2024北师大版八年级数学上册第七章《证明》每节课教学设计汇编（含五个教学设计）

第七章证明

1为什么要证明

一、学习任务分析

本章是学生正式学习证明的起点。在此之前，学生已经通过观察、测最、实验、操作等

活动探究得到了一些几何结论，也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但这些

并非严格的证明。因此，本章首先让学生明确认识到：通过探究发现的结论需要经过严谨的

证明才能真正确立其可靠性。同时.，证明需要一个话语体系，为此就引入了定义、命题等基

本概念。其次，证明必须从一些公认的起点出发，为此需要梳理已有的结论，选择其中最基

本的、无需证明的结论作为证明的出发点（实际上这就是构建局部的公理体系）。有了这些

证明的出发点，就能依次证明先前探究得到的定理。在证明过程中，初步掌握证明的要求和

格式，认识到讦明的严谨件，做到步步有据地进行推理，从而发展学牛的椎理能力。

本章共分为3节：第1节”为什么要证明"（1个课时），旨在说明要判断一个数学结

论是否正确，仅仅依靠实脸、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行证明，

强调证明的必要性；第2节“认识证明”（2个课时），指出定义、命题、基本事实、定理

的含义，为后面的证明奠定基础，并简要介绍欧几里得的《原本》；第3节“平行线的证明”

（2个课时），分别完成平行线的判定定理和性质定理的证明。

本节课是第七章“证明”的第1节，核心任务是要让学生认识到基于观察和直觉，通过

归纳和测量得到的结论未必可靠，从而认识到证明的必要性。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在学习本节课之前，己经学习了代数方面的一些基础知

