《相似》尖子生练习-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

专题相似尖子生练习

一、填空题

1.我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是

小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画力。(PM1MN)的示意图，设油画人力与墙壁的夹角

Z.PAD=a,此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置点E处，且

BE1A0.己知油画的长度AD为100C7几

⑴乙48。的度数为：(用含a的式子表示)

(2)已知小然到墙壁PM的距离AB=250cm,求油画顶部点。到墙壁PM的距离；

(3)当油画底部A处位置不变，油画AD与增壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最

佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM?(直接回答即可)

二、解答题

2.如图，在△力8c中，8c=10,D,E分别是边8C,4c的中点，连接A。，BE,若AD工BE,且力D=

迦，求△ABC的面积.

3.如图，在匕48CD中，AB=10,BC=12,点、E,尸分别是边A3,4c上的点，连接。E,AF,DE^AF

相交于点。，月NB+NEO尸=180°,若OD=2OE,求4尸的长.

D

BFC

4.在直角三角形木板A8C中，△4=90。，AB=6,4c=8.木板从BC边上的点。处沿垂直于BC边的直

线折断，折痕交人C于点E.现从四边形AEO8中以如图所示方式锯下矩形人E"/或者矩形EFGD

⑴比较矩形4日〃和矩形EFGD的面积的大小；

(2)若矩形AE/〃的面积与从△EDC中锯下的面积最大的矩形的面积恰好相等，求CD的长.

5.如图，正方形人8CO的对角线相交于点O,将4。8。绕点B逆时针旋转得到△O'BC',连接ON,CD.

(1)求号的值；

(2)若正方形ABC。的边长为I,当点O',C1,加在同一条宜线上时，求。勿的长.

6.如图①，在△48C中，〃BC=90。，点。为△力BC外一点，连接4。交AC于点F,以87)为边作等边

△DBE使得点E在边8c上，DE交AC于点G,AABD=AACB.

⑴求证：〜△/)”；

(2)如图②，连接人。，CD,点，为4。边上一点，且。。2=连接。“，若力8=4,BD=3/3,

求线段产〃的长.

7.克罗狄斯・托勒密是古希腊天文学家、地理学家和占星家，他在研究凸四边形时，提出了著名的“托勒密

不等式定理”，并被广泛应用.“托勒密不等式定理”的内容是：在任意一个凸四边形中，两对角线乘积

小干或等于两组对边乘积之和.用数学语言表示为：如图①，在四边形A8C。中，AC,B。是它的两条对

角线，则

图①图②

(1)请尝试在图①中补全辅助线，并证明结论；

(2)如图②，在四边形48co中，48=1,AC=>/~5,BD1BC,且BD=2BC,求线段A。的最小值.

8.如图，A。为/?《△”。斜边8c上的高，点E为D4延长线上一点，连接BE,过点C作。1于点

F,分别交48,AD于M,N两点.

(1)^ZE=Z.ACF,求证：AM=AN；

(2)若4N=14mDN=9n,求QE的长；

(3)在(1)的条件下，若SUMN：S△而£=9：64,线段B/与E尸的长度刚好是关于y的一元二次方程5/一

16®+10/+5=0的两个实数根，求8c的长.

9.如图，点M,N分别是边长为4的等边△ABC边AB,4c上的动点，且满足：将AHMN沿MN折叠，4

点恰好落在8c边上的D点处.

(1)求证：ABDM〜>CND；

(2)若=2:3,求AM:AN的值：

(3)若0M_L8C,求CN的长；

(4)点。从点4移动到点C的过程中，求点N运动的总路径长.

10.《海岛算经》中有道题目是：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺.从勾端望谷底，入下段九尺一

寸.又设重矩于上，其矩间相去三丈.更从勾端望谷底，入上股八尺五寸.问谷深几何？大致意思是：如

图，今有深谷，在谷底MN的上方沿谷边缘放置一个勾4B为6尺的角尺力BC（48AC=90。,点MA,B在

同一条直线上，ZM1MN）,从B处望谷底M处时，视线经过隹尺端点C处，测得AC为9.1尺；将角尺

A8C沿着射线NA方向向上平移30尺得到角尺片夕。'，从夕处望谷底M处时，视线经过AC上点。处，测

得不。为8.5尺，求谷AN的深.

