2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷【测试范围：甘肃兰州专用北师大版八年级上册第1~3章】（全解全析）

八年级数学上学期期中模拟卷（甘肃兰州专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1〜3章（勾股定理+实数十位置与坐标）。

第一部分（选择题共36分）

一,选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.在一1.414,V5,m3.6,2+旧,3.21221222L..（相邻两个1之间依次增加一个2）,3.1415926这些

数中，无理数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【详解】解:-1.414,3.1415926,是有限小数,属于有理数;

3.6是循环小数，属于有理数；

无理数有遥，IT,2+百，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）,共4个.

故选：C.

2.下列几组数中，是勾股数的是（）

A.1,2,3B.0.3,0.4,0.5

C.W，",V5D.6,8,10

【答案】D

【分析】本题考查勾股数，熟记定义，注意三个数必须是正整数是解题的关键.

根据勾股数的定义：满足Q2+〃=C2的三个正整数，称为勾股数解答即可.

【详解】解：A.1+2=3,不能构成三角形，不符合题意；

B.0.32+0.42=0.52,但不是正整数，不是勾股数，不符合题意：

C.(V3)2+(V4)2(V5)2,不是勾股数，不符合题意；

D.62+82=102,是勾股数，符合题意.

故选:D.

3.要使&m■在实数范围内有意义，。满足的条件是()

A.a>0B.Q>gC.a>—D.QN—g

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如仿(aZ0)的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必

须是非负数，否则二次根式无意义.

根据被开方数是非负数列式，求解即可.

【详解】••・&£不T在实数范围内有意义，

.-.2a+1>0,

故选：D.

4.在“探索与发现展厅”有一个雷士探测器，如图，雷达探测器冽得六个目标点4B,C,D,E,厂按照规

定的目标表示方法，目标点力，8的位置分别表示为(6,120。)，(3,30°),按照此方法在表示目标C,D,E,

尸的位置时，其中表示正确的是()

240°270°3°0°

A.6(4,180°)B.0(90°,2)C.E(4,330。)D.r(1,60°)

【答案】C

【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关

键.

根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案.

【详解】解：由题意可知C、。、E、产的坐标可表示为：

A、6（5,180°）,故A错误，不符合题意；

B、。（2,90。），故B错误；不符合题意；

C、“4,330。），故C正确；符合题意；

D、F（l,240°）,故D错误，不符合题意；

故选：C.

5.如图，在△力8c中，48=1.5,8C=1.7,AC=0.8,则8c边上的高力。为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的高；根据勾股定理的逆定理得到△48C是直角三角形，结合

S^ABC=^ABAC=^C-AD,计算求解即可•

【详解】解：•MB?+AC2=1.52+0.82=2.89=1.72=BC2,

••.△48C是直角三角形，

:/BAC=90°,

•MD是Rt△ABC的斜边BC上的高,

:=加4c=•AD

.、ABAC1.5X0.812

^AD=-=^r=^

故选：B.

6.如图，以点“为圆心，4。的长为半径画弧，交数釉于点C,则点C表示的数为（）

A.V5+1B.V5-1C.-V5+1D.-V5-1

【答案】B

【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理

求线段长是解决问题的关键.

先由勾股定理求出力反再由基本尺规作图得到AC=48=遥，则。。=4:一力0=伤一1,从而得到答案.

【详解】解：如图所示：8。14;于0,

在RtZk4B0中，BD1AC,AD=2,BD=1,则由勾股定理可得='AD2+BD2=迎2+口=遥,

•••以点4为圆心，力B的长为半径画弧，交数轴于点C,

AC=AB=\/5»

则0。=力。一力。二遥一1,

・••点C表示的数为乃一1,

故选:B.

7.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙力。上，测得八。二16米.若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯

子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为()

A.20米B.16米C.12米D.24米

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设。8=＞米，得到。。=。+4)米，根据勾股定理得到4辟=。5

+OA2,CD2=OC2+。。2,结合梯子的长度不变得到力炉=CD2,列出方程进行求解即可.