识，掌握了三角形、四边形、圆等简单几何图形的一些常规结论，为本节课的学习做好了

必要的知识储备。学生在之前的数学学习过程中，主要是通过直观的方式得出正确结论，

合情推理能力得到了很大的发展，为本章将学生从合情推理逐步过渡到演绎推理打下了基

础。

学生的活动经验基础：学生在学习代数和几何知识的过程中，积累了一定的小组合作

经验，经历了观察、测量、实验、操作、归纳、猜测等数学活动，为本节课的教学提供了

活动经验基础。

三、教学目标

1.经历观察、实验、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得

到的结论未必可靠，认识到这些方法的局限性。

2.初步感受证明的必要性，发展推理能力。

教学重点：经历用不同方法得到数学结论的过程，感受证明的必要性。

教学难点：经历用不同方法得到数学结论的过程，感受证明的必要性。

四、教学过程

【第一环节】章前导入

1.活动内容

教师谈话导入：通过观察、测量、猜测等方式得到的结论都是正确的吗？如果不是，那

么用什么方法才能说明这些结论的正确性呢？在证明一个观点、结论正确时，人们常常说

“因为A正确，所以B正确"，但你是否想过：A正确又是因为什么呢？如此下去，源头

在哪里？如何确定证明的起点呢？这些都是本章我们要解决的问题，通过本章的学习我们将

明白，在什么情况下需要证明？证明有什么意义？怎样才能保证证明是严谨的？

2.活动目的

本节课是本章的起始课，通过教师的谈话导入，结合本章内容，帮助学生了解本章内容

的核心主题与学习脉络。

3.注意事项

这里提出了本章需要持续思考的大问题，不需要学生现在给出答案，两个可持续思考的

问题分别指向证明的意义、证明的过程与方法。

【第二环节】猜测验证

1.活动内容

（1）图1中两条线段”，〃的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察,

再设法检验你观察到的结论。

b

图1图2

（2）如图3,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起

来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？光凭感觉想象一下，再具体

算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。

图3

2.活动目的

学生经历通过观察和直观感受得出的结论，与验证的结论发生冲突的过程，让学生感受

证明的必要性。

3.注意事项

对于两个活动内容，都要求学生先观察、猜测结果，然后再验证。对于第2个活动内容，

可以要求学生先不计算，仅仅凭直觉估计进行猜测，然后再验算。验算时，学生可能会有一

定的困难，教师可以用实物模型结合画图的方式，引导学生理解“间隙”实际上就是大圆半

径与小圆半径之差，从而让学生去表示大圆和小圆的半径，并求差。

【第三环节】知识研究

1.活动内容

尝试•思考

（1）对于自然数〃，代数式/一〃+11的值是质数吗？取〃=0,1,2,3,4,5试一

试，你能否由此得到结论“对于所有自然数〃，标的值都是质数，，？

（2）如图4,在△ABC中，点。，E分另I］是A&AC的中点，连接。DE与BC有怎样

的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜测。你能肯定你的结论对所有

的△ABC都成立吗？

A

DL________XF

图4

2.活动目的

对归纳、猜测的结论进行验证，让学生再次感受到无论是在代数领域还是在几何领域,

都需要用证明来确定结论的正确与否。值得注意的是，在问题（2）中学生得到的数量关系

和位置关系的猜想，在现有的知识下，难以完成证明。这反而可以激发学生的求知欲，为后

面学习平行线的证明和三角形中位线定理埋下伏笔。

3.注意事项

（1）在问题（1）中，学生根据自己以往的经验进行判断，可能认为/一〃+11一定是

一个质数。此时，教师需要有意识地引导学生选取更多的〃值进行验证，不难发现，当〃=

11时，=不是质数，所以这个结论不成立。找到了一个反例，从而说明归纳

出的结论未必正确。

（2）在问题（2）中，教师应鼓励学生动手测量，大胆猜测。同时，通过变换三角形

的形状，进行多次测量、猜测，使探索的结果更可靠。通过反复的实践活动，学生会更加

坚信其猜测的正确性。然而，根据前面的经验，学生已明确意识到，猜测的结论还需要证

明。但具体怎么证明，学生尚不清楚。这时教师可以引导学生将这个问题留存，在后续学

习相关知识后再行证明。通过这个活动，学生进一步感受到证明的必要性。同时，也引导

学生认识到，虽然猜测结果有可能不正确，但是合理的猜测，仍然是我们探索数学结论的

重要方法，只不过所猜测¥J结论，要通过证明来验证它的正确性。

【第四环节】交流小结

1.活动内容

思考-交流

观察、实验、归纳等是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳等方式得到

的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断•个结论是否正确的？说说你的经验与

困惑，并与同伴进行交流，

2.活动目的

本环节主要让学生通过反思以上教学活动，总结归纳出：观察、实验、归纳得到的结

论可能正确，也可能不正确。因此，要判断•个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实

验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。从而让学生感悟证明的必要性。

3.注意事项

本环节教师要鼓励学生大胆交流，充分表达自己的想法。通过本节课的教学活动，让

学生体会到数学是一门严避的学科，需要通过逻辑推理来达到对真理的有效认识。通过证

明，帮助学生建立正确的数学思维方式，促进逻辑推理能力的发展。在证明中让学生发现

问题、提出问题，进而学会分析和解决问题。学生在经历这样一个过程后，数学素养得到

了发展，从而能更好地应对现实生活中的各种复杂问题。

【第五环节】课堂练习

1.活动内容

（1）图5中有三条线段a,b,c,哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直

尺验证。图6中两条线段a与方的长度相等吗？

X>---------2--------<

图5图6

（2）当〃为正整数时，层+3〃+1的值一定是质数吗?

2.活动目的

巩固学生对证明必要性的感悟，发展学生推理能力。

3.注意事项

要求学生独立完成，然后再进行交流点评。

【第六环节】布置作业

1.活动内容

布置作业

（1）必做：①习题71第3题。

②阅读拓展材料“费马的失误”。

(2)选做：习题7.1第4题。

2.活动目的

巩固本节课所学内容，通过设置不同层次的作业，让不同学生都得到发展。

3.注意事项

学生在完成选做题后需要在全班进行分享。

五、教学反思

在实际教学中，需考虑到学生可能对质数、圆的周长公式等知识有所遗忘。针对此情

况，在具体的教学环节中可以适当地安排一些复习内容，然后再进行相关的活动。同时，

本教学设计侧重于让学生通过观察、测量、实验、操作、归纳、猜测等方法得出结论之

后，对结论进行验证，从而重新审视结论的正确性。需要明确的是，这样的教学过程并不

是否定学生用合情推理进行探索。相反，教师应该大胆地鼓励学生去进行合理的猜测，用

合情推理的方式探索得到结论，然后再有理有据地证明结论，从而使学生感悟数学思考过

程的严谨性。

第七章证明

2认识证明(第1课时)

一、学习任务分析

通过本章第一节的学习，学生已经认识到探究得出的结论需要加以证明。因此，第二

节将系统介绍有关证明的基础知识，共安排2课时。其中，第I课时介绍定义、命题、命题

的结构、命题的真假以及判断假命题的常用方法；第2课时重点讲解真命题的证明、公理化

思想，以及证明的出发点，并通过具体实例让学生感受证明的过程与证明的格式.