M

11.如图，路边有一路灯A8和一块圆弧形广告牌/G,为了测量广告牌的半径，晚上路灯亮起时，小红站

在距离路灯6小的点。处，测得其影长OE=2m,小李站在点M处，测得其影长M//=37TI,已知小红与

小李的身高均为1.5m,BF=3m,GM=2m,广告牌的高度（FG上最高的点距地面的高度）为1〃?，请你通

过计算，求圆弧形广告牌的半径（C。,48,NM均垂直于EH）.

12.李叔叔要做•张如图①所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相

等.已知梯子最上面一级踏板的长度4当=0.6m,最卜.面一级踏板的长度%%=0.9m.他在制作这些踏

板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为5cm的桦头（如图②所示）,

以此来固定踏板.现市场上有长度为1.68m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽度和厚度正好符合要

制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，李叔叔至少需要买几块这样的木板？请说明理由.（不考虑

锯缝的损耗）

,梯头

图①图②

13.如图，某公园有三个垂直于水平地面且高度不同的圆柱，圆柱A和4后面有一堵与地面垂直的宣传

墙，圆柱A,B与宣传墙的距离均为120cm.圆柱C后有一斜坡，圆柱C底部到坡脚水平线MN的距离为

100cm.某一时刻，小颖观察到高度为90c〃?的圆柱A的影子全落在地面上，其影长为72c?〃；圆柱B的部分

影子落在墙.匕圆柱C的部分影子落在斜坡上，PQ与"N在同一条直线上，已知落在地面上的影子皆与

(1)已知小颖身高为160(7〃，旦此刻她的影子完全落在地面上，求此刻她的影长；

(2)若同一时刻量得圆柱8落在宣传墙上的影长为140(7〃，求圆柱8的高度；

(3)若同一时刻量得圆柱C落在坡面上的影长为100c加，测得斜坡坡度i=1:0.75,求圆柱C的高度.

14.【作业目的】通过探究凸透镜成像规律，培养学生的科学探究精神、数学与物理学知以的应用能力、

动手能力和创造力.【项目背景】学习完相似三角形的性质后，科学小组的同学们尝试用数学的知识和方

法来研究凸透镜成像规律.

(1)【探究过程】(1)利用图①，进行下列凸透镜成像实验，补全表格：

物体到凸透镜距离像到凸透镜距离像的大小像的正倒

大于2倍焦距大于1倍焦距小于2倍焦距——

2倍焦距2倍焦距——

大于倍焦距小于倍焦距大于倍焦距

122——

小于焦距与物同侧

——

凸透镜

89cme

图①图②

(2)由(1)可得，凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线改变(填“不发生”或“发

生”)，平行于主光轴的光线经过折射后光线经过_____；

⑵【项目任务】

(3)找来一个高为4c〃?的蜡烛，将凸透镜中心与蜡烛的距离调为%•〃?，将凸透镜的焦距调为6cm.

①在图②中画出所成的像MN：

ON

②利用相似三角形的知识，算出MN二~0B

图①

(1)问题提出如图①，在A48C中，DE//BC,E/7/4B.若,=看则蓼=_____:

DUJrC

(2)问题解决如图②是植物园内一块由四条道路围成的矩形花园ABC。，点。为花园入口，对角线AC为-

条观景小道(宽度忽略不计).已知/8=30m,BC=40m,现准各将花园再进行划分，设计师在AC和CO

上分别取点£和点R并连接E兄为了花园的美观，要满足=在满足设计要求时，入I」

。与点尸之间的距离是否存在最小值？若存在，请求出。尸的最小值；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1•【答案】【小题1】

2a

【小题2】

解：如图，过点。作DC_LPM于点C,

由题意得力8=250cm,AD=100cm,则月£=50cm,

vZ.ACD=/.BEA=90°,Z.CAD=LABE=a,

.•.△AC。8E/（一线三垂直相似模型的变形）,

喈=算假=瑞解得。=20处

二油画顶部点D到墙壁PM的距离为20cm；

【小题3】

解：当油画底部A处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最

佳，他应该远离墙壁PM.

