专题08 几何中动角问题的三种考法 初中数学人教版（2024）七年级上册（原卷版）

目录专题08几何中动角问题的三种考法目录A·重难点题型分类题型1：求值问题………………1题型2：定值问题………………5题型3：角度之间数量关系问题………………8题型4：存在性问题……………11B·能力提升………………………14知识梳理知识梳理1.角的平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图.重难点题型分类重难点题型分类【题型1：求值问题】【例1】如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t秒后，∠AON=______度（用含t的式子表示），若OM恰好平分∠BOC，则t=______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t秒后，∠AOC=______度（用含t的式子表示）若OC平分∠MON，求t为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC平分∠BOM？（直接写结果）【变式1-1】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，∠AOB=α，∠BOC=β．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分①当α=40°，β=70°时，∠COM=______，∠CON=______，∠MON=______；②∠MON=______（用含有α或β的代数式表示）．(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：①当OM平分∠POB，ON平分②当OM平分∠QOB，ON平分（∠MON的度数用含有α或β的代数式表示）(3)如图（4），当α=40°，β=70°时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，【变式1-2】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转．（1）如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON’+∠COM’的值；（2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求∠BOC（3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动,点M、N的速度比是2:1，在运动过程中始终有CM=2BN，求BCAC=【变式1-3】已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒20°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒40°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤30秒）（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到120°时，求t的值．（3）如果让射线OA改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得∠AOB=30°，请直接写出t的值．【题型2：定值问题】【例1】已知，如图1，OB，OC分别为定角（大小不会发生改变）∠AOD内部的两条动射线，∠AOC+∠BOD=180°，∠AOB+∠COD=40°．（1）求∠AOD的度数；（2）如图2，射线OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线，当∠BOC绕着点O旋转时，∠MON的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON的度数；（3）如图3，OE,OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB=∠COF=110°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF．当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由．【变式1-1】已知将一副三角尺（直角三角尺OAB和OCD）的两个顶点重合于点O，∠AOB=90°，∠COD=30°（1）如图1，将三角尺COD绕点O逆时针方向转动，当OB恰好平分∠COD时，求∠AOC的度数；（2）如图2，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角尺OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【变式1-2】如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON=，∠AON=；（2）当0<t<12时，若∠AOM=3∠AON−60°．试求出t的值；（3）当0<t<6时，探究∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值，问：t【变式1-3】已知将一副三角板（∠AOB=90°,∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD=_______度；如图2，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC=_______度；（2）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板OCD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线OM平分∠AOC、射线ON平分∠BOD（∠AOC≤180°,∠BOD≤180°），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时∠MON的度数是多少）．【题型3：角度之间数量关系问题】【例1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=35°，∠ACB=°；（2）猜想：①∠ACE与∠BCD的大小有何关系？②∠ACB与∠DCE的大小有何关系？并分别说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD=α（0°＜α＜90°），①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由，②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE=21°时，转动了多少秒？【变式1-1】已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°,OE平分∠BOC．(1)如图1，射线OC,OD在直线AB的同侧．①若∠AOC=28°,∠DOE=______；若∠AOC=32°,∠DOE=______度；②猜想∠AOC与∠DOE之间的数量关系；③若∠AOC=30°,∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1∶4两部分，求∠DOG的度数；(2)如图2，射线OC,OD在直线AB的异侧，判断∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由．【变式1-2】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【变式1-3】如图，已知∠AOB=150∘，将一个直角三角形纸片(∠D=90∘)的一个顶点放在点O处，现将三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，（1）将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部)，若∠COD=30∘，则（2）将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部)，若射线OD恰好平分∠MON，若∠MON=8∠COD，求∠COD的度数;（3）将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置逆时针转到OD与OA重合的位置，猜想在转动过程中∠COD和∠MON的数量关系？并说明理由.【题型4：存在性问题】【例1】已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤（1）用含t的代数式表示下列各角的度数：∠MOA=______，∠NOB=______．（2）在运动过程中，当0秒≤t≤30秒时，∠AOB达到45°，求t（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM．射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出【变式1-1】如图：已知∠MON=90°，射线OA绕点O从射线OM位置开始按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤30）．（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；（3）射线OA，OB在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM，射线OA，射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．【变式1-2】如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒5°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．(1)当t=12时，∠AOB=°．(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．