本节课是第二节的第1课时，主要是引导学生结合具体实例认识定义与命题，对某些名

称和术语加以描述，并作出规定，为后续进行有理有据的证明奠定基础。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在以前的学习中已经接触了不少的几何知识、代数知识，

对数学中的名词、概念有了初步的认识。

学生的活动经验基础：通过前面的学习，学生已经了解了为什么要证明，感受到了证

明的必要性。学生能将合情推理或通过图形运动等方法探索得出的某些结论用于简单说

理，积累了一些简单说理的经验。

三、教学目标

1.通过具体实例了解定义、命题、真命题、假命题的含义。

2.能结合具体实例区分命题的条件和结论。

3.了解判断假命题的方法。

教学重点：区分命题的条件、结论与判断命题的真假。

教学难点：定义、命题、真命题、假命题的含义。

四、教学过程

【第一环节】情境引入

1.活动内容

谈话导入

教师：随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，一天小明与小华正在公交车上聊

天。

小明说：“……”，小华说：“……”。

小明说：“你知道吗？这个黑客终于被逮住了。”

坐在旁边的乘客一边听着他们的谈话，一边悄悄议论着，一人说“这黑客是个小偷

吧？”

另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”

两位同学听后笑了，旁边两个人的概念不清楚，“黑客”其实是电脑中的专用术语。

通过上面的时话自然地引出课题：交流时必须对某些名称和术语有共同的语言认识才

能进行。

2.活动目的

通过分享生活中的人物或事物名称，让学生体会到人与人之间的交流必须建立在对某

些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义，进而让学

生体会到在数学学习中卜.定义的重要性。

3.注意事项

引导学生从引入话题环节快速转接到第二环节，进入课堂正题。

【第二环节】活动探究

1.活动内容

解释“定义”

