复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案

复合函数的定义域具体讲义及练习具体答案(精品)

复合函数一，复合函数的定义：

设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即

u二g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通

过U的联系成为X的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复

合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。

二，对中学复合函数的通解法综合分析法1、解复合函数

题的关键之一是写出复合过程例L

指出下列函数的复合过程。

(1)y=2-x解：

(1)y=2-x2是由y=u,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

(3)Vy=sin3x=(sinx)-3y=sin3x是由y=u-3,

u=sinx复合而成的。

(4)y=3cosl+x2是由y=3cosu,u=r,r=l+x2复合而

成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义,

看下例题:

例2：

已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域°

经典误会1:

解;

f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合

而成的。

由g(x),G(x)得：

u2=2x-ll

y=f(u2),u2=2x-llVf(ul)的定

义域为[1、2]1x<2

-92x-ll<-6即：

y=f(u2)的定义域为[-9、-6]f(2x-5)的定义

域为[-9、-6]经典误会2：

解：

Vf(x+3)的定义域为[1、2]

lx+3<2-2x<-1

-42x<-2-92x_5<_7

f(2x-5)的定义域为[-9、-7](下转2页)

注：

通过以上两例误会可得，解中学复合函数题会出错主要缘由是

对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出y通过u的

联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成

的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。

从以上误会中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)

的取值范围，从而导致错误。

而从定义中可以看出U仅仅是中间变量，即U既不是自变量

也不是因变量。

复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的X

的取值范围，即：

f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域

是x的取值范围。

正确解法:

解：f(x+3)是由y=f(ul),ul=xl+3(lx<2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成

的V1xl<24ul<

54u2<5

42x2-5<52x2<52(2)

y=sin3x(3)y=sin3x(4)y=3cosl-x2

f(2x-5)的定义域为［2、5］结论：

解中学复合函数题要留意复合函数的分层，即u为第一层，x

为其次层，一、二两层是不行以干脆建立关系的，在解题时，肯

定是同层考虑，不行异层考虑，若异层考虑则会出现经典误会1与

2的状况。

三、中学复合函数的题型(不包括抽象函数)题型一：

单对单，如:

已知f(x)的定义域为[T,4],求f(x2)的定义域。

题型二：

多对多，如：

已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义

域。

(下转3页)题型三:

单对多，如：

已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-l)的定义域。

题型四：

多对单，如：

已知f(2x-l)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

注：

通解法综合分析法的关键两步：

第一步：

写出复合函数的复合过程。

其次步：

找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关键)下面用

综合分析法解四个题型题型一：

单对单：

例3：

已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。

第1步：

写出复合函数的复合过程：

f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。

(由于要同层考虑，且U与X的取值范围相同，故可这样

变形)f(X)是由y=f(u),u=xl复合而成的。

Vf(x)的

定义域为[-1、4]第2步:

找出复合函数定义域的真止对应-1x1<4

即Tu<4

又LFX22

-1x22<4(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出)-2

<x2<2f(x2)

的定义域为(-2,2)结论：

此题中的自变量xl,x2通过u联系起来，故可求解。

题型三：

单对多：

例4：

已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-l)的定义域。

第1步：

写出复合函数的复合过程:

f(x)是由y=f(u),u=xl复合而成的。

f(2x-l)是由

y=f(u),u=2x2-l复合而成.第2步：

找出复合函数定义域的真正对应:

VOxll

Oul02x2-11

x21f(2x-l)

