广石化概率论与数理统计习题册讲解

第六章样本及抽样分布

一、选择题

1.设乂，乂2,…,X"是来自总体X的简单随机样本，则X1,X2，・.、X“必然满足（）

A.独立但分布不同；B.分布相同但不相互独立；C独立同分布；D.不能确定

2.下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.

A.统计量为随机变量B,统计量是样本的函数

C.统计量表达式中不含有参数D.估计量是统计量

3.设总体均值为〃，方差为。2〃为样本容量下式中错误的是（）

A.E（X-//）=OB.D（X-ju）=—C.E（^）=1D.^^~N（O,1）

na~（y/yjn

4.下列叙述中，仅在正态总体之下才成立的是（）.

A.^（X.-X）2=^X,2-/7（X）2B.又与S?相互独立

21r=l

C.4@一。）2=£）（©）+[七（。）一例2D.E[^（X,.-//）2]=/?O-2

5.下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（）.

A.若尸〜尸（勺，〃,）,则—~F（n2,小）

F

B.若「~/（〃）,则丁'~/（1,〃）

C.若，~N（O,1）,则X?~W（1）

f（Xj）2

D.在正态总体下上——：----------x2（/:-l）

（y~

6.设兄⑶表示来自总体N（M。：）的容量为%的样本均值和样本方差（/=1,2）,且

两总体相互独立，则卜列不止确的是（）.

A.噂—…B.（XL：?一"i）〜NQ1）

5s2%+生

x[一〃|

D.'/（々-I）

SjM

7.设总体服从参数为L的指数分布，若X为样本均值,〃为样本容量，则下式中错误的是

0

B.齿/一(可二？D.(切片

8.设X，X„…，X”是来自总体的样本，则/灭尸是().

A.样本矩B.二阶原点矩C.二阶中心矩D.统计量

9.X„X2,,X“是来自正态总体N(O,1)的样本，区,S?分别为样本均值与样本方差，则

().

A.X~N(OJ)B.〃X~N(O,1)C.口.——/(n-1)

3

10.在总体X~N(12,4)中抽取一容量为5的简单随机样本XrX2，X3，X4，X「则

P{max(X„X2iX31X4iX5)>\5]^().

A.1-0(1.5)B.[l-0)(1.5)]5C.1-[<D(1.5)]5D.[①(1.5)r

11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于1的概率为().

A.2①(0.5)-1B.26(咚)一1C.26(手)一1D.26(2.5)-1

12.给定一组样本观测值X1,X”…多且得£X]=45,次Xj?=285,则样本方差

1=11=1

S2的观测值为().

2065

A.7.5B.60C.—D.—

32

13.设X服从«〃)分布,P{|X|>/l}=a,则片乂<一/1}为().

A.—ciB.2aC.—卜〃D.1——ci

222

14.设XpX?,…，X”是来自总体M0J)的简单随机样本，则之(Xj-5)2服从分

1=1

布为(）.

A.X2(7?)B.X2(/I-1)C.N(0,〃2)D.N(0,—)

15.设内,占,“是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，若

222

Y=«(X,+2X2)+h(X3+X4+X5)+c(Xb+X7++X9)服从x?分布，则

a,Ac的值分别为().

IllD111「111clll

81216201216333234

16.在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从

N(a,0.2?)分布，以反〃表示〃次称量结果的算术平均，则为了使尸{R”一，＜0.1}N0.95,”

值最小应取作().

A.20B.17C.15D.16

17.设随机变量X和丫相互独立，且都服从正态分布N(O,32),设X”X?,…,Xq和

i=l

A.Z(9)B.r(8)C.N((),81)D.N((),9)

二、填空题

1.在数理统计中，称为样本.

2.我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点

3.设随机变量XI,X2,…,X〃相互独立且服从相同的分布，EX=",DX=o2，令

X=-YX,-,则成=：DX=

---------

4.设X1,X2,…,X〃是来自总体的一个样本，样本均值又=,则样本标

准差S=：样本方差S2=；样本的攵阶原点矩

为:样本的左阶中心矩为.

5.(X,,X2,-SX1O)是来自总体X~N(0,0.32)的一个样本，则

io

-1-44-

»=|.

6.设X],X2,…,X〃是来自(0-1)分布(尸{*=0}=1-0,刊「=1}=〃)的简单随机样本,X

是样本均值，贝UE(方二.D(X)=.

8.设(XpX2,…,X.)是来自总体的一个样本，称

______________________为统计量：

9.已知样本X],X2,…,Xi6取自正态分布总体M2J),又为样本均值，已知P{歹2猫=0.5,

则/=.