为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名

称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

例如：

“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公

民”的定义：

“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；

“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义：

“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。

你能列举出一些学过的定义吗？

尝试-思考

下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？

（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；

（2）对顶角相等；

（3）无论〃为怎样的自然数，式子〃2—〃+11的值都是质数；

（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（5）你喜欢数学吗？

（6）作线段力8=CD,

归纳：判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面“尝试.•思考”中的语句（1）

（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。

如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命。例如，上面“尝

试-思考”中的语句（5）（6）都不是命题。

思考-交流

观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的

结构特征呢？与同伴进行交流。

（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等：

（2）如果。=仇那么〃2=校；

（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。

一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事

项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出

的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。

尝试-思考

指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果b丰c,那么aCc：

（3）全等三角形的面积相等；

（4）三角形三个内角的和等于180。。

2.活动目的

（1）在活动1中，通过学生比较熟悉的名称术语，了解定义的含义。引导学生举出一

些定义的实例，让学生认识到定义在学习、生活中的广泛应用，深化对定义的了解。

（2）第一个“尝试•思考”环节，引导学生通过具体例子的辨析，归纳出命题的定

义。

（3）“思考•交流”环节，通过观察、对比、分析等方式，总结出命题的结构特征。

（4）第二个“尝试•思考”环节再次复习命题的结构特征，通过实例让学生了解命题

有真假之分，并且让学生知道怎样去说明一个命题是假命题。

3.注意事项

（1）对活动1,先让学生回顾数学中的概念，帮助学生下定义。在本环节要注意学生

所举的例子，避免出现没有给出明确定义的（如频数分布直方图）和无法给出严格定义

（如点、线、面等）的情况。

（2）在第一个“尝试•思考”环节，部分学生可能会出现只选择正确的判断句，而不

选错误的判断句的情况，教师要及时给予相应指导，让学生明确不管判断正确与否都是对

事情作出了判断。语句（5）是提问，没有给出判断；语句（6）是操作，也没有给出判

断。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它不是命题。

（3）在第二个“尝试•思考”环节，对于条件和结论不明显的命题，可以将这个命题

改写为“如果……，那么……”的形式，然后再写出条件和结论，为学生后面学习互逆命

题奠定基础。同时，对假命题的判断，一定要让学生充分表达自己的想法，在此基础上总

结举反例的方法，使学生对举反例的作用有较深入的了解。

【第三环节】巩固练习

1.活动内容

指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。

（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；

（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；

（3）如果匕^=土三，那么

23

（4）两个锐角之和一定是钝角；

（5）如果/＞（）,那么Q0；

（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。

2.活动目的

本环节安排一道习题对本节课所学知识进行巩固练习，使学生进一步明白判断一个命

题是假命题，只要举一个“反例”就可以了。

3.注意事项

本环节要让学生自主阅读并作出判断。其中命题（6）的错误语言不好表达，可以引导

学生将文字语言转化为图形语言，利用图形直观说明两个三角形不全等。

【第四环节】课堂小结

1.活动内容

说说本节课你学到了什么？

（1）什么是定义？什么是命题？

（2）如何寻找命题的条件和结论？

（3）如何判断一个命题是假命题？

2.活动目的

通过课堂小结，使学生对定义、命题等含义有更清楚的认识，并在头脑中对本节课所

学的知识进行系统的归纳和整理。

3.注意事项

教师要引导学生对本节课所学的知识进行回顾，并鼓励学生举例说明。

【第五环节】布置作业

L活动内容

（1）基础性作业：习题7.2第2,6题。

（2）拓展性作业：按小组搜集八年级数学教材中新学的部分定义、命题。

五、教学反思

本节课学习的是推理论证的基础内容一一定义与命题，学生通过本节课的学习，为后

续证明的学习打下基础C本节课教学内容看似很简单.但要计学生直正理解命题的含义.

理清命题的结构并不容易。很多学生只是机械地将命题改写成“如果……，那么……”的

形式，但往往改写的语句不够通顺、完整。因此，在课堂教学及课后的作业中，进行适当

的巩固练习是很有必要的，在探讨命题的结构特征和改写命题形式时，有的学生可能会存

在语言表达不通顺、不准确的情况，教师应鼓励学生大胆发表自己的意见，关注学生思维

过程的形成并给予适当的引导，避免学生机械地模仿。

第七章证明

2认识证明（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”第三节第2课时,，在第1课

时中，学生学习了定义、命题、命题的结构、命题的真假及判断假命题的常用方法，为本

课时学习证明奠定r基础，本课时将引导学生学习真命题的证明，感受公理化思想，明确

证明的出发点，并通过具体实例感受证明的过程及证明的书写格式。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生己经学习了几何的基础知识，形成了初步的空间观念和几