【详解】解：由题意，。。=04一AC=12米，AB=CD,^AOB=LCOD=90°,

设08=%米，贝ij：。。=(3+4)米，

222222

在和Rt^COO中，由勾投定理，得：AB=OB+OAfCD=OC+0D,

.-.OB2+0A2=OC2+0D2,即:炉+162=122+(%+4/，

解得x=12,

;.0B=12米，

'-AB=y/OA24-OB2=20米：

故选：A.

8.当0VXV3时，化简J(x+1)2—J(x-3)2的正确结果是()

A.4B.-4C.2-2xD.2%-2

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：；0＜尤＜3,

••.必呼一“一产

=|x+l|-|x-3|

=^+1—(3—x)

=x+l-3+x

=2x—2,

故选:D.

9.如图，已知点P(6m-4,3m-1)在第一象限角平分线0C上，若N4P8是直角顶点，点。在0C上，角两边

与工轴y轴分别交于4点，8点，则。力+。8等于()

一

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合,由条件可知6m-4=3m-l,求出点P

的坐标为(2,2),过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为Q、E,由点尸的坐标知，

PE=PD=OD=OE=2,证明△PDA三△PEB(SAS),得出。=BE,即可得解，熟练掌握以上知识点并

灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：由条件可知6m—4=3m—1,

解得：m=1,

则点尸的坐标为(2,2),

过点尸分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为。、E,如图，

“EPD=乙EPB+乙BPD=90°,

"BPA=Z.DPA+乙BPD=90°,

:ZEPB=乙DPA,

由点P的坐标知，PE=PD=OD=OE=2,

APD/三APEBISAS）,

.'.DA=BE,

：.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2+2=4.

答案：D.

10.已知m=旧一2,m介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）

A.1<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<5

【答案】C

【分析】本题主要考查了无理数的取值范围，解题的关键是掌握无理数取值范围的方法.

先求出面的取值范围，再求m的取值范围即可.

【详解】解：•.•后<V27<V36,

•••V25-2<V27-2<V36-2

即3<m<4,

故选：C.

11.如图，在△4BC中，FC=12,AB=AC=10,将边8c沿BE翻折，使点C落在&4延长线上的点。处,

折痕与边4c交于点八则线段。力妁长为（）

【答案】C

【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键.

设4E=x,则CE=AC-AE=10-X,由折叠可得8。=BC=12,DE=CE=10-x,乙BED=4BEC=90°,

根据勾股定理在Rt△ABE^BE2=AB2-AE2,在Rt△DBE中有BE?=BD2-DE2,因此48?-AE2=BD2

—DO,代入求解得到x=2.8,从而4f=2.8,DE=CE=72,再由线段的和差即可解答.

【详解】解：设=^\CE=AC-AE=10-x,

由折置可得BD=8C=12,DE=CE=10-x,乙BED=LBEC,

•:乙BEC+乙BED=180°,

"BED=乙BEC=90°,

•.•在RtAABE中，BE2=AB2-AE2,

在RtZXDBE中，BE2=BD2-DE2,

：.A32-AE2=BD2-DE2,

即1。2一%2=122-QO一X)2,解得工=2.8,

.,.AE=2.8,DE=CE=7.2,

：.AD=DE-AE=7.2-2.8=4.4.

故选：C

12.如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注

解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在弦图中（如图2）,连接/F,DE,并延长DE交/?子

点K,连接KG.若AH=2DH=2a,则KG的长为（）

D.272

【答案】C

【分析】过点K作KMJ.C凡与CF的延长线交于点由图形关系求得力£=EF=FGW,再求得

AK=KF=*F,MK=MF=^KF,求得MK与MF,进而由勾股定理求得结果.

