2024北师大版八年级数学上册 认识实数（第1课时）教学设计

第二章实数

1认识实数（第1课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”的第一节第1课时。从整体

课程内容看，属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，课标内

容要求为：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一

一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。会求实数的相反数和绝对值。能用

有理数估计一个无理数的大致范围。

本节内容分2个课时，实数是继有理数之后，在中学阶段学习的数系的又一次扩充。引

入无理数后，有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立。相关学习活动涉及类比

学习及归纳椎理，为后续高中阶段学习从实数向复数的数系扩展再次积累活动经验。第I

课时让学生感悟数系的扩充，辩证认识无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定

理，会根据要求画线段；借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是不是有

理数。第2课时主要是让学生知道实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同

的分类，同时了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数

和数轴上的点是-一对应的，结合勾股定理知识，在数地上确定无理数的位置。

本节课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理

数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：数系随着现实生活及数学学习的需求不断扩充，这体现了新数产生

的必要性。代数运算的核心是研究数的性质、运算法则及运算律，学生已经经历过一次数系

扩充，即七年级在引入负数的学习中，将数的研究范围扩充到有理数。利用数轴探究有理数

的运算法则中体现的分类讨论、从特殊到一般、数形结合等数学思想为实数的学习奠定了基

础。在前一章“勾股定理”的学习中，学生已经掌握勾股数的概念，但在探究过程中发现,

并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是。

这为引入“新数”奠定了必要性，同时，勾股定理的学习也为学生提供了数形结合的思考方

法。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些拼图操作、网格画

线段和借助计算器估算的活动，也具备与同学合作交流的经验。在负数的引入、意义及有理

数加法的学习中，充分结合生活实际，在理解意义的基砒上获取新知；在经历“观察、比较、

分析、归纳”的合作交流过程中，积累了用数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、

用数学的语言表达和解决问题的经验。尤其是第•章用等税法说明勾股定理，解决了一些简

单的现实问题，感受到了数系扩充的必要性和作用，获得了认识实数所必需的一些数学活动

经验。

三、教学目标

1.在有理数认识的基础上，结合图形判断止方形的边长是不是有理数，感受客观世界中

无理数的存在；能用有理数估计一个无理数的大致范围。

2.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景，培养发现问题、提出问题的能力。同时，

借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并利用计算器估算，培养估算能力，发展抽象概

拈能力，并从中体会无限遢近的思想。

3.渗透数形结合、分类讨论、特殊与一般的思想，培养代数推理能力。

4.在拼图和网格纸中作出无理数表示线段长度的过程中，发展分析问题和解决问题的能

力，积累从图形的特征思考数学问题的思维经验。

教学重点：对数系扩充合理性的理解,意识到确实存在某些数，既不是整数也不是分数，

它们具有无限不循环的特征。

教学难点：认识到无理数既不是整数也不是分数，是无限不循环小数。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾置疑

L活动内容

思考：（1）一个整数的平方一定是整数吗？

（2）一个分数的平方一定是分数吗？

2.活动目的

进行必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理。

【第二环节】课题引入

L活动内容

图1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。设大

正方形的边长为〃，。满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求：不允许有多余部分，

所得的正方形不允许有空缺）

图I

尝试-思考

（1）如图2,以直角三角形的斜边为边的正方形的面枳是多少？

（2）设该正方形的边长为从人满足什么条件？它是我们学过的数吗？

图2

2.活动目的

通过动手操作，初步感知客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数不够用了”。

3.注意事项

无理数的学习标志着学生的知识结构从有理数范畴拓展到实数范畴，是一次重要的数系

扩充。由于学生对数的认识是从现实生活需求出发的，遵循“自然数一整数一有理数一实数”

的脉络不断拓展和丰富。学生对有理数的认识是具象可感的，是可以“数出来”“量出来”

的，但无理数是抽象的“想出来”的。以学生现有经验的有限性去认识无理数概念的“无限

性”，存在理解上的I困难，因此，对无理数的认识要从现实需求出发，让学生直观感知其客

观存在性，让学生在实验操作中引发思考，通过思考感知问题中的a,b确实存在，但不是

有理数。

【第三环节】新知释疑

1.活动内容

思考♦交流

面积为2的正方形的边长4究竟是多少呢？

（1）如图3,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。

・I%X,

图3

（2）边长。的整数部分是几？十分位是几？百分佗呢？千分位呢？……借助计算器进

行探索。

（3）小明将他的探索过程整理如下：

边长。面积S

l<a<2\<S<4

1.4y<1.5196Vs<2.25

1.41<«<1.421.9881<5<2.0164

I.4I4<O<1.4I51.9993%<S<2.002225

l.4142<a<1.41431.99996154Vs<2.00024449

还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？

（4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？可能是有限小数吗？与同伴进行交流。

2.活动目的

上一环节的“尝试•里考”让学生感知a,/）确实存在，但不是有理数。本环节的“甩

考•交流”则意在让学生感受〃，b的大小。如何感知？这里借助了计算器进行逼近和估计，

在这一过程中，可以初步感受a,。的大小，同时也让学生感受到这样的逼近过程可以一直

重复下去，进而感知无理数是无限不循环小数。

3.注意事项

（1）这里采用了“呈现小明的探究”方式进行问题研究，在实际授课中，教师可以让

学生进行类似的操作，然后呈现学生的解答。

（2）活动最后,教师需要明晰:事实上，d=1.41421356-,^=2.23606797-,它们都

不是有理数，都是无限不循环小数。

【第四环节】知识巩固

1.活动内容

（1）在图4的正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形:

①面积为9,且正方形的顶点在格点上；

②面积为13,且正方形的顶点在格点上。

图4

（2）在图5的正方形网格中分别画出以下四个三角形：[।[[[[[।।

①三边长都是有理数；二二二二二二二二二二

②只有两边长是有理数；二二二二二二二二二二

③只有一切长曷有理数：

图5

④三边长都不是有理数。“

A

（3）如图6,等边三角形彳8C的边长为2,高为/?,/?可能是有?|\

理数吗？/\h\

（4）同一个正方形的边长和对角线的氏度可能都是整数吗？Jk\r

DC

2.活动目的图6

前面2个方格纸画图问题，增添知识的趣味性、关联性和层次性，让学生初步学会辨别

有理数和无理数，进一步感受“新数”的存在，培养灵活运用知识的能力。后面2个问题,

是对本节课开始问题的变式，加深对“新知”的理解.

3.注意事项

（1）问题（2）的答案不唯一。

（2）在解决问题（1）（2）的过程中，需将本章内容与勾股定理的内容进行联系。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

（1）通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？

（2）通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？

（3）通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？

（4）除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的数吗？

2.活动目的

通过课堂小结，理清木节课的知识脉络，培养学生的核心素养。引导学生用数学眼光观

察现实世界，主要表现为抽象能力和几何直观；帮助学生用数学思维思考现实世界，.主要表

现为运算能力和推理能力；实现用数学的语言表达现实世界，主要表现在应用意识。

3.注意事项

学生总结，教师补充，帮助学生逐步深化对无理数的认识和理解。

【第六环节】布置作业

1.活动内容

基础作业：习题2.1第5、第6题；

拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100,共有多少种情况？（注：

面积相同的不同画法均视为同•种情况）

实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数学小论文“我

对数系扩充