何直观；能够进行简单的几何说理，有了初步的证明意识；了解了定义、命题等基本概

念，并能使用基本事实、定义、性质等解决•些简单的问题。

学生的活动经验基础：在前一节课中，学生了解了为什么要证明，感受到了证明的必

要性。在之前的学习中，也获得了简单几何说理和代数说理的经验，具备一定的几何推理

能力。同时，学生在长期的学习过程中，已初步具备了观察、分析、类比的学习能力，有

了一定的将文字语言转换为符号语言的能力，具备了一定的合作交流能力。

三、教学目标

1.初步感悟公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事实。

2.通过实例感受证明的过程与格式，能进行简单命题的推理。能将简单的文字语言转

换为符号语言和图形语言。

3.阅读有关欧几里得的《原本》和公理化资料，感受公理化方法对数学发展和促进人

类文明进步的价值。

教学重点：感受公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事实，感受证明的过程

与格式。

教学难点：感受证明的过程与格式，能进行简单命题的推理。

四、教学过程

【第一环节】复习引入

1.活动内容

说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由。

(1)相等的角是对顶角；

(2)对顶角相等。

举•个反例就可以说明•个命题是假命题，那么如何证实•个命题是真命题呢？

2.活动目的

通过学生比较熟悉的两个命题入手，回顾上节课所学的命题的概念，并引导学生分析

两个命题的条件和结论。在判断两个命题的真假后，请学生说明理由。此时，错误的命题

可以通过举反例来辨析，而正确的命题又该如何说明呢？通过几位同学的对话，引起学生

的兴趣，并感受数学的趣味性和严谨性。

3.注意事项

由于学生对这两个命题较为熟悉，因此能够准确地说出其条件和结论，并判断其真

假。对于假命题，学生可以比较容易地通过举一个反例来说明其不成立。然而，对于真命

题，仅靠举一个例子不足以证明其普遍成立。学生可能会通过观察、实验、验证等方法来

证明。而新的问题是，用来证明的依据，又该如何证明？从而引出下一个环节的内容。

【第二环节】合作交流

L活动内容

学生交流合作，讨论“对顶角相等”这个命题该如何证明。大部分学生会考虑到利用

同角的补角相等来证明。再次抛出问题“同角的补角相等“，又该如何证明？

在证明•个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明。

同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累

了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（约前330—前275）编写了一本

书，书名为《原本》。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：

挑选/一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的

数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演

绎推理的方法进行判断。

演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。每个定理都只能用公理、定

义和已经证明为真的命题来证明。

提问：在几何证明中，哪些内容可以作为证明的依据呢？

预设：定义、图形的性质、定理（已经证明的真命题）、数与式的运算律和运算法

则、反映大小关系的有关性质等都可以作为证明的依据。

本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八

条：

（1）两点确定一条直线。

（2）两点之间线段最短。

（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：

同位角相等，两直线平行）

（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

（8）三边分别相等的两个三角形全等。

2.活动目的

引导学生经历“对顶角相等”的说理过程，体会如何由基本事实出发推导出其他定

理。通过这一过程，学生能够感悟到引入基本事实的必要性，对公理化及数学的逻辑性有

进一步的理解。此时再提出已学过的八条基本事实，加深学生的理解。

3.注意事项

教师可通过引导，使学生对“源头”产生好奇和兴趣，从而激发学生探究的积极性和

学习数学的兴趣。通过基本用实的呈现可以发现证明的依据较多，刚开始学生可能考虑得

不完整，需要教师进行引导或讲解。

【第三环节】新课讲授

1.活动内容

根据前面所认识的八条基本事实，我们可以证明下面的定理：

定理同角（或等角）的补角相等。

定理同角（或等角）的余角相等。

定理三角形的任意两边之和大卜第三边。

例1证明：同角（或等角）的补角相等。

教师引导学生一起分析：该命题中的条件和结论分别是什么？已知的是什么？要求证

的是什么？如何利用已学知识证明该命题？

根据条件和结论，写出己知、求证及证明过程。

已知：NA=NB,ZC,NO分别是N4,N8的补角。

求证：ZC=ZDo

证明：：ZC,N。分别是NA,NB的补角（已知），

・•・N4+NC=180。，/8+/。=180。（补角的定义）。

又;NA=N8（已知），

:.NC=N。（等量代换）。

接下来，就可以用“同角（或等角）的补角相等”这个定理来证明“对顶角相等”。

例2证明：对顶角相等。

参考上述定理证明过程的格式和规范，请同学们讨论，该命题中的条件和结论是什

么？图形怎样画？我们该如何写出已知，求证呢？请参考上一例题并尝试证明。

己知：如图，直线A3与直线CD相交于点O,NA0C与N80。是对顶角。

求证：ZAOC=ZBODo

分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以判定两个角相等？

证明：•・•直线A8与宜线CZ）相交于点0,

・•・NAO8和NC0。都是平角（平角的定义）。

・•・NA0C和N80。都是N40。的补角（补角的定义）。

・•・ZAOC-ZBOD（同角的补角相等）。

小结：证明命题的一般步骤如下

（1）分析命题的条件和结论。

（2）画出图形，用符号语言写出已知、求证。

（3）利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。

2.活动目的

在讲解例题时，要注意如何将文字语言，即“同角（或等角）的补角相等”“对顶角

相等”转换为符号语言和图形语言，需要明确命题中的条件（己知）和结论（求证）。再

引导学生思考在基本事实和已证定理中哪些可以证明所需结论，最后带领学生完成命题的

证明。

引导学生经历由基本事实证明“同角（或等角）的补角相等“，继而再证明“对顶角

相等”的过程。这样的递进式证明过程，可以让学生感受到公理化思想，体会数学的严谨

性，并认识证明的过程和格式。

3.注意事项

在之前的学习中，学生对证明已经有了一定的经验现累，所以推理的过程对于大部分

学生来说比较简单。难点在于如何将文字命题转换为图形语言和符号语言。因此，课堂教

学应着重引导学生分析命题的条件和结论，并将其转换为符号语言。教师需要完整的板书

示范，使学生能够模仿并按要求写出证明的过程。例1建议由老师讲解，让学生对命题的证

明过程和格式有一个较为清晰的认识。例2建议教师带着学生一起讨论、研究，由师生共同

完成.两个例题完成之后，可以让学生用自己的语言总结证明的一般步骤”

【第四环节】练习巩固

1.活动内容

请你完成定理”三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。

已知：如图，△A8C的三条边分别为AB、AC.BC.