【详解】解：过点K作KM1C凡与Cr的延长线交于点M,

AD

""=2DH=2V2,AH=DG,

:.DH=GH=y/2,

•••EFG”是正方形，

:.EF=FG=GH=HE=y/2,AE=AH-HE=2近一近二无，

：.DH=HE,

:.Z.AEK=乙HED=乙HDE=45°,

'：Z.AEB=90°,

；zAEK=乙FEK=45°,

：.AE=EF=6

：.AF=S4E2+EF2=2,AK=KF=^AF=2=ltZ-AFE=45°,

-Z.EFM=90°,

.•zMFK=90°-乙EFK=45°,

又•:KMJLCF.

.•.△MFK是等腰直角三角形，

；.MK=MF=当KF=亭

.-.Rt△MGK中,KG=yjMK^+MG^=］住丫+俘+&丫=病

故选：C.

第二部分（非选择题共84分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）

13.已知的一2下与仿二年互为相反数，则讪的平方根是.

【答案】±4

【分析】本题考查了非负数的性质，相反数的定义，求一个数的平方根.

根据相反数的定义得到(6—2)2+7^=年=0,根据平方的非负性、算术平方根的非负性求出。、匕的值，进

而求出Qb的值，最后求好的平方根即可.

【详解】解：•••(力-2)2与7^力互为相反数，

••.(b-2)2+\Ja—B—0,

v(fc-2)2>0,>0,

:.b=2,a=8,

1.ab—16,

・,.ab的平方根是士V16=±4,

故答案为：±4.

14.如图，为了测得湖两岸力点和8点的距离，小李在C点设柱，使Z4BC=9O。，并测得AC长13米，BC

长12米，则4点和〃点之间的距离为米.

【分析】此题考查了勾股定理，正确理解题意，掌握勾股定理的计算公式是解题的关键.

根据勾股定理计算可得答案.

【详解】解：在Rt△48C中，-8=7AC2-BC2="132-量=5米.

故答案为：5.

15.如图，在四边形A8CD中，AB=BC=2cm,CD=3cm,AD=1cm,4B=90。，四边形ABCD的面积

是.

【答案】(衣+2)cm

【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理.连接AC,根据勾股定理可得AC的长，再利用勾股

定理逆定理可得△力CO为直角三角形，再根据四边形的面积等于+即可求解.

【详解】解：如图，连接4G

D

在Rt△48c中，AB=BC=2cm,

"C=+BC2=2V2cm,

在△AC。中,，:CD=3cm,AD=1cm,

2

.'.AC2+AD2=(2V2)+12=9=CD2,

•••△力。0为直角三角形，且/GID=90°,

二匹边形A8CD的面积是S△48c4-S^ADC=\ABxBC+^ADx/!C=^x2x2+|xlx2&=g+2)cm.

故答案为：(或+2)cm

16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中"方向排列，如

(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(3,0),(3,1),…，根据这个规律，第2027个点的坐标为

【答案】(2,45)

【分析】本题考查了点的坐标规律探索，由图形可得，第1个点的坐标为(1,0),第9个点的坐标为(1,2),第25

个点的坐标为(1,4),…，故第(2九一1尸个点的横坐标为1,纵坐标为2n—2(71为正整数)，求出第2025个

点的坐标为(1,44),进而即可得解，正确得出规律是解此题的关键.

【详解】解：由图形可得，第1个点的坐标为(1,0),第9个点的坐标为(1,2),第25个点的坐标为(1,4),…，

故第(2八一1尸个点的横坐标为1,纵坐标为2几一25为正整数)，

♦.•2025=(2x23-I)2,

.•.第2025个点的横坐标为1,纵坐标为2X23-2=44,

.•.第2025个点的坐标为(1,44),

•.•第2025个点向上移动一个单位是第2026个点，再向右移动一个单位是第2027个点,

.••第2026个点的坐标为(1,45),第2027个点的坐标为(2,45),

故答案为：(2,45).

三、解答题(本大题共10小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题共8分)计算：V^27+|2-V5|+/(-3)2-V5-(-I)2025.

【答案】-1.

