第13章 三角形的边角关系、命题与证明（举一反三单元测试·培优卷）（教师版）-沪科版(2024)八上

第十三章三角形的边角关系、命题与证明·培优卷【沪科版2024】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可．【详解】解∶已知此三角形露出的一个角是锐角．对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形．对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形．对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形．因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定．故选：D2．（3分）（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答．【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C．故选：C．3．（3分）（24-25八年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，11C．2，2，3 D．10，5，5【答案】C【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：A中3+4=7<8，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；B中5+6=11，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；C中2+2=4>3，三条线段能构成三角形，故符合题意；D中5+5=10，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；故选：C．4．（3分）（24-25八年级下·广东梅州·期中）作△ABC的边BCA． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键根据三角形的高线的定义，进行判断即可．【详解】解：作BC边上的高AD，是从顶点A出发，引对边BC的垂线段，据此，符合题意的是；故选：D．5．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，若△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是（A．8 B．6 C．4 D．3【答案】D【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．【详解】解：∵BD是边AC上的中线，∴S△∵E是BD的中点，∴S阴影故选：D．6．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线a∥b，直角△ABC的顶点A在直线b上，已知∠B=90°，∠C=30°，边AC，BC与直线a分别相交于点D，E，若A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解∠CDE的度数，∠【详解】解：∵∠CED=50°，∠C∴∠CDE∵∠B∴∠BAD∵a∥∴∠1+∠BAD∴∠1=100°-60°=40°，故选：B．7．（3分）（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（

A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线【答案】C【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．【详解】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD所以AD是△ABC由图②的折叠方式可知，∠ADB因为∠ADB所以∠ADB所以AD⊥所以AD是△ABC由图③的折叠方式可知，BD=所以AD是△ABC故选：C．8．（3分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠1=∠2=36°，∠3=∠4，则∠A．65° B．30° C．36° D．35°【答案】C【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，由外角性质可得∠3=∠4=72°，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握三角形的外角性质与三角形内角和定理是解题的关键．【详解】解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2=36°，∴∠3=∠4=72°，∴∠DAC故选：C．9．（3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明∠DBE=∠BAC=∠C=∠DBE，再结合①的结论可证明结论③；证明∠【详解】解：如图，设BE交FH于点J，①∵BD⊥∴∠FGD∵FH⊥∴∠BGJ∵∠FGD∴∠DBE=∠F②∵BE平分∠ABC∴∠ABE∵∠BEF=∠∴2∠BEF∵∠BAF∴2∠BEF=∠BAF③∵∠ABD=90°-∠BAC∴∠DBE∴2∠DBE∵∠CBD∴2∠DBE∴∠DBE由①得，∠DBE∴∠F=1④∵∠AEB=∠EBC∴∠AEB∵BD⊥FC，∴∠FGD∴∠BGH=∠ABE∴正确的序号是①②③④，故选：D．10．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，MN∥PQ，AB∥CD，CE平分∠DCN交PQ于点E，点F是射线AB上任一点，连结CF、DF，若∠BFD=∠A．60° B．15° C．60°或15° D．15°或70°【答案】C【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段AB上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCE=∠FDC，则可得CE∥DF，进而可得∠ECF+∠DFC=180°，再结合∠ECF-∠DFC=60°即可求出∠DFC的度数．②当点F在线段AB的延长线上时，延长线段本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．【详解】解：①如图，当点F在线段AB上时，∵MN∴∠DCN∵CE平分∠∴∠DCE∵AB∴∠BFD∵∠BFD∴∠FDC∴∠DCE∴CE∴∠ECF∵∠ECF解得∠DFC②如图，当点F在线段AB的延长线上时，延长线段AB交CE于G点，∵AB∴∠BFD又∵∠BFD=∠BDF∴∠CDG∵CE平分∠DCN∴∠DCE∵MN∴∠CDE∴∠CDG∴△CDG中，∠∴△CFG中，∠又∵∠ECF解得∠DFC故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级下·北京·开学考试）图中有个三角形．【答案】14【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解．【详解】解：单独的小三角形有8个，两层小三角形有4个，三层小三角形有2个，共有8+4+2=14个，故答案为：14．12．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）若△ABC的两条边分别长3cm和2cm，第三边的长是一个奇数，则第三边长【答案】3【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵△ABC的两条边分别长3cm和∴3-2=1cm<第三边长∵第三边的长是一个奇数，∴第三边长3cm故答案为：3．13．（3分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，则点【答案】12【分析】本题考查点到直线的距离，根据面积相等即可求出点C到AB的距离．