高一数学必修一同步讲义：函数的性质及运用

高一数学必修一同步讲义：函数的性质及运用适用教材：人教A版/苏教版等通用必修一教材学习目标掌握函数的单调性、奇偶性、最值的定义及判定方法能运用函数性质解决比较大小、解不等式、求参数范围等问题理解函数性质之间的关联，形成函数思想一、核心知识点梳理1.函数的单调性（局部性质）（1）定义设函数y=fx的定义域为I，区间D⊆I增函数：若对任意x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f减函数：若对任意x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f（2）判定方法方法步骤定义法1.取值：任取x1,x2∈D且x图象法图象从左到右上升→增函数；图象从左到右下降→减函数常见函数单调性一次函数y=kx+b：k>0时R上增，k<0时R上减<br>二次函数y=ax2+bx+c：a>0（3）单调性的性质若fx、gx在D上均为增（减）函数，则fx若fx在D上为增函数，k>0则kfx为增函数；k<0则2.函数的奇偶性（整体性质）（1）定义前提：函数y=fx的定义域关于原点对称偶函数：若对定义域内任意x，都有f−x=fx奇函数：若对定义域内任意x，都有f−x=−fx非奇非偶函数：定义域不关于原点对称，或满足f−x≠fx（2）图象特征偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称；若奇函数在x=0处有定义，则f0（3）判定步骤检查定义域是否关于原点对称，不对称则为非奇非偶函数；计算f−x比较f−x与fx、3.函数的最值（1）定义设函数y=fx的定义域为I，存在x最大值：若对任意x∈I，都有fx≤fx最小值：若对任意x∈I，都有fx≥fx（2）求法图象法：直接观察函数图象的最高点、最低点纵坐标；单调性法：若函数在区间ab上单调递增，则最小值为fa，最大值为配方法：适用于二次函数y=ax二、典型例题解析题型1：单调性的判定与证明例1证明函数fx=x+1证明：任取x1,[\begin{align*}f(x_1)-f(x_2)&=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)\\&=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)\\&=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\\&=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)\\&=(x_1-x_2)\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\end{align*}]∵1<x1<x2∴∴fx1∴fx在1题型2：奇偶性的判定例2判断函数fx解：定义域：1−x2即定义域为−10此时x+2>0，|x+2|−2=x∴ff∴函数fx题型3：函数性质的综合运用例3已知fx是R上的奇函数，且在0+∞上单调递增，解不等式解：∵fx是奇函数∴不等式变形：f∵fx在0∴fx在R∴2x−1<−3解得x<−1∴不等式的解集为−∞三、易错点警示判定奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，忽略此点会导致错误。单调性是区间性质，不能说函数在定义域上是增函数/减函数，例如fx=1x在利用单调性解不