【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根的意义，绝对值的意义，算术平方根，有理数的乘方进行运

算即可，掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解：V^27+|2-V5|+-V5-(-I)2025

=-3+(逐一2)+3-V5-(-l)

=-3+V5-2+3-V5+1

=-1.

18.(本小题共6分)在直角坐标系中，△48。的三个顶点的位置如图所示：

(1)△ABC的面积是_；

⑵画出△力3c关于歹轴的对称图形△A&Ci；

(3)写出△48c关于工轴对称的△4BC的各顶点坐标.

【答案】(1)5.5

(2)见解析

⑶才(-2,-3),⑶(-3,-1),C(l,2)

【分析】本题考查了利用轴对称变换作图和求三角形的面积，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是

解题的关键.

(1)利用割补法将图中△ABC分割成一个长方形减去三个三角形的面积即可得出答案；

(2)根据点关于y轴对称的特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出4、Bi、Ci三点坐标，然后顺次

连接即可得到△4为Ci；

(3)根据点关于x轴对称的特征“横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出4、夕、。三点坐标即可.

【详解】(1)解：的面积为：4x5-1x3x5-|x2xl-|x4x3=5.5；

444

故答案为：5.5；

(2)解：根据平面直角坐标系可知：A(—2,3)、。(一3,1)、C(l,-2)f

关于歹轴对称的点坐标分别为：4(2,3)、31(3,1)、Ci(-l,-2),

描点，连线，如图所示，△Ai%。即为所求；

(3)解：•••△/8。关于*轴对称的图形为445。，

•••△4/。的各顶点坐标为：4(一2,—3),方(一3,—1),0(1,2).

19.(本小题共6分)如图，已知两直角边4C=6cm,BC=8cm,点。为8c上一点，现将Rt△48c

沿40折叠，使点C落在斜边48上的点E处，

(1)求BE的长：

⑵求CD的长.

【答案】(l)4cm

(2)3cm

【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾

股定理列出方程是解题的关键.

（1）先根据勾股定理求得48的长，再根据折叠的性质求得4E=4C=6cm,进而即可求出的长.

（2）在Rt△BOB中，用勾股定理列方程即可求得CD的长.

【详解】（1）解：-AC=6cm,SC=8cm,zC=90°,

:.AB=VAC24-BC2=10cm,

根据翻折的性质可得AC=AE=G,

则BE=10cm-6cm=4cm.

（2）解：设CD=%cm,由折叠可知：CD=DE=xcm,LAED=LACD=Z-DEB=90°,

BD=（8—x）cm

在RSBOE中，BE2+DE2=BD2,

/.42+x2=（8—x）2,

解得：x=3cm,

•••CD的长为3cm.

20.（本小题共6分）已知b与c满足VFTW+|c-2|=0,某正数的平方根分别是Q+3和2a-15,d是绝对

值最小的数.

（1）求Q、b、c、d的值.

（2）求（Q+6）2025+Q_3）2026_（d_1）2027的值.

【答案】（1）Q=4,b=-3,c=2,d=0

（2）3

【分析】本题考查了非负数的性质、平方根的定义、绝对值的意义、求代数式的值，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

（1）根据非负数的性质即可求出》=-3,c=2,根据平方根的定义即可求出a=4,再根据绝对值的意义

即可得出d=0：

（2）将（1）中各个字母的值代人所求代数式计算即可得解.

【洋解】（1）解：vVFT3+|c-2|=0,VF+^>0,\c-2\>0,

.•・b+3=0,c—2=0,

.•.b=—3,c=2,

•••正数的平方根分别是a+3和2a-15,

：.a+3+2Q—15=0,

解得：a=4,

••建是绝对值最小的数,

.-.d=0：

(2)解：由(1)可得Q=4,b=-3,c=2,d=0,

(a+b)2°25+(c_3)2026_3_1)2027

=[4+(-3)]2025+(2-3)2026_(0_1)2027

=产025+(_1)2O26_(一1)2027

=1+1-(-1)

=3.

