2024人教版八年级数学上册 整数指数幂（第1课时）教学设计

18.4整数指数塞（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

i.内容

本节课是在学生已经学习了正整数指数暴和分式运算的基础上，学习负整数指数暴的相关知识。

2.内容分析

学生已经学习了正整数指数舞的概念和运算性质，本节课的核心任务是将帮的指数范围从正整数推广

到全体整数。负整数指数事的引入为科学记数法的学习铺平了道路，它使得整数指数基的性质可以统一使

用，为后续学习函数、方程等内容奠定了基础。

基于以上分析、确定本节课的教学重点为：负整数指数累的意义。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解负整数指数塞的意义.

（2）了解整数指数幕的性质并能运用它进行计算。

2.目标解析

（1）学生需要突破”指数是重复相乘的次数”这种原始认知；学生能够根据定义，将负整数指数累转

化为正整数指数基的倒数形式。

（2）学生需要知道，正整数指数幕的五条运算性质可以推广到整数指数幕，并能熟练、准确地进行整

数指数累的混合运算。

三、教学问题诊断分析

问题1：对负整数指数暴的意义理解不深刻，产生认知冲突。

应对策略：从同底数幕的除法和分式的约分入手，引导学生自主体验负整数指数累的意义，这样理解

会更自然、更深刻。

问题2：符号处理混乱。

应对策略：明确指出，底数是谁，要看有没有括号；强调负指数的意义只作用于它前面紧邻的那个底

数；设计对比练习，让学生在具体计算中体会它们的不同。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用整数指数累的性质进行计算。

四、教学过程设计

（一）复习引入

问题1你们还记得正整数挂数幕的意义吗？正整数指数界有哪些运算性质呢？

运算法则指数的职值范围

同底数寐的乘法a"'•a"=q然.〃

mt〃是正整数

底的乘方(am)n=amn〃?，〃是正整数

积的乘方(ab>)n=anbn〃是正整数

同底数底的除法am4-an=amn((r^0)〃是正整数，m>n

分式的乘方6*砌〃是正整数

问题2对于暴的运算，是否可以从正整数指数累推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯事的符号的

演变开始.

小K"，韦达2氤贯IQaa,aa…瑞

3世纪、*17世纪

4

工番图4口，Acu,Aqq哈里奥特(Harriet.156()—1621)*a\a

问题3"这种第的符号不仅简明、利于运算，而且有助尸累的运算的推广.1676年，牛顿提出了一

个设想：”因为数学家将aaa,〃〃〃〃，...写成乩/“，所以我将工，—,二一，...写成“T,

aaaaaa

“T,...”

设计意图：通过表格形式系统回顾正整数指数蕊的意义和运算性质，为后续推广到整数指数寐奠定知

识基础。展示繇的符号从古代到逅代的演变历程，引入数学史元素，激发学生的学习兴趣，让学生体会数

学符号的简洁性和发展性。通过牛顿的设想，自然地引出负整数指数球的概念，让学生理解负整数指数寐

定义的合理性。

（二）合作探究

思考1你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果”中的，〃可以是负整数，那么负整数指数累

，严表示什么？

由分式的约分可知，当时，

外+小』品..①

推广同底数超的除法am4-a〃=m”((#0)/〃，〃是正整数

a3a5=a3-5=a~2.a

O1

由①②两式，我们想到如果规定Q-2=国3工0）,就能使""+/=〃"-"这条性质也适用于像〃3+/这

样的情形.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，

数学中规定：一般地，当〃是正整数时，a-n=^（a^0）.

这就是说，〃”3#0）是/的倒数.

引入负整数指数事后，指数的取值范围就扩充到全体整数.

（今后，如无特别说明，本书中涉及的负整数指数累的底数均不为0.）

思考2引入负整数指数和0指数后，正整数指数幕的运算性质严♦"（加，〃是正整数）能否推

广到“，般是任意整数的情形?

