2026高考数学一轮复习-7.4空间直线、平面的垂直【课件】

第4节空间直线、平面的垂直[课程标准要求]1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系,归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.直线与平面垂直(1)定义一般地,如果直线l与平面α内的

直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.任意一条定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条

直线垂直,那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线

.⇒a∥b相交(2)判定定理与性质定理平行2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和

所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是

,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是

的角.(2)范围:[0,].它在平面上的射影直角0°3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角:从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作

的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.两个半平面垂直于棱二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是

,就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理直二面角定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的

,那么这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直⇒l⊥α(2)平面和平面垂直的定义垂线1.三种垂直关系的转化线线垂直

线面垂直

面面垂直2.直线与平面垂直的常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.3.三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC⇔P在底面ABC上的射影为△ABC的外心O,PA⊥BC,PB⊥AC⇔P在底面ABC上的射影为△ABC的垂心H,P到棱AB,BC,CA的距离相等⇔P在底面ABC上的射影为△ABC的内心I.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)直线l与平面α内的两条直线都垂直,则l⊥α.(

)(2)若一条直线与一个平面内的某条直线不垂直,那么这条直线一定不与这个平面垂直.(

)(3)直线与平面所成角为α,则0°<α≤90°.(

)(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.(

)×√××2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(

)A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC解析:因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,所以OA⊥平面OBC.故选C.√3.下列命题中错误的是(

)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β√解析:对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,其他选项均是正确的.故选D.4.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,则下列关系不正确的是(