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点在Rt△ABC中，∴12∵AC=3∴12∴CD=12∴点C到边的距离是125故答案为：12514．（3分）（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在△ABC中，AB=5cm，AD是△ABC的中线，若△ADC的周长比△ABD【答案】8cm/8【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键．根据三角形中线得定义可得BD=【详解】解：∵AD是△ABC∴BD=∵△ADC的周长比△ABD的周长大∴AD+∴AC-∵AB=5∴AC=8故答案为：815．（3分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，AB∥EF，BC，DE相交于点G，若∠B=125°，∠E=95°【答案】40【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长AB至点H，交DE于点P，由AB∥EF，∠E=95°，可得【详解】解：如图，延长AB至点H，交DE于点P，∵AB∥EF，∴∠EPH∴∠BPG∵∠ABG∴∠BGE故答案为：40．16．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，∠BAD，∠BCD的角平分线相交于点P，若∠B=5∠D【答案】26°/26度【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设AP,BC的交点为M，延长BC交AD于点N，∠BCD=∠BAD【详解】解：设AP,BC的交点为M，延长BC交AD于点∵∠BAD，∠BCD的角平分线相交于点∴∠BCD=2∠PCM∵∠BCD∴∠BCD∴2∠PCM∴∠PCM∴∠PCM∵∠AMB∴∠BAM∴∠=∠B∵∠B∴∠B∴∠P故答案为：26°．第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求(2)化简：a-【答案】(1)c(2)-【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案；（2）根据三角形三边的关系可得a<b+【详解】（1）解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，a=2，∴b-∴5-2<c<5+2，即∵c为奇数，∴c=5（2）解：△ABC的三边长分别为a，b，c∴a<∴a-∴a=-=-=-3a18．（6分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△(1)若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为(2)当∠B=30°,∠C【答案】(1)12(2)10°【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合AF是△ABC的中线，△ABF的面积为6，即可求出（2）先求出∠BAC=100°，再运用AE平分∠BAC，得出∠【详解】（1）解：∵AF是△ABC的中线，且△ABF的面积为∴△ABC的面积为6×2=12（2）解：∵∠B=30°，∴∠BAC∵AE平分∠BAC∴∠CAE∵AD⊥BC，∴∠DAC∴∠DAE19．（8分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：(1)画出△ABC的边BC上的高AD(2)画出△ABC的边AC上的中线BE(3)过点B作AC的平行线BF；(4)线段AB=10，直接写出点C到直线AB的距离______【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)12【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积．（1）根据三角形的高的定义画图即可．（2）根据三角形的中线的定义画图即可．（3）运用网格特征，观察AC，且结合平行线的判定，即可作图．（4）由题意可得S△ABC=12，再根据三角形面积公式列式计算得点C【详解】（1）解：如图，AD即为所求；（2）解：如图，BE即为所求；（3）解：过点B作AC的平行线BF，如图所示：（4）解：依题意，S△∵线段AB=10∴点C到直线AB的距离=S故答案为：12520．（8分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AF是BC边上的高，点E为AD(1)若∠ABE=13°，∠BAD(2)若△BDE的面积为10，CD=5，求【答案】(1)42°(2)8【分析】本题考查的是三角形的中线性质及三角形外角的性质，熟记三角形的中线平分该三角形的面积是解题的关键．（1）直接根据三角形外角的性质解答即可；（2）先根据E是AD中点，△BDE的面积为10得出△ABD的面积，再根据AD是BC边上的中线得出△ABC的面积，根据CD【详解】（1）解：∵∠ABE=13°，∴∠BED（2）解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为10∴S△ABE=∵AD是BC边上的中线，∴S△则S△∵CD=5∴BC=10∵AF是BC边上的高线，∴S△∴AF=21．（10分）如图，点O，P，Q分别在AB，AC，BC上，OQ与BP交于M点，连接OP，已知(1)求证：OP∥(2)若PO是∠APB的平分线，∠BPC=2∠C，请判断【答案】(1)见详解(2)BP⊥【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据邻补角的性质，得出∠BPC=∠OMP，证明QO（2）由角平分线的定义得出∠APO=∠BPO=12∠【详解】（1）解：∵∠OMB+∠BPC∴∠BPC∴QO∥∴∠C∵∠C∴∠OQB∴OP∥（2）解：BP⊥∵PO是∠APB∴∠APO∵OP∥∴∠APO∵∠BPC=2∠C∴4∠C∴∠C∴∠∵OP∴∠∵QO∥∴∠OQB∴在△BMQ中，∠∴BP⊥22．（10分）（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与(1)若∠B=50°，(2)若∠1+∠2=130°，求∠A(3)猜想：∠1+∠2与∠A【答案】(1)70°(2)65°(3)∠1+∠2=2∠【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，（1）直接根据三角形内角和定理求解即可；（2）由折叠可得∠AED=∠A'ED=12∠（3）同（2）求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠∴∠A（2）解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A∴∠AED=∠A∴∠1+∠2=180°-∠AE∵∠AED∴∠AED∴∠1+∠2=360°-2180°-∠∵∠1+∠2=130°，∴∠A（3）解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A∴∠AED=∠A∴∠1+∠2=180°-∠AE∵∠AED∴∠AED∴∠1+∠2=360°-2180°-∠23．（12分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线相交于点P，BP与AC(1)若∠A=44°，∠ABC(2)如图2，EQ平分∠PEC，连接PQ，当PQ⊥EQ【答案】(1)22°(2)见解析【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和与外角定理，熟练掌握三角形内角和与外角定理是解题的关键．（1）由角平分线可得∠ACP=∠PCD=12∠（2）设∠1=∠2=2β，∠A=2α，则∠AEB=∠PEC=180°-2α【详解】（1）解：∵CP平分∠ACD，BP平分∴∠ACP=∠PCD∵∠A∴∠BAC∴∠PCD∵∠P∴∠P（2）解：设∠1=∠2=2β，∴∠AEB∵EQ平分∠PEC∴∠5=1∵PQ⊥∴∠EPQ由（1）得∠EPC∴∠QPC∴∠ABC24．