的定义域为L1］结论：

由此题的解答过程可以推出：

已知f(x)的定义域可求出y=［g(x)］的定义域。

下转4页题型四：

多对单：

如：

例5：

已知f(2x-l)的定义域为［0、1］,求f(x)的定义域。

第1步：

写出复合函数的复合过程：

f(2x-l)是由f(u),u=2xl-l复合而成的。

f(x)是由f(u),

u=x2复合而成的。

第2步：

找出复合函数定义域对应的真正值：

VOxll

02x12

-12x1-11

-lul-1x21

f(x)的定义域为［-1、1］结论：

由此题的解答过程可以推出：

已知y=f［g(x)］的定义域可求出f(x)的定义域。

小结：

通过视察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的

关键在于通过U这个桥梁将X1与X2联系起来解题。

题型二：

多对多：

如例6：

已知f(x+3)的定义域为口、2］,求f(2x-5)的定义域。

解析：

多对多的求解是比较困难的，但由解题型三与题型四的结论：

已知f(x)的定义域可求出y=f［g(x)］的定义域已知

产f［g(x)］的定义域可求出f(x)的定义域可以推出f(x)与

y=f［g(x)］可以互求。

若yl=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知yl=f(x+3)的定

义域，故这里f(x)成为了联系yl=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个

桥梁，其作用与以上解题中u所充当的蚱用相同。

所以，在多对多的题型中，可先利用起先给出的复合函数的

定义域先求出f(x),再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定

义域，具体步骤如下：

第一步：

写出复合函数的复合过程：f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而

成的。

f(2x-5)是由y2=f(u)

u=2x-5复合而成的。

其次步：

求桥梁f(x)的定义域：

Vlx24x+35

4u5设：

函数y3=(u),u二x

下转4页y3=f(x)的定义域

为［4、5］第三步：

通过桥梁f(X)进而求出y2=f(2x-5):f(x)是由y3=f(u),

u=x复合而成的,.Fx5

4u542x-55

x25f(2x-5)的定义域为：

［5］小结:

事实上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5),详参按例2

的解法。

四、将以上解答过程有机转化为中学的标准解答模式。

如：

例7：

已知函数y=f(x)的定义域为［0、1］,求函数尸f(x2+l)的

定义域。

解：

•・,函数f(x2+l)中的x2+l相当于f(x)中的x(即u=x2+l,

与u=x)0x2+11-1x20

x=0定义域为｛0｝小结：

本题解答的实质是以u为桥梁求解。

例8：

己知y=f(2x-l)的定义域为［0、1］,求函数y=f(x)的定义

域。

解：

由题意：

0x1(即略去其次步，先找出定义域的真正对象)。

-12x71(即求出u,以u为桥梁求出f(x)

视2x-l为一个整体(即u与u的交换)则2x-l相关于f(x)

中的x(即u与u的交换，f(x)由y=f(u),u二x复合而成，Tul,

-1x1)函数f(x)的定义域为［-1、1］总结：

综合分析法分了3个步骤①写出复合函数的复合过程。

②找出复合函数定义域所指的代数。

③找出解题中的桥梁(u或f(x)可为桥梁)浅析复合函

数的定义域问题一、复合函数的构成设()gxu是A到B的函

数，()fuy是'B到'C上的函数，且B'B,当u取遍

B中的元素时，y取遍C,那么(())fgxy就是A到C上的

函数。

此函数称为由外函数（）fxy和内函数（）gxu复合而成的

复合函数。

说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数（（））fgxy中x的

取值范围。

⑵x称为干脆变量，u称为中间变量，u的取值范围即为

（）gx的值域。

（3）））（（xgf与））（（xfg表示不同的复合函数。

例1.设函数53）（,32）（xxgxxf,

求））（（）），（（xfgxgf.⑷若）（xf的定义域为'M,则复合函

数））（（xgf中，Mxg）（.留意：

）（xg的值域'MM.例2：

⑴若函数）（xf的定义域是[0,1],求）21（fx的定义域；⑵

若）12（fx的定义域是[-1,1],求函数）（xf的定义域；⑶已

知）3（xf定义域是5,4,求）32（fx定义域.要

点1：

解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内

函数和哪个外函数复合而成的.解答：

（1）函数）211fx是由A到B上的函数xu21与B到C

上的函数）（ufy复合而成的函数.函数）（xf的定义域是[0,

1],B=[0,1],即函数210xu21的值域为[0,1x,

021x,即210x,函数)21(fx的定义域[0,21].⑵

函数）12（fx是由A至IJB上的函数12xu与B至IJC上的

函数）（ufy复合而成的函数.）12（fx的定义域是［T,1］,

A=［-l,1］,即一12312xx,11x,即lu的值

域是［-3,1］,）（xfy的定义域是［-3,1］,要点2：

若已知）（xf的定义域为A,则）］（［xgf的定义域就是不等式

Axg）（的x的集合；若已知）］（［xgf的定义域为A,则）（xf的

定义域就是函数）（xg）（Ax的值域。

（3）函数）3（xf是由A至ljB上的函数3xu与B到C

上的函数）（ufy复合而成的函数.）3（xf的定义域是［-4,

5）,A=［-4,5）即154即8x,33xxu的值

域B=［T,8）又）32（fx是由'A到'B上的函数32'