【解析】1.

【解法提示】如图，连接8Q,由题意得的垂直平分AD,.•.4B=8D,BD为等腰三角形，••・

Z.A8D=2Z.ABE,vZ.PAD+LDAB=Z.DAB+LABE=90°,AZ.ABE=/.PAD=a,：•Z.ABD=2a

2.【答案】解：如解图，连接。£设A。，BE交于点、G,

•••/5,E分别是边BC,AC的中点，为aABC的中位线,

EDCECD1nr//xDA/'nr?.z>4

AB=AC=BC=2fDEUABiGDEGABD.

G^_DG_DE__1

GB=AG=AB=2,

•.T0=|8E,.•.设AD=3A,则BE=2k（巧设未知数，可以简化运算）,

124

ADG=^AD=kBG=：BE=：k,

339o

•：AD1BE,•••BD=y/BG2+DG2=/

：•BC=2BD=^k=10（利用方程思想解未知数），解得k=3,

4.11

•••AD=3k=9,BG=-k=4,:.S=-AD•BG="x9x4=18,

oAABD4乙

•••S^ABC=2S^ABD=2x18=36.

3.【答案】解：•.•四边形A3c。是平行四边形，

:.AD//BC,AD=BC=12,:.乙8+Z,BAD=180°,

vLB+乙EOF=180°,乙BAD=乙EOF=乙力。。（利用对角互补得等角）,

vLODA=Z.ADE,/.△A0DE4D（利用两角相等得相似），

0A_AlD_0iD

：'AE=~ED=AD'

设0E=Q,则。D=2Q,DE=0E+0D=3Q,

•••葛=裳解得Q=2，6（负值已舍）.DE=3a=6\/~6.

•：Z.A0E+Z-EOF=180°,^B+AEOF=180°,.%Z-AOE=zS,

v£0AE=乙BAF,OAEBAR利用两角相等得相似），

.0A_AEtOA_BA.AD_坦1（比值等量代换）

.•.羡=笔,解得4尸=56.

4.【答案】【小题1】

解：•••在Rta/WC中，LA=90°,48=6,AC=8,1•.BC=10,

vZ.DCE=Z.ACB,Z.EDC=Z.BAC=90°,EDC—△BAC,

.ED_AB_6_3

''CD=AC=8=49

设ED=3x,则CD=4x,EC=5x,AE=8-5x,

•••匹边开2AEH/是矩形，AB//EH,/.乙ABC=Z.EHD,

*：£EDH=4BAC=90°,HDEB4C(目的是表示出E”的长),

EHBC105vu5cno515

•,•^=^=T=<''-EH=4ED=3X^=^^

••­S矩形.〃=E〃•施=齐(8-5x)=-yX2+30%,

•••匹边形EFGD是矩形，.Z^GD=乙EDG=90°,FG=ED,：.乙FGB=90°,

v£GBF=Z.ABC,Z-FGB=ABAC=90°,

BGF-△BAC(目的是表示出BG的长，为表示出GD的长作铺垫)，

BGAB3/3”3.e,39

==?^G=4FG=4EcD=c3X'4=4Xf

925

•••GD=BC-BG-CD=10-j-x-4x=10-4％,

44

OC*7C

2

•••S矩形EFGD=ED・GD=3X(10-yx)=-yx+30%,

二矩形AE///和矩形EFGD的面积相等；

【小题2】

解：要在直角三角形中裁剪出面积最大的矩形，有两种裁剪方式：①矩形的两条边分别在直角边上；②矩

形的一条边在斜边上.

由(1)可知这两种方式裁剪的矩形的最大面枳相等，我们不妨以第一种裁剪方式计算.

如解图，在CE上取点K,过点K分别作KM_LCO于点M,KN工DE于点、N,

KN//CD,KM//ED,KN=DM,KM=DN,

由(1)可知ED=3%,CD=4x.

设DM=/〃，DN=n,vKN//CD,

ENK-△EDC(据此求矩形KMQN相邻两条边的关系).