求证：AB+AOBCxAB+BOAC；4C+4OA瓦

证明：•・•3C是以点从点C为端点的线段，

・•・48+AO8C（两点之间线段最短）。

同理，得A8+8OAC：AC+BOAB。

二角形的任怠两边之和大于第二边。

2.活动目的

通过对命题的证明，进一步强化学生将文字语言转换为符号语言和图形语言的能力，

学生也可以参考例题进行模仿，以熟悉证明的过程和格式，进一步理解几何基木事实的意

义，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，调动学生的积极性和学习兴趣，并培养学

生的表达能力。

3.注意事项

学生容易忽略用符号语言表达命题的条件和结论，建议在练习过程中，多让学生表

达、讨论，并上台板演或由学生自主讲题，学生之间可互相纠错、补充。教师在这个过程

中应起到引导和辅助的作用，同时需要注意学生的证明格式是否规范。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

（1）如何验证一个命题是真命题？

（2）在数学推理和正明中，可以作为推理依据的内容有哪些？

（3）八条基本事实有哪些？

（4）证明命题的一般步骤是什么？

（5）通过本节课的学习，你还有什么疑惑？

2.活动目的

总结本节课所学的内容，促使学生对本节课所学知识进行思考和总结，从而培养学生

的归纳、总结、表达等能力，在一个轻松的交流中，完成本节课的学习。在疑惑部分，教

师可引导学生对欧儿里得《原本》产生兴趣，培养学生学习数学的兴趣。

3.注意事项

本环节要让学生尽可能自己进行归纳总结，特别是证明命题的一般步骤。在疑惑部

分，教师可以引导学生对欢几里得《原本》产生好奇并提出问题，比如学习公理化有什么

好处？生活中是否也有类似的实例等等。

【第六环节】布置作业

1.活动内容

（1）基础性作业：习题7.2第5题。

（2）拓展性作业：习题7.2第8题。

2.活动目的

通过课后作业检测学生在本节课的学习情况。比如，对于推理演绎的过程的了解程

度，是否能够灵活运用，是否能够将文字语言转换为符号语言和图形语言等。作业第8题的

设置让学生可以通过搜集相关资料，感受公理化思想在生活中的应用，体会数学来源于生

活，生活中处处有数学，培养学生的学习兴趣。

3.注意事项

基础性作业与例1类似，学生可以通过模仿的方式完成，教师需要关注学生的文字语言

与符号语言、图形语言之间的转化，以及完成的证明格式。

拓展性作业是为了让学生更好地体会公理化思想，如交通规则就是一种典型的公理，

我们每个人都必须遵守红灯停、绿灯行等基本规则，这些公理是社会共识的体现，是大家

都认可的。再比如围棋比赛中，围棋的基本规则就相当于其公理，而各种定式就相当于其

定理。

五、教学反思

本节课的教学重点是引导学生初步感受公理化思想，同时理解证明的完整过程及其规

范的书写格式。但这些内容对于八年级的学生而言存在•定抽象性。学生在学习证明时往

往会陷入“理解易、转化难”的困境，“易”在能听懂证明的逻辑，“难”在无法顺利将

文字语言转换成符号语言与图形语言。所以教师在上课时应充分让学生感受公理化思想，

并通过规范的证明过程让学生进行模仿，以达到本节课的教学目的。

7.3平行线的证明（第1课时）教学设计

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”的第3节。内容包括：平行线

的判定方法,包括“同位角相等,两直线平行“、”内错角相等,两直线平行”和"同旁内角互

补，两直线平行，

（二）教学内容解析

本节课是平面几何逻辑推理的入门课。它从“直观感知“过渡到“逻辑论证”，要求学生

不仅能识别三线八角，还要能用已知公理或定理证明新的判定方法。这是培养学生推理能

力和数学思维的关键环节3基于以上分析，确定本节课的教学重点为：

【教学重点】了解并掌握平•行线的判定公理和定理。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

1.掌握平行线的三种判定方法，并能运用它们进行简单的推理和计算。能将文字语

言、图形语言、符号语言进行互译。

2.通过观察、操作、思考、推理等活动，经历平行线判定方法的探索和证明过程，

初步体会“转化”的数学思想，如将内错角、同旁内角问题转化为同位角问题。

（二）教学目标解析

1.初步了解证明的基本步骤和书写格式.

2会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”“同旁

内角互补，两直线平行”，并能简单应用这些结论.

3.在证明过程中，培养初步的演绎推理能力.

