，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，，设平面ACDE的法向量为，则，得，令，则，，所以为平面ACDE的一个法向量，所以点B到平面ACDE的距离为，即点B到平面ACDE的距离为.（2）因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面，由（1）知，，，所以，设平面ABFE的法向量为，则，得，令，则，，所以为平面ABFE的一个法向量，又是平面ACDE的一个法向量，所以，即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为.【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则①两异面直线所成的角为，；②直线与平面所成的角为，；③二面角的大小为，.5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解.【详解】（1）因为，，所以，，所以，则，则，又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形，同理可得为菱形，所以，所以，连接，则，又，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.因为平面，所以，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，设，因为，，所以，设与平面所成角为，则，即，，解得或（舍去），所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙．(1)证明；平面ABC；(2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，且【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，因为，则，，由余弦定理可得，所以，，则，同理可证，翻折后，则有，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，，易知平面的一个法向量为，则，整理可得，因为，解得，因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且.【题型二】开放性问题一、解答题1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可.【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，

，，∴四边形是平行四边形，，又平面平面平面．

（2），∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，

∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，为棱的中点，

（i），设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，

，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为

（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，设，则，

由（2）知平面的一个法向量为，，∴点Q到平面的距离是，

．2．（23-24高二上·福建厦门·期末）如图，在平行六面体中，平面，，，.(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）解法一：利用空间向量法，，从而得证；解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标运算得，从而得证；解法三：通过证明平面，则，利用勾股定理得证，从而得证；（2）假设存在点满足条件，利用两平面夹角公式可解.【详解】（1）解法一：因为平面，平面，所以，所以因为，所以又因为，所以，化简得所以，所以解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，设，则，所以，由得，所以，又因为，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，过作的垂线，垂足为，连结交于.因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，则，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面的一个法向量为，假设存在点满足条件，设，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，，所以，所以，因为平面与平面的夹角为，即，解得，又因为，所以舍去，所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为.3．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，为中点【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，过点作的平行线，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）取中点，连接，因为分别为中点，则，即四边形为平行四边形，则，又平面平面，则平面；（2）存在点，证明如下：取中点，连接，因为，则，又平面平面，平面平面平面，则平面，过点作平行线，交于，因为平面，则，过点作的平行线，则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，注意到，则，故，则，设，则，设m=x,y,z为平面则，即，令，则，则平面的一个法向量，设n=a,b,c为平面则，即，令，则，则平面的一个法向量，因为二面角余弦值为，则，解得，故当为中点时，满足题意.4．（19-20高二上·北京西城·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值是，求的值；(3)若，在线段AD上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）推导出平面．．由此能证明平面;（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值;（3）设，当，，，由知，,，这与矛盾,从而在线段上不存在点，使得．【详解】（1）证明：因为平面，,所以平面,又因为平面，所以．在中，，是的中点，所以．又因为,平面,所以平面．（2）因为平面，平面，所以,又因为

,所以如图建立空间直角坐标系．则,则，，设平面的法向量为n=x,y,z则即，令，则，，故．因为平面，平面，所以,又,平面,所以平面．又因为，所以取平面的法向量为所以，则，解得．又因为，所以；（3）结论：不存在．理由如下：证明：设．当时，，，由知,，这与矛盾,所以在线段上不存在点，使得．5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)设.①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)①或；②不存在点，理由见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得的值；②假设存在点，可由推得，得点坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立.【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示直角空间坐标系，设，则，由，，，，则，，因，则，，所以，，①设平面的法向量为，由，，得：，可取，设直线与平面所成角为，则有：，，