2025-2026学年北师大版八年级数学上学期期末常考题之平行线的证明

2025・2026学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题

之平行线的证明

一.选择题（共8小题）

I.（2025秋•海淀区校级期中）如图，将一把长方形直尺放在一块直角三角板上，若Na=28°,则图中N

C.142°D.108°

2X2025秋•福山区期中）两个直角三角尺如图摆放，其中/=90°,NE=45°,NC=30°.若

)

C.65°D.75°

3.（2025春•埔桥区校级期中）如图，己知直线人直线石厂分别交直线人从CD丁点E,F,EM

平分乙4故交CD于点M,G是射线MD上一动点（不与点M,F重合）,EH平分NFEG交CD于点H.设

NMEH=a,NEG尸=0.下列四个式子：①2a=仇②2a-0=180°；③a-（3=30°；④2a+B=180°.其

中当点G处于线段上或者射线广D上时（不与点M,尸重合）一定成立的是（）

A.①②B.①④C.③@D.②④

4.（2025•沈河区二模）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型.已知A8

垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高：CO段则一

直保持水平状态上升（即CO与AE始终平行），在该运动过程中N4BC+NBC。的度数始终为（）

A.270°B.250,C.230°D.180°

5.（2025•凯里市校级一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的.若

水面和杯底互相平行，且/1=100°,则N2的度数为（）

6.（2025•赤峰模拟）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入

射光线分别位于法线两侧，入射角，•等于反射角法线垂直于镜面，这就是光的反射定律.若入射角

，的度数为50°,反射光线。C与镜面。8平行，则两镜面的夹角NAO8的度数为（）

A.400B.50°C.30。D.25°

7.（2025春•德州期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法

记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，

感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.如图1是某同

学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知ZE=22°,/ECD

=103°,则NA的度数为（）

A.77°B.80°C.81°D.99°

8.（2025•昆明模拟）如图,CD；/OB,CD与OA交于点、E.若NO=50°,则/OEO的度数为（

C.120°D.130°

二,填空题（共5小题）

9.（2025春•任城区校级期中）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部48与支撑平台C。平行.若

Zl=35°,Z3=160°,则N2的度数为

10.（2025春•岳阳楼区校级期中）如图，AB//CD,NQCE的角平分线CG的反向延长线和乙的角平

分线BF交于点尸,NE-N产=39°,则NE=

II.（2025•游仙区一模）如图，已知48〃CZ）〃七凡若Nl=60°,Z3=140°,则N2=

AB

I

C7D

12.（2025春•驿城区校级期中）一把直尺和一把含45°角的直角三角板按如图所示的方式置放在一起,

13.（2025•番禺区二模）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知A8〃CZ）,c表示

吸管.若Nl=76°,则N2=度.

三.解答题（共2小题）

14.（2025春•夏津县期末）如图，已知N1=N4QC,N2+N3=180°.

（I）求证：AD//CE；

（2）若D4平分NBOC,CE_L4F于点七，Zl=64°,试求的度数.

15.（2025春•锡林郭勒盟期末）如图，直线A8〃CQ,EF//GH.NAE/的角平分线交CQ于点P.

（1）NEP尸与/尸£尸相等吗？请说明理由.

（2）若NFHG=3NEPF,求NEPQ的度数.

（3）点Q为射线G"上一点，连结£Q,FQ.若/Q/；H=/FQH,且NPEQ-/EQ尸=50。，求/EQF

的度数.

2025・2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题

之平行线的证明

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案BDBACACD

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•海淀区校级期中）如图，将一把长方形直尺放在一块直角三角板上，若Na=28°,则图中/

P的度数是（）

A.152°B.118°C.142°D.108°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线：三角形：推理能力.

【答案】B

【分析】由平行线的性质推出NY=Na=28°,由三角形的外角性质即可求出N0的度数.

【解答】解：•・•直尺的对边平行，

，/丫=/。=28°,

AZ0=28O+90°=118°.

