2025-2026学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案。

1.（3分）将一元二次方程5f-l=4x化成一股形式后，二次项系数为正，则常数项是（）

A.1B.5C.-4D.-1

2.（3分）起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（）

3.(3分)用配方法解一元二次方程/-10x+16=0,此方程可化为()

A.(x+5)2=41B.(x-5)2=9C.(x+5)2=9D.(x-5)2=21

4.（3分）抛物线y=-2r2+3向右平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（)

A.y=-2X2+2B.y=-2(x+1)2+3

C.y=-2(.v-1)2+3D.y=-2x2+4

5.(3分)如图，/C是。。的直径，NADB=37°()

A.67°B.60°C.53°D.45°

6.（3分）关于x的一元二次方程q=0的两个根分别是3,-6,贝ijp、4的值为（）

A.〃=3,q=2B.p=3,q=-18C.p=2,q=-18D.p=l,q=\

7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段。力与x轴负半轴的夹角为45°,将线段O力绕点。顺时针

旋转105°到线段O/T,则点4的坐标为（）

第1页（共24页）

y

X

A.（-1）B.（1,V3）C.（T，V3）D.1）

8.（3分）今年是中国人民抗Fl陆争暨世界反法西斯战争胜利8D周年，很多爱国主义题材电影上映，电影

《731》取材真实，屠戮百姓进行人体实验的罪恶行径.某平台统计上映首日观影人次约900万，第三

天观影人次约1089万，则可列方程为（）

A.900（l+2v）=1089B.900（1+x）2=1089

C.1089(1-x)2=900D.900(1+x)3=I()89

9.（3分）如图，在OO中，半径OA绕圆心O顺时针旋转90°到OC前的中点，直径DE交弦AB于点F,若

0/1=13,AF=5A/2()

C.15D.I0V2

10.（3分）如图1,在菱形48CO中，对角线4C,动点P从点力出发沿着48运动至点见再沿8C运动

至点C,0P2=y,y关于x的函数图象如图2,其中点M为图象的最低点，则点N的纵坐标为（）

D.5

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答

题卡的指定位置。

II.（3分）已知点力（a,-1）与点4（5,b）关于原点对称

第2页（共24页）

12.（3分）关于x的一元二次方程-6x+〃z=（）有实数根，请写出一个符合题意的小的

值.

13.（3分）如图1是化学实验中制取蒸储水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，最

大深度CD=2cm,则圆底烧瓶截面。。的半径为an.

图1图2

14.（3分）某商品现在的售价为每件6（）元，每虽期可卖出300件，市场调查发现：每涨价1元，设涨价

戈元，每星期利润为y元

15.（3分）如图，在等腰直角△48C中，AB=AC=4,E分别是边8C,的中点（45VaV180）,连接

BD,并取其中点凡当为直角三角形时，线段）的长为

16.（3分）已知二次函数y=af+（3a-1）x-3"为常数，且。工0）.下列五个结论：

①该函数图象经过点（-3,0）；

②若。=1,则当xV-2时，y随x增大而减小；

③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；

④若关于x的方程+（3a-1）x-3=（）有一个根大于（）且小于工，则42；

2

⑤若。＞2,则关于x的方程|”2+（36/-1）x-31=3的负实数根只有一个.

其中一定正确的是.（填写正确序号）

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步

骤或画出图形。

17.（8分）解方程：?+6x-7=0.

18,（8分）如图，在。中，/ACB=^（0V〃V180）得到点C的对应点E恰好落在边/也

上，连接8。.

第3页（共24页）

(1)若a=50,求NC8。的度数：

(2)当空=时，点E恰好为的中点.

BF

19.(8分)如图，某小区规划在一个长16〃?，宽9/〃的矩形场地/ACQ上，使其中两条与平行，另一

条与力。平行，若草坪部分总面积为求小路的宽.

AD

BC

20.(8分)如图，四边形力88是。。的内接四边形，4H上BD于点H,AB=BC.

(1)判断△川"7的形状，并证明你的结论；

(2)若NABD=3NCAD,AB=2加，求8。的长.

A

21.(8分)如图，是由边长为1的小正方形组成的4X5的网格，每个小正方形的顶点叫格点.△/吕。的

三个顶点都是格点，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示

(1)如图1,点P是力C与网格线的交点.

①在图1中，画点。，使四边形。为平行四边形；

②在①的基础上，在8C上画点O,使射线尸。平分平行四边形力8QC的面积；

(2)在图2中，先画点立使点4绕点尸顺时针旋转90°到点C；

(3)在(2)的基础上，画点力关于点G的中心对称点M.