【变式1-3】如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2∘的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4∘的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（t的值在0到(1)当t=5时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB首次达到120∘时，求t(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB垂直射线OA？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【变式1-4】如图，∠AOB是平角，射线OM从OA开始，先顺时针绕点O向射线OB旋转，到达OB后再绕点O逆时针向射线OA旋转，速度为6度/秒．射线ON从OB开始，以3度/秒的速度绕点O向OA旋转，到当ON到达OA时，射线OM与ON都停止运动．设旋转时间为t秒．(1)当t=12秒时，判断射线OM是否是∠AON的角平分线，并请说明理由．(2)若射线OM与射线ON垂直，求∠BON的度数．(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得∠BON是∠MON的2倍？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．能力提升能力提升一、解答题1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）．(1)如图2，当OE、OF重合时，∠COD=°(2)当t=10时，∠EOF=°，当t=12时，(3)如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP=70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知∠AOB=60°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=2∠BOC．(1)∠BOC的度数为______；(2)射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠COD．①若射线OD在∠AOC的内部，且∠EOC+∠BOD=65°，求∠COE的度数；②若∠AOD=α°0<α<40，直接写出∠BOE的度数（用含α3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直角△DOE边OD放置在直线AB上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转5°，运动时间为t0≤t≤72(1)当运动时间t为5秒时，∠AOE=；(2)当∠AOD=150°时，求t的值；(3)在运动过程中若射线OM平分∠BOD，射线ON平分∠AOE，当△DOE在直线AB上面时∠MON=，当△DOE在直线AB下面时∠MON=．4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30之间，单位：秒)．(1)当t=3时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，OB,OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD=110°,∠AOB+∠COD=50°．(1)求∠BOC的度数；(2)如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．(3)如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB=∠COF=90°,OP平分∠EOD,OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由．6．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB=30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若m=5，n=4，t=10秒时，∠BOC=________°；(2)若m=3，n=2，当射线OC与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？(3)如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC．若m=3，n=2，当射线OA，OB，7．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点(1)如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、O(2)如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求∠BOC∠AOB(3)知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2:1，在运动过程中始终有CM=2BN，求BCAC8．（23-24七年级上·江西宜春·期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒8°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤30，单位：秒）(1)当t=2时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA围成的角是90°（指大于0°而小于等于180°的角）？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．9．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．(1)如图2，A、O、B三点在同一条直线上，点C、D重合，∠AOC=∠BOC，则∠AOC=°．(2)如图3，A、O、B三点在同一条直线上，且∠AOC=108°，∠BOC=72°，DO平分∠BOC，求∠AOD的大小．(3)第四节体侧运动中，如图4，美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线OE平分∠COD，且∠COD=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为每秒50°，OB旋转速度为每秒25°，当OB旋转到与OD重合时运动停止（OE是竖直方向的一条射线）①运动停止时，∠AOD=；②请帮助美美写出在0∼2s运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系为10．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t秒(0≤t≤90)．(1)用含t的代数式表示∠MOA，其结果是：∠MOA=______(度)．(2)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA所组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由．11．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题背景】如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为2:3时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线OP将∠MON分成∠MOP和∠NOP两个角，且∠MOP:∠NOP=2:3，则OP为∠MON的动轴分线；射线OQ将∠MON分成∠MOQ和∠NOQ两个角，且∠MOQ:∠NOQ=3:2，则OQ为∠MON的动轴分线．【概念理解】（1）若∠AOB=90°，OP为∠AOB的动轴分线，则∠AOP=________°；【推广探索】（2）如图2，过直线上一点O作射线OC．再作∠AOC和∠BOC的动轴分线OM，ON（∠AOM<∠MOC，∠BON<∠NOC），若∠AOC=α0°<α<180°，则∠MON的度数是否随着α【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线OP与射线OA重合，射线OQ与射线OB重合，现将射线OP绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转；同时射线OQ绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转．当射线OP与射线OQ首次重合时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转时间为ts．求t为何值时，OP为∠AOQ12．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）若∠MON=90°，对于绕点O旋转的动射线OP，将TOP的值定义为射线OP关于∠MON的特征值，其中：TOP=∠MOP−∠NOP∠MOP+∠NOP(1)如图1，射线OP旋转至∠MON的内部，且∠MOP=40°时，TOP=(2)若∠DOE=30°．①如图2，将∠DOE绕点O旋转，若旋转过程中∠DOE始终在∠MON内部，是否存在某一段时刻TOD=1②OK为∠DOE角平分线，在∠DOE绕点O旋转360°的过程中，若TOK=12，请直接写出13．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，数轴上的点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a+2+b−82=0．点(1)点C表示的数是____________．(2)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止，设运动时间为①点M、N表示的数分别是____________、____________（用含t的代数式表示）；②若在运动过程中，存在CM=3CN，请求出t的值．(3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，∠AOB=80°，OC平分∠AOB．射线OM从OA出发，以每