故选：B.

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出Ny=Na-

2.12025秋•福山区期中）两个直角三角尺如图摆放，其中Z£4C=/ED尸=90°,ZE=45°,ZC=30°.若

BC//EF,则N1的度数为（）

A.30°B.45°C.65°D.75°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力.

【答案】。

【分析】利用平行线的性质求出NCQE的度数，再利用N1=NEQC+NC求出N1的度数即可.

【解答】解：・・・/E=45°,BC//EF,

：・NEDC=/E=45°,

又•.•N1=NZ:〃C'+NC,NC=30",

.\ZI=ZEDC+ZC=450+30°=75°.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理等知识，正确求出NCDE和三角形外角定理是解

题的关键.

3.（2025春•埔桥区校级期中）如图，已知直线A8〃CD,直线E尸分别交直线AB,CD于点E,F,EM

平分NAEF交CD于点M,G是射线MD上一动点（不与点M,F重合）,EH平分NFEG交CD于点”.设

NMEH=a,NEGF=0.下列四个式子：①2a=仇②2a-0=180°；③a-0=30。；④2a+0=18（）°.其

中当点G处于线段"/上或者射线尸。上时（不与点M,尸重合）一定成立的是（）

A.①②B.①④C.③④D.②④

【考点】平行线的性质.

【专题】证明题：推理能力.

【答案】B

【分析】分两种情况讨论：当点G在〃的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到NAEG+NEGM=

180°,结合角平分线性质解得2a+B=180。；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错角相等得到/

FME=/AEM,结合三角形外角性质得到NEGF=NFME+NGEM=NGEM+N尸EM,解得2a=0.

【解答】解：当点G在尸的右侧时,

,/EMT分NAEF,

：.ZAEM=ZMEF=^AEF,

■:EH平分NFEG,

工/FEH=NGEH=jzFEG,

设NMEH=a,ZEGF=p,

VAB//CD,

••・NAEG+NEGM=180°,

/.ZAEF+ZFEG+ZEGM=\^°,

/.2a+p=180c,

当点G在尸的左侧时，

〈EM平分NAEF

NAEM=ZMEF=^/.AEF,

•：EH平分NFEG,

，/FEH=/GF.H=^zFEG.

设NMEH=a,ZEGF=p,

,:AB"CD,

・•・4FME=/AEM,

・•・/AEM=NFEM,

NEGF=ZFME+ZGEM=/GEM+NFE,

.*.B=2a.

综上所述，2a+p=180°或B=2a.

故①©正确，②③错误.

故选：B.

【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，属于中档题.

4.（2025•沈河区二模）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型.已知

垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲博直杆道闸的BC段将绕点K缓慢向上抬高，C。段则一

直保持水平状态上升（即C。与4E始终平行），在该运动过程中NA8C+N8C。的度数始终为（）

【考点】平行线的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】4

【分析】过点B作8G〃AE,根据铅笔模型进行计算，即可解答.

【解答】解：过点8作8G〃AE,

・・・NB4E+/4BG=180°,

•：CD//AE,

C.CD//BG,

：・NDCB+NCBG=180°,

；・NBAE+NABG+NDCB+/O3G=360°,

即NOCB+NCBA+NBAE=360°,

AZB4E=90°,

AZABC+ZBCD=270°,

故选：A.

【点评】本题考有了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

5.（2025•凯里市校级一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的.若

水面和杯底互相平行，且Nl=100°,则N2的度数为（）

C.80°D.100°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】C

【分析】根据平行线的性质解答即可.

【解答】解：如图，

•・•两条入射光线平行，

.*.Zl=Z3=100°,

VZ2+Z3=180°,

/.Z2=80°,

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

6.（2（）25•赤峰模拟）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入

射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角「，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律.若入射角

，•的度数为50°,反射光线。C与镜面平行，则两镜面的夹角NAOB的度数为（）

A

A.40°B.50°C.30°D.25°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】A

【分析】由光的反射规律可求N1=40°,再由。。〃08,可得NAO8=N1=4（）。.

