2024-2025学年山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）月考数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）月考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一元二次方程，-2x=0的解是（）

A.—3»①2=1B.41=2,a：2=0

C.叼=3,X2=-2D.①1=—2,x-2=-1

2.已知平行四边形力以刃，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A.LA=ZBB.Z4=zcC.AC=BDD.ABLBC

3.已知一元二次方程/一l（h+24=0的两个根为©和及，则为•①2的值为（）

A.10B.-1（）C.24D.-24

4.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线相等C.对边相等D.对角线互相平分

5.若关于X的一元二次方程（a+2）/+N+Q2-4=0的一个根是z=0，则a的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.-

2

6.对于实数a"定义运算如下：〃☆〃=向2一”工例如3^2=3x22-3x2=6,则方程l^z=2

的根的情况为（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

7.如图，在矩形月8c。中，对角线力C,8。相交于点O,AABD=60°»48=2,

则,4C的长为（）

A.6

B.5

C.4

D.3

第I页，共18页

8.如图，在正方形488中，4E平分NBAC交BC于点E,点F是边上一点,连接。尸，若BE=4F，

则NCOF的度数为（）

A.45°B.60°C.67.5°

9.如图，在菱形48co中，P是对角线/C上一动点，过点尸作PE15C

于点E.PFL13于点F.若菱形48co的周长为20,面积为24,则

PE+PF的值为（）

A.4

C.6

10.如图，在菱形力8。。中，/A=60°，点E，歹分别在边力从BC上,AE=BF=2,△OEF的周长

为3，5，则/。的长为（）

A.y/GB.2^3C.乃+1D.2通-1

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.关于x的一元二次方程k/+2・一1=1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

12.已知/—：r=0,/_3/+/一3=0，则x的值为.

13.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽.每株脚钱三

文足，无钱准与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3

第2页，共18页

文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽

的数量为x株，则可列分式方程为.

14.如图，在△AB。中，/ACB=90°，N4=54°，。是的中点，则=____°.B

15.以正方形ABCD的边AD作等为4ADE,则N3EC的度数是

16.如图，菱形/8CQ中，。是两条对角线的交点，过点。的三条直线将菱形分'g

成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为5,一条对角线为8时，则阴影部分/

的面积为

三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

解下列方程

(1)3/-5]-2=0(配方法)：

(2)3/=2(2—乃(公式法)；

⑶算(①+1)=-3(t+1)；

⑷3/+2工一1=0.

18.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0.

(1)求证：无论〃，取何值，方程都有两个不相等的实数根；

⑵如果方程的两个实数根为①1,42,且*+4-1112=9,求〃，的值.

19.(本小题8分)

阅读材料，回答下列问题：

利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题.

【初步思考】观察下列式子：

第3页，共18页

(1>2++2=(/+4c+4—4)+2=(n+2产-4+2=(n+2)2-2

(x+2)220

«+4①+2=(④+2[-22-2

.•.代数式/+m+2的最小值为一2：

(2)一/+笈+3=-(x2一切+3=-(，_4a；+4-1)+3=-2y+4+3=-(x-2)2+7

-2)2《0

.•T+森+3=-(x-2产+747

了.代数式―，+4①+3的最大值为7.

【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：

(1)代数式«_4]+1的最小值为：

(2)已知4=2/—3Z+2；B=X2-X-\^请比较力与5的大小，并说明理由.

20.(本小题8分)

如图，已知点E是口ABCD中8c边的中点，连接花并延长交。。的延长线于点F,连接AC,BF,AF=BC.

(1)求证：四边形48FC为矩形；

(2)若△AFO是等边三角形，且边长为6,求四边形力8FC的面积.

21.(本小题8分)

如图①，点E为正方形4内一点，乙4EZ?=90°，将绕点3按顺时针方向旋转90。，得到

△03E'(点A的对应点为点。).廷长AE交CE'干点、F,连接DE.

第4页，共18页

(1)试判断四边形BE'PE的形状，并说明理由；

(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段。尸与FE的数量关系并加以证明;

(3)如图①，若43=15，CF=3,请直接写出的长.

第5页，共18页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：«—2z=0，

x(x-2)=0,

则x=。或n-2=0,

解得：=2,X2=0.