第4页(共24页)

22.（10分）某公交车刹车后的行驶速度u（单位：〃疝）与刹车后的行驶!时间/（单位：s）具有一次函数

关系（单位：〃力与刹车后的行驶时间/（单位：s）具有二次函数关系，整理得下表.

刹车后的行驶时间/（单位：S）•♦•01234

刹车后的行驶速度V（单位：〃的）•••1615141312

刹车后的行驶距离y（单位：小）015.53043.556

（1）直接写出v关于/的函数解析式和丁关于/的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？

②求当公交车刹车后行驶的路程是87.5m时的速度；

（3）某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以4〃曲的速度匀速行驶,

为避免发生交通事故

23.（10分）在△48。中，ZJC5=90°,将△H8C绕点。逆时针旋转a°得到△OEC,连接8E.

（1）如图1,求证:AB上BE；

（2）如图2,过点E作政〃44交力。的延长线于点立

①若力。=2,EF=3,求力户的长.

②若AB=2点，当48力E的面积最大时，直接写出△力C。的面积.

24.（12分）已知，抛物线Ci：

（1）若k=」，抛物线G与直线/交于4B两点、（力在3的左边）.

2

①求44两点的坐标；

②如图I,点。是直线/下方的抛物线上一点，连接C8交y轴于点。，求点C的横坐标;

第5页（共24页）

（2）如图2,平移抛物线C],使它的顶点为（°,百）得到新的抛物线C2.直线/：y=Ax与C2交于

2

点、E,F,过原点。另作直线G〃交抛物线C2于点G,〃，连接EG,FlhN,请你探究与ON的

图1图2

第6页（共24页）

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参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DCBCCBDBAA

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案。

1.（3分）将一元二次方程5f-l=4x化成一般形式后，二次项系数为正，则常数项是（）

A.1B.5C.-4D.-1

【解答】解:5?-5=4x,

5X6-4X-1=6,

••・常数项是-1,

故选：

【解答】解：选项力、8、。都不能找到一个点，所以不是中心对称图形.

选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合.

故选：C.

3.（3分）用配方法解一元二次方程x2-10rH6=0,此方程可化为（）

A.（x+5）2=41B.（x-5）2=9C.（x+5）2=9D.（x・5）2=21

【解答】解：由题知,

第7页（共24页）

X2-IOx+16=O,

?-10.v=-16,

x2-10x+25=-16+25,

（x-5）5=9,

显然只有4选项符合题意.

故选：B.

4.（3分）抛物线y=-"+3向右平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（）

A.y=-2^+2B.y=-2（户1）2+3

C.y=-2（x-1）2+3D.尸-ZV2+4

【解答】解：抛物线y=-2?+5向右平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为y=-2（x-3）2+3,

故选：C.

5.（3分）如图，力。是OO的直径，NADB=37°（）

A.67°B.60°C.53°D.45°

【解答】解：・・"。是。。的直径，

:・/ABC=90",

,:/C=/ADB=37°,

:.NBAC=9*-ZC=53°,

故选：C.

6.（3分）关于x的一元二次方程/+川+令=0的两个根分别是3,-6,则〃、q的值为（）

A.p=3,q=2B.p=3,q=-18C.p=2,q=-18D.p=1,q=\

【解答】解：根据根与系数的关系得到

3X（-6）=q,4+（-6）=-p,

工解得p=3,q=-18.

故选:B.

7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段04与x轴负半轴的夹角为45°,将线段。力绕点。顺时针

旋转105°到线段04,则点彳的坐标为（）

第8页（共24页）

y

X

A.（-V3，1）B.（1,V3）C.（T，V3）D.（V3，1）

【解答】解：过点H作轴于点儿

•・•将线段OA绕点。顺时针旋转105°到线段OA\

，N/lOH=105°,OA'=OA=2,

••・N4O4=180°-45°-105°=30°,

；・AB=g0k=1率OA，=V§,

OI

，点4的坐标为（内，3）.

故选：D.

8.（3分）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利8。周年，很多爱国主义题材电影上映，电影

《731》取材真实，屠戮百姓进行人体实验的罪恶行径.某平台统计上映首日观影人次约900万，第三

天观影人次约1089万，则可列方程为（）

A.900（l+2v）=1089B.900（1+x）2=1089

C.1089（1-x）2=900D.900（1+x）3=1089

【解答】解：根据题意得：900（1+x）2=1089.

故选：B.