21.(本小题共6分)如图所示，一个体积为27cm3的正方体容器内，力点位置上有一只蜘蛛，4点上有一

只蚊子.

（1）正方体的边长为_cm；

（2）求蜘蛛到蚊子的最短路线长度.

（3）若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度.

【答案】（1）3

（2）蜘蛛爬行的最短路径为3遍cm

（3）竹签的最大长度为3bcm

【分析】本题主要考杳了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算;

（I）根据求一个数的立方根即可得到答案；

（2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可；

（3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可；

【详解】（1）解：v33=27

.•.正方体的变成为3,

故答案为:3；

（2）解：如图所示，线段44为蜘蛛爬行的最短路线.

B

在RtZkARC中,

AC=6cm,BC=3cm

AB=+BC2=J62+32=3V5cm

.•.蜘蛛爬行的最短路成为3诉cm

(3)解：在RtZSACD中,

AC=3cmCD=3cm

AD=y/AC2+CD2=J32+32=3&cm

在ABO中，

AD=3V2cm,BD=3cm,

AD=4AD2+BD2=J（3&f+32=3怎m

所以竹签的最大长度为375cm

22.（本小题共6分）已知：如图，四边形力8co中，AB=BC=1,CD=瓜4。=1,且乙8=90。，试求:

（1）2B4D的度数.

（2）四边形/8CD的面积（结果保留根号）.

【答案】（1）135。

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角.

（1）连接北，根据勾股定理得到4C=VL根据等边对等角得到乙BAC=乙BCA=45°,根据CD?=AD2+/1

。2可知乙64c=90°,进而可知乙68。=135°：

（2）根据三角形面积公式计算即可.

【详解】（1）解：连接AC,如图，

：.AC=加，乙BAC=Z.BCA=45°,

又・；CD=®AD=1,

2

••.（仃『=12+（A/2）,

222

BPCD=AD+ACf

"DAC=90°,

,^BAD=135°；

（2）解：由（1）知△48。和△ADC是直角三角豚

・••S四边形ABCD=S^ABC+S&ADC=1x1x1xV2x1=1+-y«

23.（本小胭共8分）观察下列等式，并回答下列问题：

@|1-V2|=V2-1;

②=75一我：

@|V3-V4|=V4-V3；

④一遍|=V5-V4；

（1）请写出第⑤个等式：；计算|g—4|=.

（2）写出你猜想的第〃个等式：（用含〃的式子表示）.

（3）比较竽与1的大小.

【答案】（1）1V遍|=而一遍；4—

(2)\yfn—Vn+1|=Vn4-1—x/n

(3浮vl

【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运

用是解题的关键.

(1)根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于|代一4|=|/百一旧|,可以根据规律得到结果；

(2)由前4个等式可以猜想第〃个等式为|①一7^?钉|=

(3)利用作差法比较大小.

【详解】(1)解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：I遥一遍|二遍一遍，

|V15-4|=|V15-Vl6|=V16-V15=4-V15,

故答案为：\近-#>\=巫一炳;4—V15.

(2)解：由前4个等式可以猜想第〃个等式为|逐一WT|=而不1一诉，

故答案为：、瓜―迎+1|=：几+1一瓜.

(3)解：•.与•_：1=竽_9=券=%^<0,

.•早<1.

24.(本小题共8分)【课本再现】

(1)如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两

直角边长分别为a,b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾

股定理。2+产=。2.请写出证明过程.

【类比迁移】

(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2,若a=3,b=4,则空白部分的面积为

【能力提升】

(3)如图3,在△4BC中，是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设80的长为均请求出工的值.