故选：B.

直接提取公因式”,进而分解因式解方程即可.

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：4、NA=N〃，乙4+/3=180"，所以NA=NB=90°，可以判定这个平彳丁四必形为矩形,

不符合题意；

B、Z4=NC不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形48C。是矩形，不符合题意；

力、ABVBC^所以/3=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意.

故选：B.

对于选项4由平行线的性质可得乙4+NB=180。，结合/4=/8可得乙4=/。=90°,再根据矩形的

判定定理判断即可；

对于选项&N4=NC表示这个平行四边形的对角相等，进而判断；

对于选项C,4。=30表示这个平行四边形对角线相等，即可判定：

对于选项力，4313。表示这个平行四边形四个角都是直角.

本题考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：•.•一元二次方程/一10N+24=0的两个根为•和a=bb=-10,c=24,

c24…

x^x-2=-=—=24,

a1

故选：C.

第6页，共18页

根据两根之枳等于-，即可解答本题.

a

本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之积等于工

a

4.【答案】B

【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，

故选：B.

利用矩形与菱形的性质即可解答本题.

本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质.

5.【答案】A

【解析】解：•.•关于x的一元二次方程(。+2)]2+，+°2-4=0的一个根是1：=0,

/.a2—4=0且Q+2/0>

解得：a=2,

故选：A.

利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得02—4=。且Q+2/0,解得a的值即可.

本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

6.【答案】D

【解析】解：•./☆£=2,

/.1-x2-l*x=2>

/一/一2=0，

A=(-1)2-4x1x(-2)=9>0,

方程=2有两个不相等的实数根.

故选：D.

根据运算“☆”的定义将方程=2转化为一般式，由根的判别式△=9>0,即可得出该方程有两个

不相等的实数根.

本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当△〉()时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关

键.

7.【答案】C

【解析】解：•.•四边形48c。为矩形，对角线4C,8。相交于点。，48=2，

OA=OB=OC=OD，

AABD=60%

第7页，共18页

AOAB为等边三角形,

OA=OB=AB=2»

OC=OA=2,

/.AC=OA+OC=4,

故选:C.

根据矩形性质得04=03=0C=。0,再根据乙43。=60°得△CM3为等边三角形，则

0A=0B=AB=2,由此可得的长.

此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质

是解决问题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：•.•四边形力4CQ是正方形，

AD=nA,NZ)4F=N4BE=90。，

在arMF和中，

'AD=BA

<^DAF=^ABE,

AF=BE

：,ADAF^AABE(SAS),

AADF=/LBAE>

•••人£平分/88。，四边形/"CD是正方形，

.,.NB4E=：miC=22.5。，Z4DC=90%

ZAPF=22.5%

£CDF=(ADC-AADF=90°-22.5°=67.5°，

故选：C.

根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到NADF的度数，从而可以求得NCDF的度数.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出/4O厂的度数.

9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.连结BP,如图，根据菱

形的性质得34=3。=5,S△，Sc=菱形.seo=12,然后利用三角形面积公式，由

第8页，共18页

S"BC=SAPAB+S"BC，得到gx5xPE+：X5X。尸=12,再整理即可得到PE+PF的值.

【脩答】

解：连结8P,如图,

•.•四边形力8c。为菱形，菱形48CZ）的周长为20,

/.BA=BC=5，SEABC=AI3CD=12,

SAABC=S&PAB+S〉PBC，

：x5xPE+：x5xPF=12，

42

24

/.PE+PF=—,

故选：B.

10.【答案】c

【解析［解：如图，连接4。，作。H14B，垂足为〃，

•.•四边形力4CO是菱形，

：.AB=AD^AD//BC,

N4=60°，

/.△A3。是等边三角形，Z.ABC=180°-乙4=120%

AD=BD，ZABD=ZA=/ADB=60%

£DBC=/.ABC-Z.ABD=120°-60°=60%

"E=BF，

•.^ADE^^BDF(SAS),

•,DE=DF,NFDB=/ADE,

•.£EDF=ZEDB+NFDB=ZEDB+ZADE=AADB=60°,

•.ZXOEF是等边三角形，

.•Z\OEF的周长是3遍，

•.DE=述，

设AH=x>则HE=2—n,

：AD=BDfDHVAB^

•.^ADH==30°,

0.AD=2x»DH=x/3x»

第9页，共18页

在RtZXOHE中，DH2+HE2=DE2^

.•.（，^）2+（2一乃2=（气）2,

解得：出=吗生（负值舍去），

/.AD=2z=1+瓜'

故选：C.