9.（3分）如图，在。。中，半径OA绕圆心O顺时针旋转90°到OC前的中点，直径DE交弦AB于点凡若

04=13,AF=5A/2（）

第9页（共24页）

A.4V13B.13C.15D.10V2

【解答】解：连接4C、CF,

:。是正中点，

且CG=4G,

VZAOC=90°,

AZABC=45°,

•・・。。垂直平分8C,

:・FC=FB,

:・/FCB=/FBC=45°,

，△。心为等腰直角三角形，即NCP8=NB=90°,

VOA=OC=\3,ZAOC=W,

••・4C=13近，

在RtZ\/C£中，CF=dw2-AF7迎=

・・・C8=&CF=24,

在RtZXCOG中，（9=｛其2/8,

:.DG=OD-0G=8,

在RlZXOCG中，6*CG2+DG8后;

故选：A.

10.（3分）如图1,在菱形片灰；。中，对角线4C,动点。从点力出发沿着48运动至点氏再沿8c运动

第10页（共24页）

至点C,OP2=y,y关于X的函数图象如图2,其中点M为图象的最低点，则点N的纵坐标为（)

图1图2

A.丝B.2^1^C.13.D.5

933

【解答】解：・・,点”（3,4）为图象的最低点，

，此时。P_L44,月尸=22=4,

：・NAPO=NOPB=90°,。尸=5,

-\OA=y/13,OB2=OP2+PB（\

•・•四边形力8CD是菱形，

SBD,

••・//。4=90°,

：.OB2=AB2-OA6,

：.AB2-OA2=OP2+PB2,

:.（尸8+3）373=4+*

:.PB=L,

3

•・•点N为两段曲线的公共点，此时点P在点8处，

・•・点N的纵坐标为。82=3+尸解=丝，

9

故选：A.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答

题卡的指定位置。

11.（3分）已知点力（a,-1）与点3（5,b）关于原点对称・4.

【解答】解：根据题意，点力（。，b）关于原点对称，

・••根据关于原点对称的点的坐标性质，。=-5,

/.a+b--4.

故答案为：-7.

第11页（共24页）

12.（3分）关于x的一元二次方程，-6/〃，=0有实数根，请写出一个符合题意的刀的值1（答案不

唯一）.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程f-6x+〃?=6有实数根，

.・・△=（-6）2・7机20,

解得：〃?W9,

・•・满足条件的，〃值6（答案不唯一）.

故答案为：1（答案不唯一）.

13.（3分）如图1是化学实验中制取蒸储水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，最

大深度CO=2cm,则圆底烧瓶截面CO的半径为5cm.

【解答】解：由题意得，OC1AB,

：,AC=^4B=3cm,

2

设O0的半径为xcm,则OA=OD=xcm,

：.OC=OD-CD=（x-2）（an）,

在△XOC中，AC2+OC3=OA2,

即46+（x-2）2=x6,

解得：x=5,

・•・OO的半径为5cm

故答案为：6.

14.（3分）某商品现在的售价为每件60元，每虽期可卖出300件，市场调查发现：每涨价1元，设涨价

x元，每星期利润为y元-=元+20）（300-l（）x）.

【解答】解:根据题意得：y=（x+20）（300-lO.v）,

故答案为：y=（A-+20）（300-10A）.

15.（3分）如图，在等腰直角△48C中，AB=AC=4,E分别是边8C,的中点（45<aV180）,连接

第12页（共24页）

BD,并取其中点E当△48。为直角三角形时，线段£尸的长为或\巧+2—.

【解答】解：・."8=/C=4,。为8c中点,

:・BC=4巫,ADAE=春忠,且△月瓦？为直角三角形,

乙乙

当NADB=90°时，如图,

此时a=90°,

AZDAB=ZDAE=45°,

过E作EGLBD于点G,则EG=GO=仝AD=&,

2

•・・O/=&BD=&，

2

••GF=8V2»

22

在RtaGE/中，^=VGE-K；F=^10;

当NB4D=90°时，如图，

此时a=135°,

如图，延长EA交BC于点、H,

•・•/是4。中点，，是AC中点，

：.FH//AC,且尸〃=Xlx（2后常+2,

22

•••△FEH为直角三角形,

第13页（共24页）

:.EF=FH=M+2;

综上，E户的长为，15或加+2.

故答案为：痴或后+2.

16.（3分）已知二次函数y=a，+（3a・1）x・3为常数，且aWO）.下列五个结论：

①该函数图象经过点（-3,0）；

②若a=l,则当xV-2时，y随x增大而减小；

③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；

④若关于x的方程a/+（3a-1）x-3=0有一个根大于0且小于/则。>2；

⑤若。>2,则关于x的方程|a/+（3CL1）x-3|=3的负实数根只有一个.

