第1章专题01集合与常用逻辑用语（原卷版）

专题01集合与常用逻辑用语目录01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。【知能解读01】集合与元素【知能解读02】集合间的基本关系【知能解读03】集合的基本运算【知能解读04】充分条件与必要条件【知能解读05】全称量词与存在量词03破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。【重难点突破01】利用元素与集合的关系求参数【重难点突破02】利用集合间的关系求参数【重难点突破03】根据交集、并集、补集的运算求参数【重难点突破04】利用充分必要条件求参数【重难点突破05】根据全称、存在量词命题的真假求参数【重难点突破06】突破双变量“存在性”或“任意性”问题04辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。【易混易错01】对集合表示方法的理解偏差致错【易混易错02】忽视（漏）空集致错【易混易错03】忽视集合元素的互异性致错【易混易错04】充分性与必要性位置颠倒理解错误致错【易混易错05】对含有一个量词命题的否定理解致错05点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类【方法技巧01】子集的个数问题【方法技巧02】判断集合间的关系【方法技巧03】Venn图在集合运算中的应用【方法技巧04】集合新定义的解题思路【方法技巧05】充分条件与必要条件的判断01集合与元素1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法4、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR5、常见集合的含义集合代表元素02集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集C．⫋ D．⫋03集合的基本运算1、集合交并补运算的表示集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．04充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件2、充要条件（1）充要条件的定义此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价．A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件05全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．2、存在量词与存在量词命题（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．（3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．（4）常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个01利用元素与集合的关系求参数（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．02利用集合间的关系求参数第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答．03根据交集、并集、补集的运算结果求参数法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围．法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验．【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集．04利用充分必要条件求参数1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．05根据全称、存在量词命题的真假求参数1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数．06突破双变量“存在性”或“任意性”问题1、解决双变量“存在性”或“任意性”的等式问题（1）关键点：一是理解量词的含义，“脱去”量词，转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函数的单调性，求函数的值域．（2）常见的转化形式：2、解决双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题01对集合表示方法的理解偏差致错辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义．02忽视（漏）空集致错辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．03忽视集合元素的互异性致错辨析：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素．A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或104充分性与必要性位置颠倒理解错误致错辨析：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算．05对含有一个量词命题的否定理解错误致错辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．【典例2】（2425高三上·河南周口·期中）命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（

）A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数01子集的个数问题求子集个数的两种方法：1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2．A．4 B．8 C．16 D．32A． B． C． D．02判断集合间的关系判断集合间关系的三种方法：1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系；3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．03Venn图在集合运算中的应用元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题．【典例2】（2425高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合、、满足：⫋⫋，则（

）04集合新定义的解题思路在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算．解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握．A．15 B．16 C．31 D．3205充分条件与必要条件的判