连接8。，作。H148,垂足为从先证明△43。是等边三角形，再根据S4S证明△4OE丝ABOF,

得到△OEF是等边三角形，根据周长求出边长。£=n，设.4H=z，则HE=2--DH=瓜4

在RtADHE中，根据勾股定理列方程求出人进而得到40=2二的值.

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是

构造直角三角形，根据勾股定理求出AH.

11.【答案】k>一1且Ar0

【解析】解：•.•关于x的一元二次方程k，+2z—1=1有两个不相等的实数根，

22-4A:x（-1）>0且k声0,

解得：k〉—l且k#0,

.•」,的取值范围是k>一1且k#0.

故答案为：k>—l且行”）.

根据关于x的一元二次方程"2+2，-1=1有两个不相等的实数根，得出△〉（）且人：#0,解不等式即可.

本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式：

式子△=b2-4QC是一元二次方程。/+法+c=0（。我0）根的判别式，A>0o方程有两个不等的实数根;

△二0。方程有两个相等的实数根：A<00方程无实数根.

12.【答案】3

【解析】解：—①=o,

/./=］）（），

,/x2—3y2+I—3=0,

/一3c+E-3=0，

即/-2工-3=0，

解得：3=3,12=-1（舍去），

即工的值为3,

故答案为：3.

第10页，共18页

由已知条件可得/=N,将其代入/_3/+N_3=0中整理后解一元二次方程求得符合题意的X的值即

可.

本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于X的方程是解题的关键.

13.【答案】—=3(J;-1)

X

【解析】解：设这批椽的数量为》•株，

由睡意可得：—=3(z-l),

X

故答案为：6/。=3(工_1).

x

根据题意可知：X株需要6210文，(z—1)株的运费=一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程.

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

14.【答案】36

【解析】解：在△力8。中，乙4cB=90。，ZA=54°，

."=36°，

•「D为线段45的中点,

:.CD=BD,

：,ABCD=ZB=36°.

故答案为：36.

由“直角三角形的两个锐角互余”得到/8=36°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到

CD=BD，则等边对等角，即/8。。=NZ?=36°.

本感考查了直角三角形的性质.解题关键是熟练掌握在直角一:角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

15.【答案】30°或150°

【解析】解：如图1,

•.•四边形力8c。为正方形，ZX/IDE为等边三角形，

AB=BC=CD=AD=AE=DE,

ABAD=AABC=Z.BCD=AADC=90%AAED=/.ADE=ADAE=60。，

第11页，共18页

.•.NBAE=NODE=150°，又A3=4E，DC=DE，

Z4EB=ZCED=15°»

则£BEC=NAED-AAEB-ICED=30°.

如图2,

B

图2

a/ioE是等边三角形，

：.AD=DE,

•.•科边形力SCO是正方形，

;.AD=DC,

：.DE=DC，

:.£CED=々ECD,

:"CDE=/.ADC-/.ADE=90°-60°=30°，

：.LCED=2ECD=|x(180°-30°)=75°,

LBEC=360°75°x260°=150°.

故答案为：30°或150°.

分等边aAOE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是

解题的关键.

16.【答案】12

【解析】解：连接/9、BD,如图所示：p~r——7~77

/,、/.//

•.•四边形力88是菱形，/

/.OB=\/AB2-OA1=V52-42=3,

/.BD=2OB=6，

第12页，共18页

菱形ABCD的面积=，BD=-x8x6=24,

•■•0是菱形两条对角线的交点，

.•.阴影部分的面积=：x24=12：

故答案为：12.

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形

的面积的一半解答.

本题考查了菱形的性质，中心对称以及勾股定理等知识；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱

形的面积的一半是解题的关键.

