南省洛阳市2026届数学高一上期末联考试题含解析

南省洛阳市2026届数学高一上期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是A. B.C. D.2．若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.4．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.5．设，则等于A. B.C. D.6．已知，则直线ax+by+c=0与圆的位置关系是A.相交但不过圆心 B.相交且过圆心C.相切 D.相离7．数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为A. B.C. D.8．命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为（）A.∀x∈N，x3≤x2 B.∃x∈N，x3＞x2C.∃x∈N，x3＜x2 D.∃x∈N，x3≤x29．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则A. B.C. D.10．设，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．扇形半径为，圆心角为60°，则扇形的弧长是____________12．函数的单调递增区间为______.13．若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________14．已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1)是偶函数，则a＝_________，则f(x)的最大值为________.15．已知弧长为cm2的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为_____cm216．已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（1）若函数和函数的图象关于原点对称，求函数的解析式（2）若在上是增函数，求实数的取值范围18．计算下列各式的值：（Ⅰ)（Ⅱ）19．已知：，．设函数求：（1）的最小正周期；（2）的对称中心，（3）若，且，求20．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数，，均有；②；③对任意，（1）求的值，并判断的奇偶性；（2）对任意的x∈R，证明：；（3）直接写出的所有零点(不需要证明)21．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sinx，是正弦函数，在定义域上不是增函数；不符合题意；对于B，y＝tanx，为正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；对于C，y＝x3，是奇函数且在其定义域内单调递增，符合题意；对于D，y＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选C【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性2、B【解析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.【详解】∵，∴，根据题意结合正弦函数图象可得，解得.故选：B.3、B【解析】由题意可得，解不等式即可求出结果.【详解】关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，故选：B.4、B【解析】连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.【详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.5、D【解析】由题意结合指数对数互化确定的值即可.【详解】由题意可得：，则.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查对数与指数的互化，对数的运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、A【解析】∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝.∴圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝<2，∴直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交，又∵点(0,0)不在直线ax＋by＋c＝0上，故选A点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题7、B【解析】先利用累加法求出，再利用裂项相消法求解.【详解】∵，∴，又，∴∴，∴数列的前100项的和为：故选B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解析】根据含有一个量词命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p：∀x∈N，x3＞x2的是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以¬p：∃x∈N，x3≤x2故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9、C【解析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有，所以，所以，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题10、B【解析】因为，所以．选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据弧长公式直接计算即可.【详解】解：扇形半径为，圆心角为60°，所以，圆心角对应弧度为.所以扇形的弧长为.故答案为：12、【解析】首先将函数拆分成内外层函数，根据复合函数单调性的判断方法求解.【详解】函数分成内外层函数，是减函数，根据“同增异减”的判断方法可知求函数的单调递增区间，需求内层函数的减区间，函数的对称轴是，的减区间是，所以函数的单调递增区间为.故答案为：【点睛】本题考查复合函数的单调性，意在考查基本的判断方法，属于基础题型，判断复合函数的单调性根据“同增异减”的方法判断，当内外层单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时为减函数，有时还需注意定义域.13、4【解析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，扇形的面积为：4（cm2）故答案为4【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力14、①.②.【解析】根据偶函数f(－x)＝f(x)即可求a值；分离常数，根据单调性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.【详解】是偶函数，，则，则，即，则，则，则，当且仅当，即，则时取等号，即的最大值为，故答案为：，15、【解析】先求出半径，再用扇形面积公式求解即可.【详解】由已知半径为，则这条弧所在的扇形面积为.故答案为：.16、①②③④【解析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为，和时函数的图象，对于①：当时，，图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)化简f(x)解析式，设函数的图象上任一点，，它关于原点的对称点为，其中，，利用点在函数的图象上，将其坐标代入的表达式即可得g(x)解析式；(2)可令，将在转化为：，对的系数分类讨论，利用一次函数与二次函数的性质讨论解决即可【小问1详解】设函数的图象上任一点，关于原点的对称点为，则，，由点在函数的图象上，，即，函数的解析式为；【小问2详解】由，设，由，且t在上单调递增，根据复合函数单调性规则，要使h(x)在上为增函数，则在上为增函数，①当时，在，上是增函数满足条件，；②当时，m(t)对称轴方程为直线，（i)当－(1＋λ)＞0时，，应有t＝，解得，(ii当－(1＋λ)＜0时，，应有，解得；综上所述，18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（1）根据对数运算法则化简求值（2）根据指数运算法则，化简求值试题解析：（Ⅰ）原式.（Ⅱ）原式.19、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.【解析】（1）解：由题意，，（1）函数的最小正周期为；（2），得，所以对称中心；（3）由题意，，得或，所以或点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用．本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等20、（1）＝2，f(x)为偶函数；（2）证明见解析；（3），.【解析】(1)令x＝y＝0可求f(0)；令x＝y＝1可求f(2)；令x＝0可求奇偶性；(2)令y＝1即可证明；(3)(1)，是以4为周期的周期函数，由偶函数的性质可得，从而可得的所有零点【小问1详解】∵对任意实数，，均有，∴令，则，可得，∵对任意,，，∴f(0)＞0，∴；令，则；∴；∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令时，，∴是R上的偶函数；【小问2详解】令，则，则，∴，即；【小问3详解】(1)，且是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得，从而可得f(－1)＝(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零点为奇数，即f(x)所有零点为，.21、（1）A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}；（2）见解析.【解析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A；（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an<bn，可得an-bn≤-1．由题意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]，再利用等比数列的前n项和公式即