PfjNK

...居=器，EN=ED-DN=3x-n,NK=DM=m,

3x-nm3

A解得n=3%o一1小，

•0•S矩形KMON=DM-DN=mn=m(3x=-1(m-2x)2+3x2,

.•.当m=2x时，矩形KWON的面积最大，最大值为3产(根据二次函数的性质表示出最大面积),

•.•矩形AEH/的面积与从△EDC中锯下的面积最大的矩形的面积恰好相等,

.”去2+30%=3/,解得与=0（舍去），％2=黑•••8=轨=螺

5.【答案】【小题1】

解：设正方形A8C。的边长为a,^iBD=yjBC2+CD2=>[2a,乙48。=匕OBC=45°,•.OB=^BD=

•••由旋转的性质得BC'=8C=a,O'B=OB=节a,乙O'BC'=LOBC,

ANO'BC'-Z-ABC1=4ABD-^ABCf,:.乙O'BA=乙C'BD,

O'B_^a_s/~2AB_a_/2_O'B_AB

：'~BC=~a~='DB=京="F',旅=而

-*'△AO'B〜△（手拉手相似）.，然=4?=¥；

【小题2】

解：•.•正方形ABC。的边长是1,

,----------L1/2

=VBC2+CD2=OC=OB=/D=亍

由旋转的性质得0'8=OB=苧，O'C'=OC=苧，LBO'C=乙BOC=90°.

分两种情况讨论（三个点的相对位置不确定，需要分类讨论）：

①如解图①，当点。在线段07）上时，O'D=、BDZ—O'B?=当.

/6-/2

ACD=O'D-O'C=————,

②如解图②，当点。'在线段C'D上时，同理①可得O'D=苧.

\/~6+y[-2

CD=O'D+O'C=

-2-'

由(1)得鬻=苧，••・。勿=1。'。=浮1-

综上所述，当点O',C,。在同一条直线上时，。'力的长为亨或中.

6.【答案】【小题1】

证明：•••△08E为等边三角形，.•.乙/用E=NOE8=4O=60。，

vZ.ABC=90°,Z.ABD=Z.C=30°,Z.A=60°,:.Z.A=N。，

vZ.AFB=乙DFG,AFB~ADFG；

【小题2】

解：由（1）知4力80=44C8=30',匕8力C=60°,.••乙4FB=90°,

..在尺七△从3F中，A尸二243=2,BF=/1Z?-COS30O=2/3,在氏七△A3C中，AC=2AB=8,

DF=BD-BF=GCF=AC-AF=6,

」.在Rt△DFA中，AD=V力尸2+。尸2=/7,

在RCA0FC中，CD=VCF2+DF2=/39,

rH「D

VCD2=CHAC,.•.芸=%，VLACD=^DCH,

CDAC

.•.△4CD-△DC”（由线段乘积的等量关系得相似），

ADAC>T78初组门口/273

二丽=瓦'二丽=市'解得DH=y

.•.在/?£△DFH中,FH=\/DH2-DF2=

8

【脩析】1.略

2.略

7.【答案】【小题1】

解：补全辅助线如解图，在四边形内取点E,使4CDE=48D4乙DCE=LDBA,连接AE,CE,DE.