17.【答案】解:(1)3/-5工一2=0,

252

X--x=-»

33

95/5、22z5xo

/一铲F+(声

印1，5,249

即=36>

5.7

所以g=一；，£2=2;

(2)方程化为一般式为3/+21一4=0,

a=3>b=2,c=-4

.•.△=22-4x3x(—4)=52,

-2±2y13

/.X=---------=---------，

2x33

-1+715--V瓶

."<£1=---Z---'①2=----Z---

OO

⑶1(1+1)=-3(z+1),

x(x+1)+3(x+1)-0,

(x+l)(x+3)=0,

/+1=0或£+3=0,

所以=X2=-3;

(4)3/+2z-1=0,

(t+1)(3JT-1)=0,

第13页，共18页

n+1=0或3z-1=0,

所以为二-1,6=；.

J

【解析】(1)先利用配方法得到(1-力2=然后利用直接开平方法解方程；

636

(2)先化为一般形式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(3)先移项，再利用因式分解法把方程转化为，+1=0或z+3=0,然后解两个一次方程即可；

(2)先化为一般形式，再利用因式分解法把方程转化为①+1=0或3/-1=0,然后解两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程•因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简

便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法和公式法.

18.【答案】解：(1)/一(m+2)£+m-l=0,

这里Q=1,b=-(m-I-2),c=m-1,

A=62-4QC

=\-(m+2)]2-4x1x(m-1)

=m24-4m4-4-4m4-4

=m2+8.

,/rn220，

J.△>0.

无论m取何值，方程都分两个不相等的实数根：

(2)设方程/—(丁〃+2)x+m—1=0的两个实数根为3,，2,

则为+&=m+2,x\x-2=m-1.

—X1X2=9，即(ti+Xi)2—3cli2=9，

.・.(m+2产-3(m-1)=9.

整理，得"】2+加一2=0.

(?n+2)(m-1)=0.

解得7n1=-2,7712=1.

.•.m的值为一2或L

【解析1(1)先确定a、b、c,再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；

(2)先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于〃[的方程，求解即可.

第14页，共18页

本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题

的关键.

19.【答案】-3

【解析】解：⑴由题意得，」-4「+1=(£-2)2-3,

又•.•(/-2)220,

/./-4①+1=(N-2产-3》-3.

.,.当z=2时，/—4c+1有最小值为一3.

故答案为：一3；

(2)4〉3,理由如下:

由题意得，A-B=2x2-3x-^-2-(x2-x-l)

=2T2—3T+2—T2+T4-1

=/一2E+3

=\x-I)2-1-2,

又•.•(£-1)220,

.-./1-B=(X-1)2+2^2>0.

/.A>B.

⑴依据题意，由/-4/+1=(1-2)2-3,又对于任意的x都有(N-2)220,故

/_m+1=(l_2)2-32一3.,进而可以判断得解；

(2)依据题意，作差从一。=2/-3c+2-(，一/-1)=(①一1产+2,又对于任意的x都有Q-1产20,

进而可以判断得解.

本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方的性质等，解题时耍熟练掌握并能灵活运用是关键.

20.【答案】(1)证明：•.•四边形/44CO是平行四边形，

：.AB=CD>AB//CD.

：.2BAE=2CFE,

•.•点£是048。中8c边的中点，

BE=CE，

•/LAE13=NFEC,

第15页，共18页

^ABE^^FCE(AAS),

AB=FC，

vAB//FC,

.•.四边形48"?是平行四边形，

又；AF=BC^

二.平行四边形力AR?为矩形；

(2)解:由⑴得：四边形力BFC为矩形,

.•24CF=90。，

•.・ZX/FO是等边三角形，

AF=DF=G,CF=^DF=3,

AC=y/AF2-CF2=\/62-32=34，

二.四边形ABFC的面积=4CxCF=3\/3x3=973.

【解析】(1)证4/8后名/\「。£(445),得4B=FC，再由43〃FC证四边形力8R2是平行四边形，

然后由AF=3c即可得出结论；

(2)由矩形的性质得N47F=9()。，再由等边三角形的性质得4F=DF=4，CF=^DF=3,然后由勾

股定理求出4c=3通，即可求解.

本题考查了矩形的判定弓性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质

以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明△43E丝是解题的关键.

21.【答案】解：(1)四边形BE'PE是正方形.

理由如下：如图1,

由旋转得，NE'=