10.设总体X~N(4，cf2),又是样本均值，然是样本方差，八为样本容量，则常用的随机

变量"「闾服从分布.

a'

11.设X],X2,…,X〃为来自正态总体X~N(小。2)的一个简单随机样本，则样本均值

V服从，又若《为常数(勺，则£%Xj服

"i=l1=1

从1

12.设〃=10时，样本的一组观测值为(464,3545847),则样本均值为,

样本方差为.

第七章参数估计

一、选择题

1.设总体X在("一/，//+")上服从均匀分布，则参数〃的矩估计量为().

I1»1«_

(A)=(B)——Yxi(C)——(D)X

X〃T占〃TM

2.设总体X，…,X”为抽取样本，则，€(匕一刀)2是().

(A)〃的无偏估计(B)/的无偏估计(C)〃的矩估计(D)b?的矩估计

3.设X在［0,a］上服从均匀分布，。＞0是未知参数，对于容量为〃的样本X-…，X”，a

的最大似然估计为()

(A)max{X,X,­••,%„}(B)-VX,.

12〃普

(C)nnx{XpX2,..,XJnin(XpX2,--,XJ(D)1IVX,.,

4.设总体X在［a,b］上服从均匀分布，X「X2,…,X”是来自X的一个样本，则a的最大似

然估计为()

(A)max{Xl,X2t'--,Xll］(B)X

(C)nin{X,,X2,-,XJ(D)X.-X1

5.设总体分布为N(〃,b2),〃，0?为未知参数，则。2的最大似然估计量为().

(Bf2

1〃

⑴)

6.设总体分布为〃已知，则b?的最大似然估计量为(

(B)仁1相

(A)S

n

1〃

©工…⑴)〃产

〃一1占

dxa0<r<]

7.设总体X的密度函数是J\xya）=\'甘"（。〉0）,公孙…，天是取自总体的

0,其他

一组样本值，则。的最大似然估计为（).

A.------------B.c-喔刈

Zlnx,,小

r=l

8.设总体X的概率密度为/（x）=（铲'-h,X|,X2,…，X”是来自X的简

(),其他

单随机样本，则。的矩估计量为（）.

____〃

A.XB.2XCmax（Xj,X2,…,X,）D,

Z=l

9.设总体X的数学期望为〃，方差为。2,（X1,X2）是X的一个样本，

则在下述的4个估计量中，（）是最优的.

14(B)/i=1x1x

(A)/).=-%.+-X2i+2

JJ2o4

(C).3=gX]+^x

2(D)九=；X|+|x2

10.X,,X2,X3设为来自总体X的样本,下列关于E（X）的无偏估计中，最有效的为（）.

1(XX+X)

(A)—(X)+X)(B)l+23

2J

；221

(C)(X1+X2+X3)(D)-X.+-X,——XJ

313233

II.设（X-X2,…,X”）为总本可（〃，。2）（4已知）的一个样本，X为样本均值，则在总体

方差。2的下列估计量中，为无偏估计量的是（）.

（A）3；」为氏-反）2：1n_

(B)<T；=----X)一：

1M

(D)3；=」f(Xi)2.

(C)=—Z(Xj-〃)-：7

〃”1“-IT

12.设是来自总体X的样本，且£X=〃，则下列是〃的无偏估计的是（）.

1n-11n1n1n-l

13.设X,,X2,..sXzr（/2>2）是正态分布N",/）的一个样本，若统计量

KZ（Xj.「X,）2为人的无偏估计，则K的值应该为（

(A)—(B)-----(C)-----

2〃2〃-12n-2

14.下列叙述中正确的是（）.

A.若。是e的无偏估计，则1）2也是加的无偏估计.

B.。,庆都是夕的估计，且£）（。）w。®），则。比庆更有效.

c.若a,a都是。的估计，且&。一。）2工七（。一。）2,则。优于。

D.由于顼5―4）=0,故又=".

15.设〃个随机变量X1,X2,…,X〃独立同分布，。又=。2,X=-Yx,.,

52=-^-£（X,.-X）2,（）

〃T£

A.S是。的无偏估计量B.S?不是b?的最大似然估计量

一,2―

C.DX=—D.S?与X独立

16.设。是总体X中的参数，称他。）为夕的置信度1一。的置信区间，即（）.