【解答】解：如图，

•・・QK_LOA,Z/=50°,

/.Z/=Zr=50°,NAQK=/l+Nr=90°,

AZ1=40°,

，：CD〃OB,

・・.NAO8=Nl=40°,

故选A.

A

【点评】本题主要考查了垂直定义和平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

7.（2025春•德州期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法

记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，

感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.如图1是某同

学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB〃C。，ZE=22°,ZECD

=103°,则NA的度数为（）

E

C

D

B

图1

A.77B.80°C.81°D.99°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析【直接利用三角形外角的性质求出NE产。=81°,再利用平行线的性质得出/A=/ER7=81°

即可；

由条件可知/七产。=/改7。-NE=103°-22°=81°.

AZA=ZEFC=81°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关

键.

8.（2025♦昆明模拟）如图，CD//OB,CD与OA交于点E.若NO=50°,则NQEO的度数为（）

A

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】D

【分析】根据题意，由得到/0+/。£0=180,结合已知条件，得到结果.

【解答】解：・・・CO〃O'

・・・/O+NOEO=180°,

TN0=50°,

，/。七。=13（）°.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

9.（2025春•任城区校级期中）如阿，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部A8与支撑平台C。平行.若

Zl=35°,N3=160°,则/2的度数为55°.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】550.

【分析】过点E作E/〃A8,故可得出E尸〃CQ,再由平行线的性质即可得出结论.

【解答】解：如图，过点E作

VZ3=160°,

:,NBEF=1800-1600=20,，

VAB//CD,Zl=35°,

：.EF//CD,

：.ZMEF=Z\=35Q,

；・N2=NBEF+NMEF=200+35°=55°.

故答案为：55°.

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键.

10.（2025春•岳阳楼区校级期中）如图，AB//CD,/OCE的角平分线CG的反向延长线和NA8E的角平

分线BF交于点F,ZE-ZF=39a,则/£=86°.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】过尸作FH〃AB,依据平行线的性质，可设NABF=NEBF=a=NBFH,NDCG=/ECG=B

=NCF"，根据四边形内角和以及NE・NF=39°,即可得到NE的度数.

【解答】解：如图，过尸作

：,FH//AB//CD,

VZDCE的角平分线CG的反向延长线和N/WE的角平分线BF交于•点、F,

・•・可设ZEBF=a=NBFH,ZDCG=NECG=B=MCFH,

AZECF=180°-P，ZBFC=ZBFH-ZCFH=a-P，

工四边形8FCE中，/E+N8FC=3600-a-(1800-0)=180°-(a-(3)=180°-ZBFC,

即/E+2NBFC=180°,①

又,：ZE-/BFC=39°,

：.ZBFC=ZE-39°,②

，由①@可得，ZE+2(NE-39°)=180°,

解得NE=86°,

故答案为：86°.

【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行=同位

角相等，②两直线平行"内错角相等，③两直线平行=同旁内角互补.

II.(2025•游仙区一模)如图，已知44〃CO〃£R若Nl=60°,N3=140°,则N2=2((.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】20。.

【分析】根据平行线的性质得到N4O歹=/1=60°,NCO尸=180°-N3=40°,即可得到答案.

【解答】解：・・・A8〃ER

••・N8OF=Nl=60°,

■:CD//EF,

AZCOF=180°-Z3=180°・140°=40°,

AZ2=ZBOF-ZCOF=60°-40°=20°,

故答案为：20。.

【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握.

12.(2025春•驿城区校级期中)一把直尺和一把含45°角的直角三角板按如图所示的方式置放在一起,

若Nl=28°,则/2的度数为62°.

2

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线：推理能力.

【答案】62。.

【分析】由题意可知，AB//CD,Z4=90°,可求出N3=62°,再根据平行线的性质即可求解.