Q

【答案】（1）见解析；（2）13；（3）x=l

【分析】（1）利用以。为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为（a+b）的正方形的面积建立方

程，即可得出结论；

（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积可得答案；

（3）设BD的长为刈^iCD=BC-BD=6-x,根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：（1）依题意，•••大的正方形的面积可以表示为（。十》）？，

大的正方形的面积还可以表示为C?+4x^ab=c2+2ab

.,.（a+b）2=c2+2ab

.,.a2+2ab+b2=c2+2ab

•••a2+b2=c2；

（2）空白部分的面积=边长为c的正方形的面积一2个直角三角形的面积=c2-2x与比

va=3,b=4,

.•.空白部分的面积=32+42-2x；x3x4=25-12=13；

（3）•••设3D的长为x,则。。==6一%

“D是8C边上的高

"D1BC

“82-BD2=AC2-CD2

.-.42—x2=52—（6—%）2

解得％=*

25.（本小题共8分）（1）问题①：如图1,长方形4BCD中，AB=CD,AD=BC,

/-ABC=乙BCD=/.CDA=乙DAB=90°,则4c与8。的数量关系是.

②如图2,P是长方形A8CD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现4P2+cp2与8p2

+0尸2的数量关系为.

（2）探究：如图3,P是长方形ABC。外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程：若

不戌立，请说明理由.

（3）应用结论：如图4,在△4DC中，DA=5,CD=12,8是△4DC内一点，且OB=3,/-ABC=90°,

则4C的最小值=

【答案】(1)①/C=BD；@AP2+CP2=BP24-DP2；(2)成立，理由见解析；(3)4国一3

【分析】本题是勾股定理证明平方关系.

(1)①由勾股定理可得人。2=加)2+0。2,BD2=AD2+AB2f再结合=即可得出结论；

②过P作PMJLjO于M,交BC于N,则四边形718NM、四边形OCNM是长方形，得AM=BN,

AB=MN=DC,DM=CN,再由勾股定理即可得出结论：

(2)过P作PM_L4D于M,交BC于N,则四边形ABNM、四边形DCNM是长方形，得AM=BN,

AB=MN=DC,DM=CN,再由勾股定理即可得出结论；

(3)以A。、8。为边作长方形力DBE,连接CE、DE,则48=DE,由探究得：CD2+CE2=CA2+CB2,求

出CE=4乃，当C、D、E三点共线时，DE最小，即可得出结论.

【详解】解：(1)©-LABC=乙BCD=Z.CDA=乙DAB=90°,

.-.AC2=AD2+DC2,BD2=AD2-i-AB2,

-AB=CD,

:.AC2=BD2,

"C=BD,

故答案为：AC=BD-

②如图，过P作PM14。于M,交BC于N,

则四边形力BNM、四边形OCNM是长方形，

'.AM=BN,AB=MN=DC,DM=CN,

222222222222

由勾股定理得：AP=AM+PM,CP=CN+PNtBP=BN+PNtDP=DM+PM,

22222222222

•••AP+CP=AM+PM+CN+PN2,BP+DP=BN+PN+DM+PMt

.•.AP2+CP2=BP2+DP2,

故答案为：AP2+CP2=BP2+DP2；

（2）成立，理由如下:

如图，过P作PMJL4。于M,交BC于N,

则四边形48NM、四边形DCNM是长方形，

:.AM=BN,AB=MN=DC,DM=CN,

222222222222

由勾股定理得：AP=AM+PM,CP=CN+PNtBP=F/V+P/V,DP=DM+PM,

AP2+CP'Z=AM2+PM2+CN2+PN2,BP2+DP2=BN2+PN2+DM2+PM2,

AP2+CP2=BP2+DP2；

(3)如图，以48、8c为边作长方形ABCE,连接BE、DE,

由（1）中规律可得AC=BE,

由⑵得：BD2+DE2=DA2+DC2,

•••D4=5,CD=12,DB=3,

.-.32+DE2=52+122,

解得：DE=4/15,

当B、0、E三点共线时，BE最小，

•MC的最小值=BE的最小值=DE-DB=4710-3,

故答案为：4x/w-3.

26.（本小题共10分）如图，平面直角坐标系中，点4在第一象限，A8J.%轴于8,ACJ.y轴于C,4（a力）,

且G,匕满足|a