我们从特殊情形入手进行研究.例如,

32Q3=Q3+(-5).

a•Q-$=靠=*=a~=Q3+(-5).即.a-5

-3.-5±.2_2_-8Q(-3)+(-5),即q-3,=。(-3)+(-5),

a===fl=a-5

abab

a0,a-5=1,W2=a-5=a0+^~5),即a。,a-5=a0+(-5),

Q5Q5

归纳/%"="/"(〃?，〃是整数)

（可以换其他整数指数再验证这个规律.）

探究类似地，你可以用负整数指数基或。指数幕对于其他四个正整数指数系的运算性质进行尝试，看

看这些性质在整数指数暴范围内是否还适用.

运算法则指数的取值范围

*的乘方(am)n=amn/〃，〃是整数

积的乘方(ab)n=anbn〃是整数

同底数麻的除法am4-a"=m"(附))m,〃是整数

分式的乘方钦磊（厚。）〃是整数

设计意图：从同底数寐的除接出发，对比“分式约分”和正整数指数寐除法性质推广”两种路径的

结果，让学生直观理解负整数指数寐定义的合理性。以同底数寐的乘法性质为例，通过多个特殊情形的运

算脸证，让学生体会正整数指数呆的运算性质可以推广到整数指数寐的合理性。这种“从特殊到一般”的

探究方式，培养了学生的归纳概括能力，同时为后续其他运算性质的推广做好了方法示范。

（三）典例分析

例1计算：(1)a~2-4-a5；(2)(今一2;

(3)(a-1b2)3：(4)a~2b2•(a2b~2)~3.

解⑴a~2-ra5=a-2-5=a-7=春；

⑵的

(3)(a-1b2)3=a~3b6=

(4)Q-2b2.(小匕-2)-3=a-2b2•6b6=8b8=?

总结根据整数指数鼎的运算性质，当加，〃为整数时，

am+an=am~n,

am4_a-n=am+(-n)=am-nf

因此am^an=am-a-n,

即同底数塞的除法d可以转化为同底数塞的乘法。严•小.

特别地，*=a+b=a•b~r,所以(£)"=(a,b-1)n,

即商的乘方《尸可以转化为积的乘方(a•b^y.

设计意图：通过例题帮助学生熟练掌握整数指数赛的运算方法，突破符号处理和指数运算的难点。通

过推导“同底数寐的除法可转化为同底数寐的乘法”和“商的乘方可转化为积的乘方”，深化学生对整数

指数减运算性质的理解，揭示不同运算性质之间的内在联系，帮助学生构建更系统的知识网络。

(四)巩固练习

1.填空：

(1)3°=1,3-=-；

9

⑵(-3)°=1，(-3尸二1:

(3)/?°=1b-2=士.

b乙

2.计算：⑴为一3GTy)3；(2)(2苏C-3)-2.(aW

解⑴£)厂3.(/-,)3=4-3.­=—3,3+3=尸=：.

(2)(2加，3)-2.3-2与3=(24%-%6H(a~53)=2-232，,3c6=2-2a%TcV^

3.填空：

(1)若(〃-3)-2有意义，则”的取值范围为“W3:

b2

（2）14-«_|=a；crcf2=1；（-ab~］）~2=—.

-------a2~

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情比，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（五）归纳总结

运算法则指数的取值范围

同底数兄的乘法",，〃是整数

察的乘方(am)n=amn/〃，〃是如数

积的乘方(ab)n=anbn〃是整数

mnmn

同底数箱的除法a4-a=a((r^Q)mt〃是整数

分式的乘方钞事厚。）〃是整数

一般地，当〃是正整数时，。一"=，（QH0）.

负整数指数幕

（六）感受中考

1.（2024.山东淄博）下列运算结果是正数的是（A）

A.3-1B.-32C.-|-3|D.-V3

2.（2025♦四川泸州）下列运算正确的是（C）

B.(2a尸二C.(3/)2=946D.(a-b)2=a2-b2

A.44-3。=1a

3.（2021•江苏南京）计算（M）3口江的结果是（B）

A.a2B.a3C.a5D.