证明：vZ-CDE=Z.BDA,乙DCE=（DBA,:.&ABD~4ECD,

•・・缁=伴=常BDCE=AB-CD.®

cC匕UCiz

ADBDADED

v—=—,:.—=—,

EDCDBDCD

v£CDE=LBDA,:，乙CDB=Z.EDA,•••△ADE80C'（手拉手相彳以）,

黑=黑，二804£二皿8。。

buDC

由①+②，得8。•（CE+AE）=AB-CD+AD-BC,

,•*CE+AENAC»•*•AC,BDWAB,CD+AD,BC；

【小题2】

解：设BC=Q,则BD=2a,

在R£△BDC中,根据勾股定理，得CD=y/BD2+BC2=Aa（为利用托勒密不等式定理作铺垫）,

由“托勒密不等式定理”得48-CD+AD-BC>AC-BD,

^yT5a+AD-a>>T5x2a,解得之A,•••的最小值为，

【解析】1.略

2.略

8.【答案】【小题1】

证明：由题意得，“48=90°,乙CFE=90°,

:.Z.ACF+乙AMN=90°,4E+乙4NM=90°,

VZE=Z71CF,:.乙AMN=AANM,.-.AM=AN；

【小题2】

解：vAD1BC,/.Z.ADC=Z-ADB=90°,：.Z-DBA+/.BAD=90°,

vZ.BAC=90°,•••^DAC+Z-BAD=90°,•••^DAC=Z.DBA,

:心ADC"BDA,二黑=恁，-.AD2=BD-DC,

BDDA

•••CF1BE,Z-FCB+Z.EBD=90。，

vZ.EBD4-Z.E=90°,Z.FCB=乙E,

vZCD/V=Z.EDB=90°,EBZ）〜△CND,，空=黑，

CDND

BD-DC=DE-DN（利用BD•DC这个中间量将AD?和DE.CN建立等量关系）,

AD2=DE-DN,

AN=14n»DN=9n,•••AD=DN+AN=23n,

（23TI）2=9n.DE,•••DE=等n；

【小题3】

解：如解图，过点M作MG14N于点G,过点A作力H1E尸于点儿

/BFC=90°,乙ABE+乙BMF=90°,

•:乙BMF=Z.AMC,4ABE+Z.AMC=90°,

vZ.BAC=90°,：,Z.ACF+Z.AMC=90°t.%Z.ACF=Z.ABE,

vZ.ACF=Z.E,:，Z.ABE=乙E,:，AB=AE.

MG_AM

vBD1AD,/.MG//BD,AMG~AABD~BD~~AB

由(1)得4M=AN,

二舞=谭哪嗡吟•冷冬4(将面积比值转化为线段比值》

AM_3.AN_AM_3AM_3

屈=1，'AE=^B=8,丽=5'

•••CF1BE,：,AH〃FN,・•端=瑞=三,

设E〃=8a,贝lJPH=3a,

'：AE=AB,AH1BE,BH=HE=Ba,

BF=BH-FH=5Q,EF=HE+FH=Ila,

2

•.，线段BF与EF的长度刚好是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k+5=0的两个实数根.

由根与系数的关系得］"+"=净=16。，解得Q=±g

（8尸•EF=2k2+1=55a2，

a>0,•••a=—,

o

;BF=5a=店（利用EF与/汴的关系、根与系数的关系求出8户的值），

••./D8E+4E=90°,/.DBE+/-BCM=90°,，乙BCM=cE,

vLE=Z.ACF,Z.ACF=乙BCM,

v£DBA+4DAB=90°,£DAC+^.DAB=90°,

£DAC=^DBA,:AACNFBCM,•,•铁=空=给=之

oCDMUM5

0Q

设＜C=3b,则8。=5匕，根据勾股定理得48=46.•./IM=。8=

oL

在法△2CM中，根据勾股定理得“。=苧匕，

vLACF=Z.FCB,Z.CAM=乙CFB=90°,/.△ACM-△FCB,

.BC_CM.BC_^b

.•而一而'.•用一万'..BC-5.

9.【答案】【小题1】

证明：•••△力8c为等边三角形，•••24==4C=60°,

•••△MON是由△4MN沿MN折叠得到的，:.乙MDN=匕AL4N,

•••LMBD+Z.BMD=乙MDN+乙NDC,:.乙BMD=乙NDC,

RDM-ACND（一线三等角相似）；

【小题2】

解：•・•△4BC是边长为4的等边三角形，BD-.CD=2:3,

ABD=1.6,CD=2.4,由（1）知ZkBDM〜△OVO,

；

.•BM而=B而D=D和M即三=而1.6=而DM（x利Xii用m相/似pi列ji\比jj//例»|\），

-AM=MD,AN=ND,BM=4-AM,CN=4-AN,

.4-4M_1.6_AM_

'•2.4=4-AN=丽’

:.2AAM=4AN-AN•AM①，1.6AN=4AM-AM•AN②,

①-②得2.44M-1.6AN=4AN-44M,

即6.44M=5.6ANt・•・AM:AN=5.6:6.4=7:8：

【小题3】

解：设BM=x,则MD=4M=4-8M=4-x,

•••△力BC是等边三角形，zfi=zf=60°.

vCM1BC,：.sinB=翳==苧（利用锐角三角函数求长度），

解得％=16-8xf3,BM=16-8/3,•••BD=^BM=8-44，

CD=BC-BD=4c-4.