)A.PA⊥BC B.BC⊥平面PACC.AC⊥PB D.PC⊥BC解析:因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,故A正确;因为C为圆上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC,因为PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,故B正确;√因为AC⊥BC,若AC⊥PB,又BC∩PB=B,则AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,与AC⊥PA矛盾,故AC与PB不垂直,故C错误;因为BC⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,所以PC⊥BC,故D正确.故选C.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一直线与平面垂直的判定与性质[例1](2024·四川绵阳模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF=AB,PH为△PAD中边AD上的高.求证:(1)PH⊥平面ABCD;证明:(1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中边AD上的高,所以PH⊥AD.因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(2)EF⊥平面PAB.证明:(2)如图,取PA的中点M,连接MD,ME.因为E是PB的中点,所以ME=AB,ME∥AB.又因为DF=AB,DF∥AB,所以ME=DF,ME∥DF,所以四边形MEFD是平行四边形,所以EF∥MD.因为PD=AD,M是PA的中点,所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD,DM⊂平面PAD,所以MD⊥AB.因为PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.(1)证明线面垂直的常用方法及关键①证明直线和平面垂直的常用方法:a.判定定理;b.垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);c.面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);d.面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β)②证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.(2)线面垂直性质的应用①垂直面内的所有线(证线线垂直);②过垂线作垂面(证明面面垂直).[针对训练](2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F-EBC的体积;(1)解:如图,取BC的中点为M,连接EM,由已知可得EM∥AB,AB=BC=2,CF=1,EM=AB=1,AB∥A1B1,由BF⊥A1B1得EM⊥BF,又EM⊥CF,BF∩CF=F,所以EM⊥平面BCF,(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.(2)证明:连接A1E,B1M,由(1)知EM∥A1B1,所以ED在平面EMB1A1内.在正方形CC1B1B中,由于F,M分别是CC1,BC的中点,所以由平面几何知识可得BF⊥B1M,又BF⊥A1B1,B1M∩A1B1=B1,所以BF⊥平面EMB1A1,又DE⊂平面EMB1A1,所以BF⊥DE.[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,PA=AB=a,PB=a,E为CD的中点,F为PC的中点.(1)求证:PA⊥平面ABCD;考点二平面与平面垂直的判定与性质证明:(1)因为PA=AB=a,PB=a,所以PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PA⊥平面ABCD.(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;证明:(2)因为底面ABCD是菱形且∠ABC=60°,所以△ACD为正三角形,又E为CD的中点,所以AE⊥CD,因为AB∥CD,所以AE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以AE⊥PA.因为PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB,又AE⊂平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.(3)证明:平面BFD⊥平面ABCD.证明:(3)设AC∩BD=O,连接FO(图略),因为F为PC的中点,则FO∥PA.因为PA⊥平面ABCD,所以FO⊥平面ABCD,又FO⊂平面BFD,故平面BFD⊥平面ABCD.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.②面面垂直的判定定理(l⊥α,l⊂β⇒α⊥β)(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.[针对训练]在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥P-BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥P-BCDE的体积;(1)解:如图所示,取DE的中点M,连接PM,由题意知,PD=PE,所以PM⊥DE.又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM⊂平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM为四棱锥P-BCDE的高.(2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE.(2)证明:取BC的中点N,连接PN,MN,则BC⊥MN,因为PB=PC,所以BC⊥PN,因为MN∩PN=N,MN,PN⊂平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因为PM⊂平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE⊂平面BCDE,且BC与DE是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因为PM⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE.[例3](2024·河北石家庄模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,AA1=.(1)求证:B1C∥平面A1BM;考点三平行、垂直关系的综合应用(1)证明:连接AB1与A1B交于点O,连接OM,在△B1AC中,M,O分别为AC,AB1的中点,所以OM∥B1C,又OM⊂平面A1BM,B1C⊄平面A1BM,所以B1C∥平面A1BM.(2)求证:AC1⊥平面A1BM;(2)证明:因为AA1⊥底面ABC,BM⊂平面ABC,所以AA1⊥BM.又M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.因为AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以BM⊥平面ACC1A1,又AC1⊂平面ACC1A1,所以BM⊥AC1.因为AC=2,所以AM=1.又AA1=,在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,所以∠AC1C=∠A1MA,即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1,又BM∩A1M=M,BM,A1M⊂平面A1BM,所以AC1⊥平面A1BM.(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面ACC1A1?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.平面AC1N⊥平面AA1C1C.证明如下:设AC1的中点为D,连接DM,DN,因为D,M分别为AC1,AC的中点,又N为BB1的中点,所以DM∥BN且DM=BN,所以四边形BNDM为平行四边形,故BM∥DN,由(2)知BM⊥平面ACC1A1,所以DN⊥平面ACC1A1,又DN⊂平面AC1N,所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.[针对训练](2024·黑龙江哈尔滨期末)如图1,在平行四边形ABCD中,AC⊥BC,AC=BC=1,现将△ADC沿AC折起,得到三棱锥D′-ABC(如图2),且平面AD′C⊥平面ABC,点E为棱D′C的中点.(1)求证:AE⊥平面D′BC;(1)证明:在▱ABCD中,可得AD=BC=AC,则AD′=AC,因为E为侧棱D′C的中点,所以AE⊥CD′,因为AC⊥BC,平面AD′C⊥平面ABC,平面AD′C∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面AD′C,因为AE⊂平面AD′C,所以AE⊥BC,因为BC∩CD′=C,BC,CD′⊂平面D′BC,所以AE⊥平面D′BC.(2)在∠ACB的角平分线上是否存在点F,使得D′F∥平面ABE?若存在,求D′F的长;若不存在,请说明理由.(2)解:取AB的中点O,连接CO并延长至点F,使CO=OF,连接AF,D′F,BF,OE,因为BC=AC,所以射线CO是∠ACB的角平分线.又因为点E是CD′的中点,所以OE∥D′F,因为OE⊂平面ABE,D′F⊄平面ABE,所以D′F∥平面ABE,因为AB,FC互相平分,故四边形ACBF为平行四边形,则BC∥AF,因为BC⊥平面AD′C,AD′⊂平面AD′C,所以AD′⊥BC,所以AF⊥AD′,又因为AF=BC=1,AD′=AD=BC=1,故D′F=.利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程,缺一不可.1.几何法求线面角线面角是斜线与平面所成的角,首先作出面的垂线,得出斜线在面内的射影,从而得出斜线与平面所成的角,转化为直角三角形求解.微点提能9几何法求线面角与二面角2.几何法求二面角作二面角的平面角的常用方法有:(1)定义法:根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点;(2)垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角;(3)垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线,得到垂足B,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角最基本、最重要的方法.[典例1]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)求证:PA⊥平面PCD;(1)证明:取棱PC的中点N,连接DN,由题意可知,DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA,又PA⊥CD,CD∩DN=D,CD,DN⊂平面PCD,则PA⊥平面PCD.类型一直线与平面所成的角(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.(2)解:连接AN,由(1)可知,DN⊥平面PAC,则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,求直线与平面所成的角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.[拓展演练]如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,且AD∥BC,AB=ED=2BC=2AF=2,将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE,AC.(1)证明:AC∥平面BEF;(1)证明:取ED的中点H,连接HA,HC,HF,如图.由题意可知AH∥EF,且四边形BCHF为平行四边形,则HC∥FB,可得AH∥平面EFB,HC∥平面EFB,又AH∩HC=H,所以平面EFB∥平面AHC,又AC⊂平面AHC,所以AC∥平面EFB.(2)若EC=,求直线BF与平面EBC所成角的正弦值.(2)解:在平面DEC内作HM⊥EC于M,如图.由(1)得BF∥HC.又因为在翻折过程中,始终有AD⊥ED,AD⊥DC,又ED∩DC=D,所以AD⊥平面EDC,又HM⊂平面EDC,所以AD⊥HM,又AD∥BC,所以BC⊥HM,又EC∩BC=C,所以HM⊥平面EBC,从而HC在平面EBC内的射影为MC,因此∠ECH为HC与平面EBC所成的角,[典例2]在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=90°,∠BCA=∠CDA=30°,AB=1,AD=4,PA⊥平面ABCD,E,F分别为PD,PC的中点.(1)求证:平面PAC⊥平面AEF;(1)证明:因为∠ABC=90°,∠BCA=∠CDA=30°,AB=1,AD=4,所以AC=2,在△ACD中,由余弦定理可得DC=,所以AC2+DC2=AD2,所以CD⊥