2025-2026学年 北师大版九年级下册数学3.4 圆周角和圆心角的关系 教学课件

3.4圆周角和圆心角的关系（1）复习导入在同圆或等圆中圆心角、弧和弦有什么关系？在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.在射门游戏中（如图3-15），球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ ABC）有关．图3-16是一个俯视图，位置B，D，E对球门AC所形成的张角的大小相等吗？图3-15图3-16相等新知讲解新知讲解观察图3-16中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角（angleinacircularsegment）．新知讲解如图3-17，∠AOB=80°．（1）请你画出几个

所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系呢？请与同伴进行交流．（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．

⌒AB图3-17做一做图3-17ACBO（1）∠ACB、∠ADB和∠AEB这几个圆周角相等.DE（2）这些圆周角=圆心角=∠AOB新知讲解在图3-17中，改变∠AOB的度数，上面的结论仍成立吗？议一议上面的结论仍成立.新知讲解圆周角定理

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．新知讲解已知：如图3-18，∠ACB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角．求证：∠ACB=∠AOB．

⌒AB

⌒AB圆周角与圆心角有几种不同的位置关系呢？新知讲解分析：根据圆周角和圆心的位置关系分三种情况讨论：（1）圆心O在∠ACB的一条边上，如图3-18（1）；（2）圆心O在∠ACB的内部，如图3-18（2）；（3）圆心O在∠ACB的外部，如图3-18（3）．图3-18新知讲解在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：（1）圆心O在∠ACB的一条边上，如图3-18（1）．∵∠ AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠ CAO+∠ ACB．∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACB．∴∠AOB=2∠ACB即∠ACB=∠AOB．图3-18（1）新知讲解你能解决其他两种情况吗？要解决图3-18（2）和图3-18（3）的情况，可以分别将其转化成图3-18（1）的情况，从而利用三角形外角解决问题．议一议新知讲解在射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？想一想新知讲解新知讲解011、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于()A.90°B.50°C.100°D.80°解：∵圆心角∠AOC和圆周角∠ABC都对着，∴∠AOC=2∠ABC，∵∠ABC=50°，∴∠AOC=100°，故选：C．

⌒ACC课堂练习2、如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠D=30°，则∠AOC等于()A.60°B.90°C.120°D.150°解：∵∠D=30°，∴∠BOC=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，故选：C．C课堂练习3、如图，在⊙O中，弦AB//CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=()A.80°B.50°C.40°D.20°解：∵AB//CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．故选:A．A拓展提高4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；(2)若∠M=30°，求∠D的度数．拓展提高解：(1)∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=(x-4)2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．拓展提高(2)∵∠M=30°，∴∠DOB=2∠M=60°，∵OB=OD，∴△BOD为等边三角形，∵CD⊥AB，∴∠D=×60°=30°．拓展提高课堂总结1、圆周角定义：圆周角的度数等于它所对