A.（e,e）以概率包含eB.0以概率1-。落入（0,。）

c.e以概率。落在（0,囱之外D.以（夕分估计。的范围，不正确的概率是1一。

17.设夕为总体X的未知参数，4，%是统计

量，（用,为）为e的置信度为Ja（0<a<1）的

置信区间，则下式中不能恒成的是（）.

A.P{d<0<32}=1—a

B.

P{0>02}+P[0<Oi]=a

cP{0<02}>l-a

尸{6>%}+P{i}=W

u・2

18.设X~N(〃,/)且/未知，若样本容

量为〃，且分位数均指定为“上侧分位数”

时，则〃的95%的置信区间为()

—O"

A.(X±^U0.025)

—q

B.(X土耳，o.o5("1))

一s

Q(X4).025⑺)

——s

D.1^r0,025(ZZ-1))

19.设乂~N(〃,cP),均未知，当

2

样本容量为〃时，G的95%的置信区间

为（)

((〃-1炉(IN)

A,%0.975("-1)X0.025(〃—1)

(5-1»2(f§2)

B.*0.025(〃-1)%975(〃—1)

(〃-1»2(n-l)S2

\9O/

C・％0.0255-1)’0.975(〃-1)

q

(X土/0.025(AT-1))

D.7n

x1,x2,x”和工，为，…，丫〃分

20.

别是总体N（〃i,cr：）与Ng,cr；）的样

本，且相互独立，其中。；，肩已知，则

从一〃2的〜置信区间为（）

A.

__Ic2c»2

[(又—歹)土乙(％+%—2)，+，]

71〃1〃2

[(x-y)±zp+^]

B.2Vn\n2

c.

__IC2C2

[①一又)±4(〃|+%—2)，+二]

2N%〃2

I22

[(Y-X)±Z1+2]

D.2V%

b2

21.双正态总体方差比送的1—a的置信

区间为()

A.

is2s2

[-----------------7，F(n—1,n—1)—y]

/「I,%-1)%9Is；

2

B.

v2s2

c.

［"FT一Z1—二呼此(〃2T〃iT)•冬］

FQ("I-1,%-1)S22SI

2

D.

52§2

［工(%T%-1).*,J(%,%).翥］

2Al-2，

16.答案A.

［解］提示：根据置信区间的定义直

接推出.

17.答案D.

［解］同上面17题.

18.答案D.

［解］同填空题25题.

19.答案B.

［解］同填空题第28题.

20.答案B.

［解］因为与6工理©~M0』)，所以选B.

V%〃2

21.答案A.

［解］因为华―)，所以选A.

二、填空题

1.点估计常用的两种方法是：和.

2.若x是离散型随机变量，分布律是p{x=x}=p(x；e),(。是待估计参数)，则似然函

数是.x是连续型随机变量，概率密度是/*；0),则似然函数是.

3.设X的分布律为

XI23

P9126>(1-6>)(1一。尸

己知一个样本值(西，尤2，6)二(1,2,1),则参数的。的矩估计值为，极大似然

估计值为.

4.设总体X的概率分布列为：

X0123

Pp22p(l-p)p2l-2p

其中〃(0<p<l/2)是未知参数.利用总体X的如下样本值：

I,3,0,2,3,3,1,3

则p的矩估计值为，极大似然估计值为.

5.设总体X的一个样本如下：

1.70,1.75,1.70,1.65,1.75

则该样本的数学期望E(X)和方差D(X)的矩估计值分别.

6.设总体X的密度函数为：/(x)=•("+，，。藐7'设K，…,X”是X的样本，

则2的矩估计量为,最大似然估计量为.

7.已知随机变量X的密度函数为5就6怜〉。)，

其中。均为未知参数，则。的矩估计量为，极大似然估计量_______________.

8.设总体X的概率密度为/(<)=(铲四一，),…，X”是来自总体

0,其它

X的简单随机样本，则。的矩法估计量是,估计量A的方差为.

9.设总体y服从几何分布，分布律：〃｛丫=田=(1一〃)尸〃，y=12…其中〃为未知参

数，且owpwi.设匕，匕,…，工为y的一个样本，则〃的极大似然估计量为.

10.设总体X服从0-1分布，且尸(X=l)=p,*］,...,、”是*的一个样本，则P的极大似

然估计值为.

II.设总体x~/r(/l),其中/1>0是未知参数，乂,..,乂“是乂的一个样本，则％的矩估

计量为，极大似然估计为.

12.设X在［4,1］服从均匀分布，XI,…,X”是从总体X中抽取的样本，则。的矩估计量

为.