xu与B到C上的函数）（ufy复合而成的函数，而'BB,从

而32'xu的值域）8,1B8321x,1122x

2111x）32（fx的定义域是［1,211）.例3：

已知函数）（xf定义域是（a,b）,求）13（f）13

（f）（xxxF的定义域.解：

由题，bxabxal313,

3333111lbxabxa,当

33baball,即2bab时，）（xF不表示函

数；当33baball,即2ba时，）（xF表

示函数，其定义域为）31,31（ba.说明：

①已知）（xf的定义域为（a,b）,求））（（xgf的定义域的方

法:

已知）（xf的定义域为）（ba,,求））（（xgf的定义域。

事实上是已知中间变量的u的取值范围，即）（bau,

，）0（baxg,o

通过解不等式bxga）（求得x的范围，即为））（（xgf的定义

域。

②已知））（（xgf的定义域为（a,b）,求）（xf的定义域的

方法：

若已知））（（xgf的定义域为）（ba,,求）（xf的定义域。

事实上是已知复合函数））（（xgf干脆变量x的取值范围，

即）（bax,o

先利用bxa求得）（xg的范围，则）（xg的范围即是）（xf的定

义域，即使函数）（xf的解析式形式所要求定义域真包含）（xg的值

域，也应以）（xg的值域做为所求）（xf的定义域，因为要确保所求

外含数）（xf与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外

含数）（xf将失去解决问题的有效性。

换元法其实质就是求复合函数））（（xgf的外函数）（xf,假如外

函数）（xf的定义域不等于内函数）（xg的值域，那么）（xf就确定不

了））（（xgf的最值或值域。

例4：

已知函数xxxf1）（,）1（X求）（xf的值域。

分析：

令1）（xxu,）1（x；则有1）（2uuug,）

0（u复合函数）（xf是由1）（xxu与1）（2uuug复合而成,

而1）（2uuug,）0（u的值域即）（xf的值域，但

1）（2uuug的本身定义域为R,其值域则不等于复合函

数）（xf的值域了。

例5：

已知函数61g）3（222xxxf,求函数）（xf的解析式，定

义域及奇偶性。

分析：

因为61g）3（222xxxf定义域为⑹xx或6x}

令32xu,3u；则331g）（uuuf,且u3所

以3,331g）（xxxxf,定义域不关于原点对称，故）（xf是

非奇非偶函数。

1.在等比数列na中，已知3231891qaan,,,

则n为（）A.2B.3C.4D.52.设

na是公差为一2的等差数列，若5097741aaaa,

则99963aaaa等于（）A.82B.-

82C.132D.-1323.已知数列na中11a以后各项

由公式）2（）1（11nnnaann给出，贝lj4a（）A.74

B.-74C.47D.474.已知1,,,921aa成等差数列，1,,,

9321bbb成等比数列，则212）（baa等于（）A.98

B.98C.8D.-85.在3和9之间插入两个正数，使

前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是

45B.42()A.427C.9D.96.等差数列na的

前n项和为nS,若10173aa,则19s工

()A.190B.95C.170D.857.已知na是

等比数列，对0,naNn恒成立，且362645231aaaaaa,

贝Ij52aa等于()A.36B.6C.-6D.68.已

知等差数列na中，39aa,公差Od；nS是数列na

的前n项和，贝ij()A.56SSB.56SSC.60SD.56SS

9.己知一个等比数列首项为1,项数是偈数，其奇数项之和为85,

偶数项之和为170,则这个数列的项数为

A.2B.4C.8()D.1610.已知数列｛｝皿满意：

Ilog(2)nnan,定义使123.....kaaaak为整数

的数*()kN叫做希望数，则区间［1,2010］内全部希望数的和

A.2026M()C.2046B.2036D.2048

11.已知数列｛｝他、｛｝nb都是公差为1的等差数列，其首项分

别为la、1b,且lla+b=5,llab,++UabN(nN)、,贝ij

数列｝｛nba的前10项的和等于()A.65

B.75C.85D.9512.等差数列na的前n项和为nS,

已知2mll0nmiaaa,2138mS，则m()A.38

B.20C.10D.9.二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横

线上.13.已知数列前4项为4,6,8,10,则其一个通项公式为