三、学生学情分析

已有基础：学生在七年级已经学习了平行线的定义、性质，并通过观察和动手操作知

道了“同位角相等，两直线平行”。他们具备了一定的图形识别能力和初步的归纳能力。

学习难点：从依赖更观到依赖逻辑推理的转变是最大难点。学生可能会混淆判定和性

质，在证明过程中不知如何下手，或者推理步骤不完整、理由不充分。

认知特点：八年级学生仍以具体形象思维为主，但抽象逻辑思维能力开始发展。他们

渴望通过臼主探究和合作交流来获取知识。

基于以上分析，确定教学难点如下：

【教学难点】掌握证明题的书写步骤及推理依据。

四、教学策略分析

1.情境导入法：通过回顾旧知和生活中的平行线实例，激发学生的学习兴趣。

2.引导探窕法：以”同位角相等，两直线平行”为公理基础，引导学生通过观察图形、

分析角的关系，自主探究内错角和同旁内角的判定方法。

3.合作学习法：组织小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同完成证明过程，突破

难点。

4.讲练结合法：通过教师的示范讲解和学生的独立练习,及时巩固所学知识，掌握推

理格式。

五、教学过程分析

（一）复习引入

提问：如何判断两条直线是否平行？引出”同位角相等，两直线平行”，并明确其作为

基本事实（公理）的地位。

设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储冬，降低新知识的学习难度。

（二）主动参与、感悟新知

同位角相等，两直线平行.基本事实

内错角相等，两直线平行.

同旁内角互补，两直线平行.

一些条件用加\证实其他命题

工的述性

原名、公理

基本事实两条直线被第二条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

应用格式：

如图,•••乙3二42（己知），

••.a||b（同位角相等，法直线平行）.

试证明：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

已知：如图，Z1和，2是直线a、b被直线c截出的内错角，且△1二乙2.

求证:a||b.

解：••,zJ=42（己知条件），

乙1二43（对顶角相等），

，乙2=43（等量代换）.

（同位角相等，两直线平行）.

定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简述为：内错角相等，两直线平行.

应用格式：

,•,zl=22（已知），

（内错角相等,两直线平行）.

试证明：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

如图，如和Z2是直线a、b被直线c截出的同旁内角,且N1与N2互补.求证:a||b.

证明:"1与乙2互补（已知）,

.•21+22=180。（互补的定义）.

.•.乙1=180。-，2（等式的性质）.

又••,43+42=180。（平角的定义），

.•23=180。・/2（等式的性质）.

.•21=43（等量代换）.

（同位角相等，两直线平行）.

教师提醒：还有其他证法吗？

定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简述为：同旁内角互补，两直线平行.

应用格式：

•.21+z2=180。（已知），

••・a||b（同旁内角互补,两直线平行）.

（链接针对练习）

2.画平行线

（1）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗？

一、放

二、靠

二、推

四、画

内错角相等，两直线平行

（2）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸

方法与证明过程.

【例I】如图，直线伍/2分别与直线安于点A,B,把一块含30。角的三角尺按如图所

示的位置摆放，42=105。.当N1的度数是时，A11/2.

【解析】如图.•.24=30。，々2二105。，

•.Z3=180°-Z2-Z4=1800-1050-300=45°,

•.当41=/3=45。时，/|||/2.

【解】45°

【例2】已知：如图，在中，COL4B于点。，E是4c上一点且乙1+々2=90。.求

证：DEWBC.

【解析】依据同角的余角相等，即可得到乙EOC=N2,即可得出OE118c.

【解】如图.•••CQL48（已知）,

••21+43=90。（垂直的定义）.

•••41+42=90°（已知），

.•.乙3=乙2（同角的余角相等），

'.DE^BC（内错角相等，两直线平行）.

【例3】如图所示，已知ZOKB=130。，OF平分乙EOD,"00=25°.求证：ABWCD.

【解析】根据角平分线的定义先求出乙E0。的度数，再利用同旁内角互补，两直线平

行即可证明ABIICD

【解】；。尸平分乙七O。，"00=25°（已知），

.ZEOO=50。（角平分线的定义）.

•.•40石8=130。（已知），

.•2EOO+NOEB=180。，

.-.ABWCD（同旁内角互补，两直线平行）.

□m

；铁奴

枕未

【例4】如图所示，已知乙2是直角，再测量出NI或上3的度数就可以知道两条铁轨是否

平行.

（1）若量得乙3=90。，结合42情况，说明理由.

（2）若量得乙1=90。，结合42情况，说明理由.

【解析】在两条铁轨与左边的枕木构成的“三线八角'‘中，"和42是同位角，i2和乙3是

同旁内角，结合平行线的判定定理进行说明即可.

【解】（1）•.•量得2=90。，而△2=90。，

••.42+43=180。.

根据同旁内角互补，得两条铁就平行.

（2）•••量得ZJ=9ir,而42=9（r,•••41=42.

根据同位角相等，得两条铁轨平行.