其中一定正确的是①②④.（填写正确序号）

【解答】解：把x=-3代入二次函数y=a/+（5口-1）x-3中，得y=8a-9q+3-8=0,

故该函数图象经过点（-3,3）,符合题意；

当。=1时，该二次函数开口向.上3?二4,=-1,

2a

当x<-8时，y随x增大而减小，

故当xV-2时，y随x增大而减小；

VA=/>2-Sac=（3。7）8+12。=（3a+l）3>0,

・•・该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；

由①可知关于x的方程17〃-1）x-3有一个根为-7,

设另一个根为X2，由根与系数的关系可知-3・X6=-3，

a

/.X2=—,

a

•・•关于x的方程/+（3a-6）戈-3=0有一个根大于5且小于£

2

A8<X<X,

a6

解得。>2,故④正确；

当”>2时，对称轴为直线x=--二1互」<（）,

2a25a

则关于x的方程ax2+C5a-1）x-3=-2有两个非正解，

将尸渥+（3〃-6）x-3在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数产依2+（5。-1）.「3|的图象,

第14页（共24页）

令y=6,则直线y=3与y=\ax2+(5a-1)x-3|共有4个不同交点，

其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，

即关于x的方程加2+(3a-2)x-3|=3的负数根有7个或3个，故⑤错误.

故正确的有①②④，

故答案为：①②④.

三、解答题(共8小题，共72分)下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步

骤或画出图形。

17.(8分)解方程：F+6X-7=0.

【解答】解：・・・/+6工-3=0,

/.(x+7)(x-7)=0,

/.XI=-6或X2=1.

18.(8分)如图，在△45C中，/ACB=90"(0VaV180)得到点。的对应点E恰好落在边力8

上，连接40.

(1)若a=5(),求NC8O的度数;

时，点E恰好为/也的中点.

【解答】解：(1)绕点I顺时针旋转ct°(0<a<180)得到△4OE,

；・/DAE=/8AC=a=5OC,AD=AB,

第15页(共24页)

，/ABD=—NBAD=180°-5°=65

23

VZ/15C=900-ZBAC=40:,

AZCBD=ZABD+ABC=105°；

连接AF.

VZAED=90°，点E是彳8的中点,

:•BD=AD,BF=AF,

：.NBAF=N/4C,

•:AB=AD,

:.4ABD是等边三角形，

；・NBAC=NBAD=60°,

：.ZBAF=ZABC=30Q,

AZCAF=ABAC-ZBAF=60°・30°=30°,

：,CF=^AF=^~,

22

・CF1

BF8

故答案为：1.

2

19.（8分）如图，某小区规划在一个长16〃?，宽9”的矩形场地/8CQ上，使其中两条与45平行，另一

条与平行，若草坪部分总面积为112〃落求小路的宽.

AD

BC

【解答】解：设小路的宽度为m?,

那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x）,（9-x）.

第16页（共24页）

根据题意即可得出方程为：（16・2x）（9-.r）=112,

解得XI=7,X2=16.

V16>9,

・・・x=16不符合题意，舍去，

，x=5.

答：小路的宽为lw.

20.（8分）如图，四边形/也CO是的内接四边形，AHLBD于点H,蕊二丽.

（1）判断△48。的形状，并证明你的结论；

（2）若NABD=3NC4D,双=2般,求的长.

【解答】解：（1）结论：△/EC是等边三角形.

理由：'CAHLBD,ZDAH=30°,

/.ZADH=ZACB=90°-30°=60°,

VAB=BC，

：・AB=BC,

•••△48C是等边三角形；

（2）:△48。是等边三角形，

AZJ5C=60°,

•:NCAD=NCBD,N4BD=3NC4D,

••・ZABD=3ZCBD,

/.ZABD=45°,ZC5£>=15°,

TAH上BD,

：・AB=7娓,

:・AH=BH=2娓,

:.DH=近4H=5,

3

BD=BH+DH=2A/3+8.

第17页（共24页）

21.（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的4X5的网格，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的

三个顶点都是格点，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示

（1）如图1,点尸是/1C与网格线的交点.

①在图1中，画点。，使四边形力8OC为平行四边形；

②在①的基础上，在8c上画点O,使射线PO平分平行四边形力4OC的面积;

（2）在图2中，先画点凡使点力绕点尸顺时针旋转90°到点C；

（3）在（2）的基础上，画点力关于点G的中心对称点A7.