由（1）得△8DM〜△CND,Z.CND=Z-BDM=90°,/.CN=^CD=273-2；

【小题4】

解：当点。与点B重合时，点N与点C重合.

点D由点8向点C移动，CN变大，当DN18C时，点N距离点C最远，同理(3)可知此时CN=16-

873.

当点。继续向点C运动时，点N返回往4C中点移动，当点。与点。重合时，点N与AC的中点重合.

•••^AC=2..•.点N运动的总路径长为2(16-8xf3-2)+2=30-16>/3.

10.【答案】解：•:乙CBA=CMBN,Z.BAC=^BNM=90°,:aBACBNM,

...黑=酷二言（利用相似得BN,MN之间的数量关系），

/V/»//■U✓•A

设BN=6无，则MN=9.1%,

•••BB'=AA1=30,B'N=BN+BB'=6x+30,

vZ.DB,A,=乙MB'N,乙B'A'D=iB'NM=90°,

.•.△夕力'。'〜△B'NM,.•.急=装，由平移的性质得4夕=48=6,

••.占=黑（利用相似列方程求解），解得x=竽，

■十JUV.IXO

经检验，x=华是所列方程的解，且符合实际.

0

425

AN=BN-BA=6x-6=6x-^-6=419.

o

答：谷AN的深为419尺.

11.【答案】解：CD1E”,ABLEH,：.CD//ABt

••.△ECD〜△B48G4字型相似），.♦.累=器

/iDDC

VBD=6,DE=2,CD=1.5,:.BE=BD+DE=8,

.4=:，解得力8=6,

Aoo

•:NM1.EH,AB工EH,•••NM〃,4B,

.•.△NMH〜△A8HG4字型相似），.,.噜=黑，

on

VAB=6,MH=3,NM=1.5,.••孕=3,解得BH=12,

6BH

AFG=BH-BF-GM-MH=4,

设圆弧形广告牌的半径为rm,

根据垂径定理和勾股定理可得02+（r-I）2=r2,解得r=

咽弧形广告牌的半径为|m.

12.【答案】解：如图，设自上往下第2,3,…，7级踏板的长依次为4282,4%,…，%方，过点4作3$7

的平行线分别交4282,483，・,力787于点。2，。3，・）。7（构造4字型相似），

C7B7=…=C2B2=Ai%=60cm»A7C7=90-60=30(cm).

•：A2C2//A7B7,.*.△A1A2C2AtA7C7(A字型相似)，

•••每两级踏板之间的距离相等，.•・净理=；，

,47匕7人］匕7b

**,242c2=5A7c7=5cm,力=60+5=65(c77i),

同理可得A/=60+10=70(cn),44%=60+15=75(cm),A5B5=604-20=80(cm),A6B6=

60+25=85(cm)(算出每级踏板的长度)，

设要制作AiBi，4/，…，%必这些踏板需用木板的长度分别为…,劭。血，

•••%=A1B1+5x2=70,a2=A2B2+5x2=75,a3=A3B2+5x2=80,a4=A4B4+5x2=85,

a5=ASBS+5x2=90,a6=At,B6+5x2=95,a7=A7B7+5x2=100,

%+电+。3+。4+的+%+。7=595,168x3=504,

3块这样的木板不能满足要求.

v4+。6=165<168,a2+a5=165<168,a3+a4=165<168,a7=100<168.

,4块这样的木板可以满足要求.

综上所述，李叔叔至少需要买4块这样的木板.

13.【答案】【小题1】

解：设小颖的影长为皿小由题意可得翳=国，解得“128,

72x

经检验，％=128是所列方程的解，且符合实际.

故此刻小颖的影长为128C//Z；

【小题2】

解：如