_.14.已知1,al,a2,4成等差数列，1,bl,b2,b3,4

成等比数列，则b221aa.15.已知数列｝｛na的前

n项的和nS满意nSn)1(log2,则na=.16.甲

型hlnl流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞起先时2

个，记为02a,它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4

个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分

裂成10个并死去1个，，记n小时后细胞的个数为na,则na

二(用n表示).三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列｛｝na是

一个等差数列，且21a,55a.(1)求｛｝皿的通

项na；(2)求｛｝na前n项和nS的最小

值.18.(本小题满分12分)已知｛｝na是首项为1,

公差为1的等差数列；若数列nb满意11b,12n

annbb.(1)求数列nb的通项公式；(2)求

证：

221nnnbbb.参考答案一、选择题1.C；

解析：

等比数列na中，3231891qaan,,；,

31)32(89111nnnqaa,31)32()32(n4,31nn；

2.B；解析：

因为na是公差为一2的等差数

列，)2()2()2()2(9774199963dadadadaaaaa

821325023397741daaaa；3.A；解析：

因为)2()1(11nnnaann,所以21111)12

(2112aa,312121111)13(3123aa,

4741111)14(4134aa；4.D；解析：

•・・一9,al,a2,一1成等差数列，所以3814)

9(112aa；VI,,,9321bbb成等比数列，所

以3)1()9(2b；8)(212baa；5.A；解

析：

设中间两数为yx,,则92,y32xyx；解得

42729yx,所以445yx；6.B；解析：

1193171919()19()9522aaaaS；7.D；解

析：

0,naNn；36)(2252645231aaaaaaaa,

652aa；8.D；解析：

VOd,39aa,390,Oaa,且390aa,60a,

50a,70a；56SS:9.C；解析：

设该等比数列的公比为q,项数为2n,则有SqS偶奇,

q=17085=2；又212(1)85170InnaqSSSq偶奇，

221255n，2n=8,故这个数列的项数为8；10.A；解

析：

llog(2)nnan,由12kaaa为整数得23(l)21cg3

log4log(2)log(2)kkk为整数，设为m,则mk22

,22mk；因为2048211,区12010间，内全

部希望数为22,,22,22,2210432,其和

20262222222210432M；11.C；解析：

应用等差数列的通项公式得11111111,1;1(1)

12523;nnnbnaanbbnaababnabnnn

数列{}nba也是等差数列，且前10

项和为10(413)852；12.C；解析：

因为na是等差数列，所以112mmmaaa，由

2mll0mmaaa,得：

2ma—2ma=0,所以ma=2,又2138mS,即2))(12

(121maam=38,即(2m—1)2=38,解得m=10.二、

填空题13.2(l)nan；解析：

该数列的前4项分别可写成：

)14(2),13(2),12(2),11(2,所以数

列的通项公式为2(l)nan；14.25；解析：

VI,al,a2,4成等差数列，12145aa；VI,bl,

b2,b3,4成等比数列，22144b,又2210bq,22b

；b221aa25；15.12n；解析：

由nSn)1(log2得12nnS21nnS1121

laS1111(21)(21)222nnnnnnnnaSS

na=12n；16.21n；解析:

按规律，1413a,22315a，32519a

121nnaa；112(l)nnaa即Ina

是等比数列，其首项为2,公比为2,故12nna，na

=21n.(本题也可由1321,a22521a,33921a

,,猜想出na=21n.)三、解答题17.解：

(1)设na的公差为d,由已知条件，11145adad

，解出13a,2d所以

1(1)25naandn.6分

(2)21(1)42nnnSnadnn2(2)4n.所以2n时，

nS取到最小值

4*

12分18.解：

(1)由已知得nan.从而12nnnbb,即12nnnbb.