.\Z3=180°-Z1-Z4=180°-28°-90°=62°,

•:AB"CD,

AZ2=Z3=62°（两直线平行，同位角相等）,

故答案为：62。.

【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

13.（2025•番禺区二模）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知表示

吸管.若N1=76°

图①图②

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】104.

【分析】依据题意，由已知条件AB〃CO,可得N1=N3=76°,又由于N2与23是邻补角，则可得

Z2的度数.

【解答】解：如图所示，

,CAB//CD,

・・・/1=/3=76°.

,・，N2与N3是邻补角，

，N2+N3=180°.

・・・N2=180°-Z3=180°-76°=104°.

故答案为：104.

【点评】本题考查了平行线的性质及邻补角的性质，需要熟悉角之间的转化是解题的关键.

三.解答题（共2小题）

14,（2025春•夏津县期末）如图，己知N1=N5QC,Z2+Z3=I80°.

（I）求证：AD//CE；

（2）若。A平分NBDC,CELAE于点E,Zl=64°,试求/行W的度数.

【考点】平行线的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出48〃CQ,进而得出NAQC+N3=18O°,即可得出答

案；

（2）利用角平分线的定义结合已知得出NMO=NAEC=90°,即可得出答案.

【解答】（1）证明：・・・N1=/8DC,

・・・A4〃CO（同位角相等，两直线平行），

・・.N2=NAQC（两直线平行，内错角相等），

VZ2+Z3=180°,

・•・ZADC+Z3=18O°（等量代换）,

・・・AD〃CE（同旁内角互补，两直线平行）；

（2）解：VZl=ZBDC,Zl=64°,

:,NBDC=",

*：DA平分N8OC,

・•・/ADC=|ZBDC=32°（角平分线定义），

:.Z2=ZADC=320（已证），

XVCE1AE,

/.ZAEC=90°（垂直定义），

*：AD//CE（已证），

・•・/胡。=NAEC=90°（两直线平行，同位角相等），

：.ZFAB=ZFAD-Z2=90<>-32°=58°.

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出N.「AO=NAEC=90。是解题关键.

15.（2025春•锡林郭勒盟期末）如图，直线"〃CD,EF//GH,NAEb的角平分线交CO于点P.

（1）NEP/与NPE”相等吗？请说明理由.

（2）若/FHG=3/EPF,求NEFD的度数.

（3）点Q为射线G"上一点，连结EQ,FQ.若/QFH=NFQH,且/PEQ-ZEQF=50°,求NEQF

的度数.

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】（1）NEPr与NPE尸相等，理由见解答过程；

（2）72°；

（3）65°或20°.

【分析】（1）根据角平分线得凡再根据得/PE4=NEPF,由此可得出结论；

（2）设NEPF=a,则NFHG=3a,由（1）可知N"F=NPEE=N尸区4=a,根据A8〃CO得NEED

=ZAEF=2a,然后根据EG”得2a+3a=180°,由此解出a即可得出NEFQ的度数；

⑶设NEQF=B，则/PEQ=50°+＞分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，证明/1=2

1

NEFD,Z2=^ZAEF,根据C。得NI=N2,则PE"FQ,再根据平行线的性质得500+0邛=

180°,由此解出0即可得出/EQ/的度数；②当点Q在线段G”的延长线上时，过点Q作QR〃C。

交E户的延长线于R,证明N3+N2=90°,AB//QR,则/八EQ+N£QR=180°,进而得N2+50°+0+

N3+0=18O。，由此解出0即可得出NEQ尸的度数;综上所述即可得出答案.

【解答】解：（1）NEPr与NH部相等，理由如下：

•・•£「是NA"的平分线，

:,NPEA=NPEF,

・：AB〃CD,

，ZPEA=NEPF,

NEPF=/PEF；

（2）设/EP尸=a,

：.ZFHG=3ZEPF=3a,

由（1）可知：NEPF=NPEF=NPEA