【解答】解：（1）①如图I,点。即为所求.

②如图1,连接力。交8c于点O,

此时射线PO平分平行四边形力8DC的面积，

则点。即为所求.

图1

（2）如图8,点尸和射线/尸即为所求.

（3）如图2,延长力8至点£过点E作8c的平分线,

则点M即为所求.

22.（10分）某公交车刹车后的行驶速度v（单位：〃?/s）与刹车后的行驶时间/（单位：s）具有一次函数

关系（单位：机）与刹车后的行驶时间/（单位：s）具有二次函数关系，整理得下表.

刹车后的行驶时间/（单位：5）•••01234

第18页（共24页）

刹车后的行驶速度V（单位：〃心）•••1615141312

刹车后的行驶距离，（单位：加）015.53()43.556

（1）直接写出'，关于/的函数解析式和y关于z的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？

②求当公交车刹车后行驶的路程是87.5m时的速度；

（3）某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以4〃力的速度匀速行驶,

.Jk=-1

,九二16，

/.v=-/+16；

设旷=。3+力)+。，

C=5

工，a+b'+c=15.5-

.4a+4b'+c=30

ra=-0.5

•・・<b'=16.

c=3

-0.5P+16/：

(2)①由题意，当公交车停下时，即-廿16=0,

.•"=16s.

••・公交车刹车后行驶16秒才能停下来.

②由题意，当)，=87.5时6+163

・•・-0.5/6+⑹=87.5.

:.(/-5)(L27)=3.

.*./=5或f=27.

W16,

•**t=5.

，此时速度v=・5+16=11(Ms).

第19页（共24页）

(3)由题意得，公交车刹车咫离为y=-0.5/2+16/,电瓶车行驶距离为43

・••两者距离差为：d=-0.4?+16/-4t=-6.5P+12/.

・•・这是开口向下的二次函数，顶点在t-----或一"1加5+]2xi2=72

2X(-Q.5)

，公交车至少在距离电瓶车72机处开始刹车.

23.(10分)在△/14C中，ZACB=90°,将△/3。绕点。逆时针旋转a°得到△。七C,连接4E.

(1)如图1,求证：AB±BEi

(2)如图2,过点E作E/〃,44交/C的延长线于点尺

①若力。=2,EF=3,求力户的长.

②若AB=2&，当△8OE的面积最大时，直接写出△4CQ的面积.

；・/A=/CDA=/CBE=/CEB=90°—、.

2

VZACB=9Qa,

AZABC+ZA=ZABC+ZCBE=ZEBA=90°,

：.ABA.BE；

(2)解：①连接。巴

,:EF〃AB,

/.ZJ+Z£^=180°,N产E8+N/18E=180°,

VZJ=ZJDC,ZJ5F=90°,

:・/EFC=/BDC,NFEB=/4BE=90".

♦：/CBE=/CEB,

:・/CBD=NCEF.

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又,：CB=CE,

:.4CBDmACEF(AAS),

:・EF=BD=3.

*0=5,

：.AB=ED=5.

在RtAEBD中,ZABE=90°,

由勾股定理得：EB2=ED^-5D2=16,

:・EB=4.

♦：EF〃AB,EF=BD,

・•・四边形BEFD为平行四边形.

:.EB=FD=6.

在RtZ\/。产中，NADF=90°,

由勾股定理得：AF2=AD2+DF1=20,

・・・AF=2泥；

②由(1)知BPZJB£=90°,

由旋转可知DE=AB=2心

:•当BD=BE,即七为等腰直角三角形时，

此时AQ=AE=2,NRC口=4S0,

'：CD=CA,

/.ZOD=ZCD/4=67.8°,

/.ZABC=22.5°,

如图，作点4关于8C对称点4,过4作4H_L48,

则N43C=NX8C=22.5°,AB=AB=2如,

，乙484=45°,

•••△/月”为等腰直角三角形，

:,AH=BH=2,

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:B・A『2V^，

乙

，S^ABC=^SAABA=V§，

2

•:BD=2,

:.AD=2近-2,

:、S"CD=第落f7

•••△/C。的面积为4-l.

24.（12分）已知，抛物线。：y=lx2+x-2与直线八y=h（k手。）.

2

（1）若k=」，抛物线Cl与宣线/交于，，B两点（4在4的左边）.

2

①求48两点的坐标；

②如图1,点。是直线/下方的抛物线上一点，连接C8交y轴于点。，求点C的横坐标；

（2）如图2,平移抛物线G,使它的顶点为（0,