13.设总体X在例服从均匀分布，。为未知，则参数a,b的矩法估计量分别

为，.

14.已知某随机变量X服从参数为4的指数分布，设X'Xz，…，X”是子样观察值，则力的

矩估计为，极大似然估计为.

15.设X〜N(〃,b2),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X中抽取的样本，则〃的

矩估计值为.

16.若未知参数。的估计量是0,若称。是。的无偏估计量.设夕,仇是未

知参数e的两个无偏估计量，若则称仇较私有效.

17.对任意分布的总体，样本均值又是的无偏估计量.

18.设乂，乂2,…,X,”为总体X的一个样本，X~,则〃2的一个无偏估计量

为.

19.设总体x的概率密度为/(x,e)=[(o<x<。)，x「X2,…,x”为总体x的一个样

木，则0=2又是未知参数。的估计量.

_1/r

20.假设总体X~N(4Q2),且X=-£X「X”X,,一,X“为总体X的一个样本，

则X是的无偏估计.

21.设X1,X2,…，X”为总体X~N(〃，o2)的一个样本，则常数c=时，

H-1

cZ(x*-XJ2是人的无偏估计•

1=1

22.设总体X~N(〃，b2),X\,X>…,X”为总体X的一个样本，则常数,

使女之|X,-T|为。的无偏估计量.

1-1

23.从一大批电子管中随机抽”又100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差

为S=40.设电子管寿命分布未知，以置信度为0.95,则整批电子管平均寿命〃的置信区

间为(给定Zoos=L645,ZOO25=1.96).

24.设总体X~N(〃，O2),为未知参数，则〃的置信度为l-a的置信区间为

25.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从壬态分布，且直径的方差为

。2=0.04,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15亳米，给定a=0.05

则滚珠的平均直径的区间估计为.(Z0.o5=1.645,Z0025=1.96)

26.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：

14.6I5J14.914.815.215.1

已知原来直径服从N(%0.06),则该天生产的滚珠直径的置信区间为,

(a=0.05,Z005=1.645,Z0025=1.96).

27.某矿地矿石含少量元素报从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得

2

5=0.2,则o的置信区间为(a=0.1,z;(l1)=19,68,Z)a(l1)=4.57).

28.设某种清漆干燥时间X~N(〃，cf2)(单位：小时)，取〃=9的样本，得样本均值和

方差分别为X=6,S2=0.33,则〃的置信度为95%的单侧置信区间上限为.

第八章假设检验

一、选择题

1.关于原假设，。的选取，下列叙述错误的是（）.

A.尽量使后果严重的错误成为第一类错误

B.可以根据检验结果随时改换，。，以达到希望得到的结论

C.若拟从样本数据得到对某•结论强有力的支持，则将此结论的对立面设为

D.将不容易否定的论断选作原假设

2.关于检验水平。的设定，下列叙述错误的是（）.

A.a的选取本质上是个实际问题，而非数学问题

B.在检险实施之前，。应是事先给定的,不可擅自改动

C.a即为检验结果犯第一类错误的最大概率

D.为了得到所希望的结论，可随时对a的值进行修正

3.下列关于“拒绝域”的评述中，不正确的是（）.

A.拒绝域是样本空间（即全体样本点的集合）的子集

B.拒绝域的结构形式是先定的，与具体抽样结果无关

C.拒绝域往往是通过某检验统计量诱导出来的

D.拒绝域中涉及的临界值要通过抽样来确定

4.关于检验的拒绝域W,置信水平a，及所谓的''小概率事件”，下列叙述错误的是().

A.a的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述

B.事件｛(X1,X2,…,)eW|%为真｝即为一个小概率事件

C.设W是样本空间的某个子集，指的是事件…，巡)|儿为真｝

D.确定恰当的W是任何检验的本质问题

5.设总体乂~N(%b'),b’未知，通过样本毛，乂2,…，X”检验假设”0要采用

检验估计量().

6.样本X1,X2,…,X”来自总体N(4,122),检验“°采用统计量()-

X-〃X-100X-100X-4

A.D.

m4n'm4nS/4n^\Sl4n

7.设总体X〜N(V未知，通过样本乂1,乂2产・/“检验假设=40,此问题

拒绝域形式为.

,x-ioo八、X-100,X-100

A.{——7=>C]B.{f----f^<C]C.{>C}D.{X>C}

S/x/10S/yJns/Vio

8.设X「X2,…,X”为来自总体N(〃,32)的样本，对于"o：4=lOO检验的拒绝域可以形

如().

X-100

A.{|x-