（3）（三）课堂总结

1、本节课研究了什么问题？

2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？

3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？

【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对

代数式价值的理解。

（四）布置作业、巩固提高

1.如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断ADIIBC的是（）

A.Z1=Z3B.Z2=Z4

C.zC=zCBED.ZC+ZABC=180°

2.如图，下列条件中，能判断ABIICD的是（）

A.匕FEC二4EFB

B.ZBFC+ZC=18O°

C.zBEF=zEFC

D.zC=zBFD

3.如图，能判定allb的条件是（）

A.Z1=Z5B.42+44=180°

C.Z3=Z4D.々2+21=180。

4.如图，直线a,b被直线c所截，下列条件能使a||b的是（）

A.zl=z6B.z2=z6

C.z.l=z.3D.z.5=z.7

5.如图所示，推理填空：

（1）zl=（已知），

ACHED（同位角相等，两直线平行）.

（2）vZ2=（已知），

・••ABIIFD（内错角相等，两直线平行）.

（3）vZ2+=1800（已知），

•••ACIIED（同旁内角互补，两直线平行）.

7.3平行线的证明（第2课时）教学设计

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”的第3节。内容包括：两直线

平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

（二）教学内容解析

地位与作用：本节是在学生学习了"命题、定理与证明“以及“平行线的判定”的基础

上，对平行线性质的进步研究。它是平面几何的基础知识，也是后续学习三角形、四边

形等知识的重要工具。

核心素养：通过对平行线性质的探索和证明，培养学生的逻辑推理能力、几何直观能

力和数学语言表达能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：

【教学重点】平行线的三个性质定理及其应用。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

1.能说出平行线的三条性质，并会用符号语言表示。

2.能运用平行线的性质进行简单的推理和计算。

3.经历观察、操作、猜想、推理.、交流等活动，探索平行线的性质。

4.通过对比，理解平行线的性质与判定的区别和联系。

5.在探索和合作交流的过程中，体验学习数学的乐趣，培养主动探究的精神。

（二）教学目标解析

达成目标I的标志是：学生能独立复述性质内容，并在具体图形中正确写出对应的角的

关系。

达成目标2的标志是：学生能利用平行线的性质，结合对顶角、邻补角等知识，解决求

角的度数或证明角相等的问题。

达成目标3的标志是：学生能通过测量、剪拼等方式提出猜想，并尝试用“反证法”或利

用“判定定理”进行证明.

达成目标4的标志是：学生能在具体问题中，明确何时用性质（由平行推角相等/互

补），何时用判定（由角相等/互补推平行）.

三、学生学情分析

已有基础

学生已经学习了平行线的定义、画法以及三种判定方法。

学生初步具备了一定的观察、操作和简单推理能力。

学生对“三线八角”的识别有了一定的基础。

可能困难

容易混淆平行线的性质和判定，特别是在复杂图形中。

从“判定”的正向思维转向“性质”的逆向思维存在障碍。

用严谨的数学语言进行推理和证明，对学生来说仍是难点。

辅助线的添加是后续学习的难点，本节课虽不直接要求，但需为其铺垫。

基于以上分析，确定教学难点如下：

【教学难点】平行线的性质与判定的区别，以及综合运用它们进行逻辑推理。

四、教学策略分析

1.教学方法

启发探究式：通过设置问题链，引导学生自主探索、合作交流。

对比教学法：将性质和判定进行对比，帮助学生辨析，加深理解。

讲练结合法：教师精讲点拨，学生多练巩固，及时反馈。

2.教学手段

利用多媒体课件展示图形、动画，增强直观性。

引导学生使用量角器、直尺等工具进行动手操作。

3.学法指导

鼓励学生动手实践、自主探索、合作交流。

指导学生进行对比学习，梳理知识结构。

培养学生规范的解题步骤和书写格式。

五、教学过程分析

（一）复习引入

问题1：如何判断两条直线平行？（引导学生回顾判定定理）

问题2：反过来，如果知道两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角之间有什么

关系呢？

分析：通过复习判定，创设“逆向思考"的情境，自然引入本节课主题，激发学生的探

究欲望。设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。

（二）主动参与、感悟新知

我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。

定理两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。

简述为：两直线平行，同位角相等。

己知：如图，直线AB/QD/1和，2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。

求证：zl=z2o

小证明：假设乙1#乙2,那么我们可以这点M作直线GH,使4EMH=42,如图7-10所示。

根据“同位角相等，两直线平行“，可知GH//CD,

又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD