（南开中学）重庆市高2026届高三第五次质量检测数学试卷（含答案详解）

重庆市高2026届高三第五次质量检测数学试题 2026.1命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合A=x∣y=x-aA.a≤1 B.a≤-3 C.-3≤a≤0 D.a≥12.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且a2+aA.5 B.6 C.7 D.83.调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题1：你现在心理压力很大吗?问题2：你学籍号尾号是偶数吗?然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答，如果出现正面朝上，就回答第一个问题；否则回答第二个问题.整个调查过程全程保密，由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实回答问题.现在对学籍号为0001-1000的1000名中学生进行调查，其中有260名学生回答“是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为A.2100 B.61004.已知向量a,b满足：∣a∣=2A.π6 B.π3 C.π2 5.函数fx=x-ax2x+1是定义在R上的偶函数，则fA.34log3 B.1 C.6.已知四个正整数a₁,a₂,a₃,a₄满足a1≤a2≤a3≤a4,2≤ai≤8,i=1,2,3,4,,且A.7 B.9 C.10 D.12南开中学质检(五)第1页，共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知曲线fx=ex-1ax2+b在(1,f(1(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在区间|[-1,2]上的值域.16.(15分)如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=2,∠BAD=π4,AB中点为M，现以DM为折痕把△ADM(1)若A1C中点为N,证明:BN∥平面A₁(2)若∠A1AD=π3求A117.(15分)已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且42sinC+π4-b-c=0,a=4(1)求A;(2)在四边形ABCD中,若BD为∠ABC的内角平分线，记△ABC,△ACD的面积分别为S1,S2,若S1南开中学质检(五)第3页，共4页18.(17分)已知袋中有m1个白球，m2个红球，m3个黑球，其中m1(1)若m1(2)记白球最先被全部取出的概率为.P(i)求Pm1m2m3(()已知k∈N*,(参考数据：ln19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l：2x-1=0的距离之比为2，记动点P的轨迹为Γ.(1)求轨迹Γ的标准方程；(2)已知圆O:x2+y2=r2r0),圆O(i)当r=1时，若∣BC∣=3,且切点在第二象限，求切线(ii)当0＜r＜1时，已知B、D是关于y轴对称的两点，是否存在r，使得△BCD的外接圆过定点；若过定点，求出定点坐标；若不存在r，请说明理由.南开中学质检(五)第4页，共4页重庆市高2026届高三第五次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项BCABDCABACDACBC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B【解析】A=[a,+∞),B=(-3,1),B⊆A,故a≤-3.2.C【解析】由题意,a1+d+a3.A【解析】记A=“回答是”,B=“回答第一个问题”,心理压力大的学生占比为p,则P(A)=P(B)P(A|B)+PBPA∣B=124.B【解析】{(a→5.D【解析】由于f(x)是偶函数,所以a=2,容易判定fx=x⋅1-22x-1,x＞0递增6.C【解析】中位数是5,则a2+a3=10,平均数是5，则a1+a2+a3+a4=20,故a1+a4=a2+a3=10,由于2≤a1≤a2≤a3≤a4≤8,当a1a4=28,则(a₂,a₃)=(2,87.A【解析】由题意,f'x=mlnx-xm-1=0有原方程转化为lntt=m-1,t＞0有2个正根，对函数gx=lnxx求导，g'(x)所以当0＜x＜e时,g(x)单调递增，当x＞e时，g(x可得：1＜m＜8.B【解析】设∣MF2∣=t,则∣MN∣=∣NF1∣=在△MF₁F₂'中，则∠MF1F数学试题参考答案第1页(共6页)当∠MF1F2=π4时，由余弦定理得：当∠MF1F2=3π4时，由二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.ACD【解析fx=2sinx+π3,一个周期为2π，A正确；f5π6=2sin7π6=-1≠±2,B错；令t=x+10.AC【解析】设A(y₁,y₁),B(x₂,y₂),y₁＞0,y₂＜0,设直线AB:x=ty+4,联立方程{x=ty+4y所以y1y解得：p=3,y1=6,选项CFA⋅FB选项D:由于四点A,B,C,D共线,故∣BD∣⋅∣BA∣=∣AC∣⋅∣CD∣∣xB-xD∣∣x11.BC【解析】因为cosnπ=(-1)",故an+1+cosn+1π=2an+cosnπ,an=2n选项C:取p=2025,q=2026即可;选项D：由于a2+aq=2ap,故所以2q+3故p+1=q,p为奇数,此时q2-102三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.100【解析】枚举法即可.此题本质是排序不等式.13.2【解析】】数学试题参考答案第2页(共6页)14【解析】建立如图坐标系,则P(1+cosα,1+sinα,2),面A₁BD的法向量不妨取n=12AC1=111,点P当且仅当α=π4时取VM-A1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)解:(1f'x=e所以：{f'(解得:a=1,b=0..⋯ 5分(2)因为fx=ex-1⋅xf'(x)＞0⇒x＞0或x＜-2;f'(x)＜0⇒-2＜x＜0 8分所以f(x)在-1＜x＜0单调递减,在0＜x＜2单调递增 9分所以.fminx=f0而f-1=1e2,f2=4e,所以.fmux(x)=即f(x)在区间[-1,2]上的值域为[0,4e]. 13分16.(15分)解:(1)如图,取A₁D中点P,连接PM,PN,由图可知:PN∥DC,AB∥DC,所以PN∥AB, 2分又PN=12DC=MB,所以四边形MPNB为平行四边形MP∥BN,又BN⊄平面A₁DM,MP⊆平面A₁DM,所以BN∥平面A₁DM 6分(2)由条件可得：AD=A1D=2,∠A1AD=又：AM=A1M=1,,所以又：AM=22AD,所以DM⊥AM,所以MA₁,MB,MD两两垂直⋯⋯7分如图,以点M为坐标原点,MD,MB,MA₁分别为x,y,z数学试题参考答案第3页(共6页) 8分则M(0,0,0),A₁(0,0,1),D(1,0,0),C(1,2,0),B(0,1,0), 9分所以A1C=1设平面A₁BD的法向量为n=x0y0z0,所以得x0-z0=0则n=(1,1,1)………………………..12分设A₁C与平面A₁DB所成的角为θ，则 14分所以A₁C与平面A₁DB所成的角的正弦值为³23 15分17.(15分)解:(1)由题意得:4sinC+4cosC-b-c=0,即asinC+acosC-b-c=0 1分由正弦定理得:sinA·sinC+sinA·cosC-sinB-sinC=0所以sinA·sinC+sinA·cosC-sin(A+C)-sinC=0所以sinA·sinC+sinA·cosC-sinA·cosC-cosAsinC-sinC=0因为0＜C＜π,所以sinC＞0,化简得:sinA-cosA=1 4分即：2sinA-由A为三角形内角，所以A-π4=π4所以A=π2.(2)由题意得:∠CBD=∠CAD,∠DCA=∠DBA,即DA=DC 8分所以S1=12令BC的中点为O，由条件可知：BC为△ABC的直径，O为△ABC外接圆圆心在△OCD中，由余弦定理得：CD2=O所以S2=12所以由.S1＞2S2可得:8sinB·cosB＞8(1-cosB)sinB化简得：cosB＞12,由0＜B⋯⋯所以：0＜B＜π3 18.(17分)解：记白球最先被全部取出的事件为A，最后取出红球的事件为B，最后取出黑球的事件为C，1PA|C(2)(i)显然事件B与事件C互斥,则A=BA+CA,·⋯ 4分PBA=PBPA数学试题参考答案第4页(共6页)PCA=P所以PA=整理得：PA=m2(ii)由(i)得:PA=kk+3所以：k=裂项求和得：k=1n下证：n-12+方法一：令f求导得：f由 -4x³-9x²+20x+28=(x-2)(-4x²-17x-14) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分因为x＞0,所以当0＜x＜2,f'(x)＞0,x＞2,f'(x)＜0即fmaxx=f所以：k=1n方法二：先证明结论：lnx≤xe对任意x令hx=lnx所以0＜x＜e时,h'(x)＞0,h(x)单调递增;x＞e时,h'(x)＜0,h(x)单调递减所以hmaxx=he=0,当n=1时,※左边:12+1当n=2时,※左边:1+14-35当n=3时,※左边:32+15-35=1110=下证：n2+1n+当n≥4时,n2所以：k=1n数学试题参考答案第5页(共6页)19.(17分)解:(1)设P(x,y),由条件可得: 2分x所以：x-22+y2(2)(i)当r=1时,圆O为:x2+y2=1,设切线为：:y=kx+t,k＞0,B(x₁,y₁),C(∴r=1=t1+k联立{y=kx+t∴x1+∴∣BC∣=3化简得：3k4-34k2(ii)当切线斜率存在时，设切线为：y=kx+∴∴