2024年中考数学（河北）押题预测卷一（含答案）

2024年中考押题预测卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共16小题，1-6小题每题3分，7-16小题每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．某细菌的直径为毫米，数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.如图，已知在△ABC中，AD是高，若∠DAC=50°，则∠C的度数为（）A.60° B.50° C.40° D.30°3.如图，直线a//b，直线l与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A25° B.40° C.50° D.130°4.下列运算中，计算结果正确的是（）A. B.C. D.5.嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号使结果等于4，图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，嘉淇的得分为（）①②③④A.25分 B.50分 C.75分 D.100分6.已知+（b+2）2=0，则（a+b）2017的值为（）A.0 B.2016 C.1 D.﹣17.平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（）A.1 B.2 C.7 D.88.如图，在边长为1的正方形网格中，线段的长度在数轴上的（）A.①段 B.②段 C.③段 D.④段9.如图，内接于是的直径，，则的度数是（） B. C. D.10.如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是4：9，则：OB为A.2：3 B.3：2 C.4：5 D.4：911.如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且º，设扇形、、弓形的面积为、、，则他们之间的关系是（）A. B.C. D.代数式的值为．则为整数值的个数有（）A.0个 B.7个 C.8个 D.无数个13．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（）A.米 B.米 C.米 D.米14.在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除了颜色不同外，其它都相同，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两个摸到1个红球1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是（）A. B.C. D.15.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（）A．12 B．25﹣6 C．6+42 D．6﹣416.如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，17题2分，18-19小题各4分，共10分）17．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是_______18.中，AB＝AC，的中垂线与所在直线相交成的锐角为，则底角的大小为_________．19.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度ℎ（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系ℎ=−5t2+mt+n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时ℎ的值的“极差”（即0秒到t秒时ℎ的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是_________；当2≤t≤3三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20．（9分）如图为一个运算程序，其结果为，（1）当为4时，求的值；（2）若为非负数，求的最小整数值．21.（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD=60°，AD=2时，求∠EDB的正切值．22.（9分）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：邀请甲乙两名同学（看成点）分别在数轴和5的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下：①一人获胜，甲向右移动3个单位长度，乙向左移动1个单位长度：②若平局，甲向右移动1单位长度，乙向左移动3单位长度：（1）第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是；（2）第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请补全下面的树状图，并求出点（甲，乙）落在第二象限的概率．23.（10分）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：方式一若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．方式二

每亩土地的年租金是600元．(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元a>0给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．（注：年收入＝年总租金－捐款数）24.（10分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=，CQ=时，P、Q两点间的距离(用含的代数式表示)．25.（12分）如图1，内接于，作于点D．(1)连结，．求证：；(2)如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分；(3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长．26.（13分）我们将抛物线且与抛物线称为“美轮美色抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组“美轮美奂抛物线”．根据该约定，解答下列问题：（1）已知抛物线，直接写出其“美轮美争抛物线”的解析式；（2）若抛物线的顶点在其“美轮美色抛物线”的图象上，抛物线的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其“美轮美负抛物线”与轴交于点（在上方）．小雅发现无论为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若是以为斜边的等腰直角三角形，当时，求抛物线截轴得到的线段长度的取值范围．2024年中考押题预测卷数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共16小题，1-6小题每题3分，7-16小题每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．某细菌的直径为毫米，数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故选：．【点睛】本题考查科学计数法．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．2.如图，已知在△ABC中，AD是高，若∠DAC=50°，则∠C的度数为（）A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】C【分析】先根据AD⊥BC得出∠ADC=90°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠DAC=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故选C．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3.如图，直线a//b，直线l与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A25° B.40° C.50° D.130°【答案】B【分析】由平行线性质得到∠MAC＝90°，再根据平角的定义即可得解．【详解】解：如图，∵AC⊥b于点C，∴∠ACN＝90°，∵a∥b，∴∠ACN+∠MAC＝180°，∴∠MAC＝90°，∵∠1+∠MAC+∠2＝180°，∠1＝50°，∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题关键．4.下列运算中，计算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，选项正确，符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．5.嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号使结果等于4，图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，嘉淇的得分为（）①②③④A.25分 B.50分 C.75分 D.100分【答案】D【分析】根据实数的运算法则分别求出四个算式的运算结果即可得到答案．【详解】解：，计算结果正确；，计算结果正确；，计算结果正确；，计算结果正确；∴四个计算结果都正确，即得分为100分，故选D．【点睛】本题主要考查了实数的运用，正确计算是解题的关键．6.已知+（b+2）2=0，则（a+b）2017的值为（）A.0 B.2016 C.1 D.﹣1【答案】C【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，计算即可．【详解】由题意得：a﹣1=0，b+2=0，解得：a=1，b=﹣2，则（a+b）2017=﹣1．故选D．【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．7.平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（）A.1 B.2 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答．【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，在中，，即，在中，，即，所以观察四个选项可知，只有选项B符合．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线、构造两个三角形是解题关键．8.如图，在边长为1的正方形网格中，线段的长度在数轴上的（）A.①段 B.②段 C.③段 D.④段【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断．【详解】解：，∵，∴，故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的③段，故选：C．【点睛】本题考查了无理数与数轴，理解无理数的意义是解题关键．9.如图，内接于是的直径，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】解：如图，连接，是的直径，，，，，故选C．【点睛】本题考查了圆周角问题，理解圆周角意义及三角形内角和的熟练应用是解题关键．10.如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是4：9，则：OB为A.2：3 B.3：2 C.4：5 D.4：9【答案】A【详解】分析：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．详解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴OB'：OB=2：3.故选A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．11.如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且º，设扇形、、弓形的面积为、、，则他们之间的关系是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：A．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．代数式的值为．则为整数值的个数有（）A.0个 B.7个 C.8个 D.无数个【答案】B【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的x的值，即可确定F的值的个数．【详解】解：，∵代数式的值为，且F为整数，∴为整数，且∴的值为：，共7个，∴对应的F值有7个，故选：B．【点睛】本题考查了分式的计算和化简，熟练化简分式是解题关键．13．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【分析】本题考查解直角三角形应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值．【详解】解：∵，米，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算，熟练解直角三角形是解题的关键．14.在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除了颜色不同外，其它都相同，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两个摸到1个红球1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据题意用列表法表示出贝贝摸出球的所有可能结果，根据表格可知所有等可能的结果共有9中种，其中贝贝摸到1红1黄的共有4种，贝贝摸到2红的共有4种，根据概率公式即可得出贝贝摸到1红1黄的概率及贝贝摸到2红的概率；莹莹同学一次摸2个球，一共有3种情况：红1红2，红1黄，红2黄.根据概率公式即可得出莹莹摸到1红1黄的概率及莹莹摸到2红的概率，再将它们的概率进行比较即可.【详解】不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个，红1红2黄红1红1，红1红2，红1黄，红1红2红1，红2红2，红2黄，红2黄红1，黄红2，黄黄，黄一种9种结果，P（贝贝摸到1红1黄）=，P（贝贝摸到2红）=，莹莹同学一次摸2个球，一共有3种情况：红1红2，红1黄，红2黄，P（莹莹摸到1红1黄）=，

P（莹莹摸到2红）=，A.，错误，B.，错误，C.，错误，D.，正确，故选D.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点是：概率=所求情况数与总情况数之比．15.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（）A．12 B．25﹣6 C．6+42 D．6﹣4【答案】D【分析】本题首先要确定直线可能所处的位置（如下图所示），一种情况是直线m与抛物线相切，另一种情况是直线n过B点，进而求出k的值．【详解】解：如图抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：（1，0）、（3，0），由抛物线从C1：y=-x2+4x-3平移得到抛物线C2，则容易得到其的方程为：y=-（x-4）2+1，（3≤x≤5）．直线y=kx-k过点A（1，0），当直线m与C2只有一个交点和在x轴的位置时，直线y=kx-k与C1、C2共有3个不同的交点，而直线为m时，k值最大，联立C2与直线的表达式可得：kx-k=y=-（x-4）²+1Δ=0，即k²-12k+4=0，解得：k=6±42（舍去6+42）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图形结合问题，熟练掌握图象特殊点的代数意义是解题的关键．16.如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】解：过点C作CM⊥AB于N，DG=3，在等腰Rt△ABC中，AB=2，∴CN=1，①当0≤x<1时，如图，CM=x，∴PQ=2x，∴y=1∴0≤x<1，y随x的增大而增大；②当1≤x<3时，如图，∴y=S∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；③当3≤x≤4时，如图，CM=x−3，∴PQ=2(x−3)，∴y=1当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了特殊图形的移动与函数求极值，注意分段分类讨论．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，17题2分，18-19小题各4分，共10分）17．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是_______【答案】【分析】根据反比例函数几何意义，即可求解．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点∴的面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．18.中，AB＝AC，的中垂线与所在直线相交成的锐角为，则底角的大小为_________．【答案】70°或20°【分析】由于△ABC的形状不能确定，故应分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．【详解】如图①，当AB的中垂线与线段AC相交时，则可得∠ADE=50°，∵∠AED=90°，∴∠A=90°-50°=40°，∵AB=AC，∴；如图②，当AB中垂线与线段CA的延长线相交时，则可得∠ADE=50°，∵∠AED=90°，∴∠DAE=90°-50°=40°，∴∠BAC=140°，∵AB=AC，∴．∴底角∠B为70°或20°．故答案为：70°或20°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．19.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度ℎ（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系ℎ=−5t2+mt+n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时ℎ的值的“极差”（即0秒到t秒时ℎ的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是_________；当2≤t≤3【答案】0≤w≤5．5≤w≤20．【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，4×(−5)×n−m【详解】解：根据题意，得-45+3m+n=0，4×(−5)×n−m∴m2∴m2解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴h=−5t∵对称轴为t=−10∴0≤t≤1时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且hmax=20（米）；当t=0时，h最最小，且∴w=hmax∴w的取值范围是0≤w≤5，故答案为：0≤w≤5．当2≤t≤3时，w的取值范围是∵对称轴为t=−10∴1＜2≤t≤3时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且hmax=20（米）；当t=3时，h最最小，且∴w=hmax−h∴w的取值范围是5≤w≤20，故答案为：5≤w≤20．【点睛】本题考查了二次函数极值的计算，熟练掌握函数图象意义是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20．（9分）如图为一个运算程序，其结果为，（1）当为4时，求的值；（2）若为非负数，求的最小整数值．【答案】（1）；（2）x的最小整数值为1．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（1）根据运算规则列不等式，解不等式即可求解；【详解】（（1）解：当为4时，∴；（2）解：由题意得，解得，∴x的最小整数值为1．【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算、解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式是解答的关键．21.（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD=60°，AD=2时，求∠EDB的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】：（1）先依据平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再依据矩形的性质得到∠COB=90°，故此四边形OBEC是矩形；（2）依据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得到BD=2，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AO的长，从而得到BE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】（1）∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形OBEC为平行四边形．∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形．（2）∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AD=AB=2．∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴∠BAO=30°，∴OC=OA=3，∴BE=3，∴tan∠EDB===．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定、菱形的性质、锐角三角函数的定义、特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．22.（9分）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：邀请甲乙两名同学（看成点）分别在数轴和5的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下：①一人获胜，甲向右移动3个单位长度，乙向左移动1个单位长度：②若平局，甲向右移动1单位长度，乙向左移动3单位长度：（1）第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是；（2）第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请补全下面的树状图，并求出点（甲，乙）落在第二象限的概率．【答案】（1）（2）【分析】（1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在4；若平均局，则甲停留在，乙停留在2；再根据概率公式求解即可；（2）根据题干要求补全树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可．【详解】（1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在4；若平均局，则甲停留在，乙停留在2；所以第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是；故答案为：；（2）补全树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中点（甲，乙）落在第二象限的有3种结果，所以点（甲，乙）落在第二象限的概率为．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或A的概率．23.（10分）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：方式一若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．方式二

每亩土地的年租金是600元．(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元a>0给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．（注：年收入＝年总租金－捐款数）【答案】（1）500；（2）当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；（3）0<a<30.【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可；（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可；（3）根据题意得到关系式w=−5x【详解】解：(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：400+5×(100−80)=500（元）故答案为：500；(2)设出租x亩土地，则方式一的每亩年租金为：400+5(100−x)=900−5x，∴方式一的年总租金为：x(900−5x)=−5方式二的年租金为600×x=600x设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，y=−5=−5=−5∵−5<0∴当x=30时，y有最大值为4500∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；(3)设出租x亩土地，方式一的年收入为：−5x2+900x−ax;设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，w=−5=−5所以，对称轴为直线x=−∵a>0∴对称轴直线x=30−∵0<x<60∴当x=60时，w取得最小值=−5×=−60a+1800租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，则−60a+1800>0即：60a<1800解得，a<30，∵a>0∴a的取值范围为：0<a<30【点睛】此题考查了二次函数的应用，解二次函数求极值是关键，注意区分实际意义。24.（10分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=，CQ=时，P、Q两点间的距离(用含的代数式表示)．【答案】(1)见解析（2）见解析，P、Q两点间的距离是【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，,，，，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，，在Rt△APQ中，．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定