(2112211()()Onnnnnbbbbbbbb

121212222121nnnn(6

分)(2)因为221221(21)(21)(21)nnnnnnb

bb

222222(2221)(221)20nnnnnn

221nnnbbb

(12分)19.解:

(1)由已知得3322nnSa当2n时，

113322nnSa；113322nnnnSSaa,即

13322nnnaaa,当2n时，13nnaa；数列{}na为等比

数列，且公比3q；(4分)乂当

In时，113322Sa,即113322aa,13a；3nna.

(6分)(2):33loglog3nnan,

3311111loglog(1)Innnbaannnn；

(9分)111(1)(223

(12分)nb的前n项和

11111)()()134111nnTnnnn.

1.已知等比数列}{na的公比为正数，且3a9a=225a,2a=1,

则la=A.21B.22C.2D.2【解析】设公比

为q,由已知得22841112aqaqaq,即22q,又因为

等比数列｝｛na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选

B3.公差不为零的等差数列｛｝皿的前n项和为nS.若4a是

37aa与的等比中项，832S,则10S等于A.18

B.24C.60D.90【解析】由

2437aaa得2111(3)d(2)(da6)daa得1230ad,再

由81568322Sad得1278ad则12,3da,

所以1019010602Sad,.故选C4.设nS是等差数列na

的前n项和，已知23a,611a,则7S等于()A.13

B.35C.49D.63【解

析】172677（）707（311）49.222aaaaS故选C.或由

21161315112aadaacdd,716

213.a所以1777（）7（113）49.22aaS故

选C.5.等差数列Ona的前n项和为nS,且3s=6,la二4,

则公差d等于A.1B53C.-2

D3［解析］•・•31336（）2Saa且3112=4d=2daaa.

故选C6,已知na为等差数列，且7a-24a=-1,3a=

0,则公差d=A.-2B.-12C.12D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2（a3+d）=2d=-ld=-127.

（等差数列｛na｝的公差不为零，首项la=1,2a是la和

5a的等比中项，则数列的前10项之和是A.90

B.100C.145D.190【解析】设公差为

d,贝4）41（1）1（2dd.d0,解得d=2,IOS=100

然而只就331g）（xxxf解析式而言，定义域是关于原点对称

的，且）（）（xfxf,所以是奇函数。

就本题而言）（“就是外函数其定义域确定于内函数32xu,

3u的值域，而不是外函数）（uf其解析式木身确定的定义域了。

2.求有关复合函数的解析式，例6.①已知，1）（2

xxf求）1（xf；②已知1）101（2xxf,求）（xf.例

7.①已知xxxfl）1（，求）（xf；②已知

221）1（xxxxf，求）1（xf.要点3：

已知）（xf求复合函数）］（［xgf的解析式，干脆把）（xf中的X

换成）（xg即可。

已知）］（［xgf求）（xf的常用方法有：

配凑法和换元法。

配凑法就是在）］（［xgf中把关十变量X的表达式先凑成）（xg整

体的表达式，再干脆把）（xg换成X而得）（xfo

换元法就是先设txg）（,从中解出x（即用t表示X）,再

把X（关于t的式子）干脆代入）］（［xgf中消去X得到）（tf,最

终把）（tf中的t干脆换成X即得）（xf,这种代换遵循了同一函数

的原则。

例8.①已知）（xf是一次函数，满意172）1（2）

1（3xxfxf,求）（xf；②已知xxfxf4）1（2）（3,

求）（xf.要点4：

⑴当已知函数的类型求函数的解析式时，-一般用待定系数

法。

⑵若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思

想方法求函数的解析式。

已知）（xf满意某个等式，这个等式除）（xf是未知量外，还出

现其他未知量，如）（xf、）l（xf等，必需依据已知等式再构造

出其他等式组成方程组，通过解方程组求出）（xf。

二、练习：

1已知xxxf2）12（2求）122（f和）322

（f.解：

令12212x,设2x,,22222）2（）122（f2

令32212x,设12x,1222223）12（2）