2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末常考题之空间向量与立体几何

20252026学年上学期高二数学北师大期末必刷常考题之空间

向量与立体几何

一.选择题(共6小题)

I.在四棱锥尸-A8C。中，AB=(2,3,-1),AC=(-2,0,1),AP=(3,一1,一2),则该四棱锥

的高为()

2.已知)=(遮,1,0),b=(-2,0,0),则＜；,办是()

A.30°B.60°C.150°D.120°

3.已知。=(1,3,-2),b=(m,2,m+1),若316,则小的值为()

A.6B.-6C.4D.-4

4.如图，在空间直角坐标系中，有一楂长为2的正方体ABCO-4/3ICIOI,AiC的中点E到A3的距离为

()

A.2B.1C.2y[2D.迎

5.在空间直角坐标系中，已知点4(1,0,0),B(1,0,1),C(1,1,1),则点A到直线BC的距离

是()

A.1B.2C.yf2D.2N/2

6.如图，空间四边形O4BC中，OA=a,OB=b,A=2,点、N在力上,且ON=NA,点M为RC中

点，则NM=()

0

IT1-1TIT1-*IT

A.-a—~b+~cB.-a-b+-c

222222

ITLIT

・a+h+CD.-a+-b--c

C-222222

二.多选题（共3小题）

（多选）7.在棱长为1的正方体"CO-AiBiCWi中，点尸在底面人BC。内运动（含边界;,点E是棱

ca的中点，则（）

A.若尸是棱AD的中点，则E”〃平面ABC

B.若以_L平面以。归，则六.是AC'上靠近。的四等分点

C.点E到平面BiQiC的距离为当

D.若F在棱A6上运动，则点尸到直线由£的距离最小值为|«

（多选）8.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面48CO是边长为2的正方形，平面48CD,PA=2,

B.\BE\=6

V6

C.异面直线BE与PA夹角的余弦值为一

6

D.点E到平面84c的距离为I

（多选）9.在棱长为1的正方体人8c0-4用。。1中，点尸在底面ABC。内运动（含边界）点、E是棱

CG的中点，则下列说法正确的是（）

TT1

A.若AF=/L4D,且所〃平面ABC则％=今

ttq

B.^AF=AAD,则存在入E（0,1）,使得cosNP/iF建

TQT

C.若律_1_平面81D1E,则//=%C

D.若於=而，则直线A。与平面。|。尸所成角的正弦值的取值范围是停，争

三.填空题（共4小题）

10.已知:二（-3,2,4）,b=（1,5,-1）,^i\a-b\=.

11.如图，若平行六面体ABCD-MB\C\D\的所有棱长均为2,且n・cZi=-2,则<7g，CC1>

=，异面直线A8与CCj所成角的大小为.

12.已知正方体ABCO-A/iCiP的楂长为1,且满足法=%61+yM?+zDBi，且x+y+z=l,则向量法

的模的最小值是.

13.已知上海地处东经120°527至122°12,，北纬30°40'至31°53'之间，地球半径为6371.004府.则

纬线所在两平面的距离是.（精确到0.001h〃）

四.解答题（共2小题）

14.如图，在四棱锥尸-ABCD中，以_1平面A8c。，AB//CD,ABA.AD,PA=AD=CD=2AB.E为棱

PC上一点，BELPC,平面ABE与棱PO交于点F.

（1）求证：尸为夕。的中点；

（2）求证：平面/%£>_!_平面PC。

（3）若人8=1,求二面角8-/C-P的余弦值.

p

15.如图，在四棱锥尸-ASC。中，F_L平面八6c。，ACA.AD,ABA.BC,NSCA=6()°，AP=AC=AD

=2,E为CO的中点，M在上，且薪=2M%.

(1)求证：EM〃平面PAD；

(2)求平面力。与平面PBC夹角的余弦值；

(3)求点M到平面PCD的距离.

E

D

20252026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之空间

向量与立体几何

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案DCCDAC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ABDACDACD

一.选择题（共6小题）

I.在四棱锥尸-A8CO中，AB=（2,3,-1）,AC=（-2,0,1）,AP=（3,一1,一2）,则该四棱锥

的高为（）

遮

D.—

5

【考•点】空间中点到平面的距离；棱锥的结构特征.

【专•题】转化思想；分析法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】求出平面ABQ）的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果.

【解答】解：设平面A8CQ的一个法向量为£y,z）,

所以即代+3y<=0,

Ucn=0U2x+z=0

令z=2,可得x=1,），=0；

所以:=(1,0,2),

则点P到平面ABCD的距离为空犯=|3+0-4|_V5

22

MlVl+2—5

故选：D.

【点评】此题考查用空间向量法求解点到平面距离，属于简单题.

2.已知之=(遮，1,0),b=(-2,0,0),则日，力是()

A.30°B.60°C.150°D.120°

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用空间向量的夹角公式求出cos〈Z心，结合向量夹角的取值范围可得出日，^的大小.

【解答】解：因为Z=L0),b=(-2,0,0),

—T

由题意可得cos〈a,b〉==-/^=-续

\:a\-2\b\2X22

因为0。<(a,b)<180°,故而，b)=150°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，属于基础题.

3.已知Q=(L3,—2),b=(m,2,m+1),若Q1b,则的值为()

A.6B.-6C.4D.-4

【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出m的值.

【解答】解：已知Q=(1/3,—2),力=(m,2,m+1),若Z1b,

故m+6-2(m+1)=0,解得机=4.

故选；C.

【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

4.如图，在空间直角坐标系中，有一•棱长为2的正方体A3CO-4加CIOI,AiC的中点E到A8的距离为

()

A.2B.1c.2V2D.V2

【考点】空间中点到直.线的距离及两平行直线间的距离.

【专题】计算题：转化思想；向量法：空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】。

【分析】先根据坐标系求出七和A8的方向向最，再利用点到直线的距离的向量求法即可.

【解答】解：•・•正方体的校长为2,

AC的中点E(1,1,1),A(2,0,0),B(2,2,0),

：.AB=(0,2,0),成二(-1,1,1),

TTAFARxATTT

：.cos{AE,AB)=_>f\AE\cos(AE,48)=1,

I阳明

的中点E到人B距离为：d=^\AE\2-(\AE\-cosiAE,AB))2=41.

故选：D.

【点评】本题主要考查点到直线距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

5.在空间直角坐标系中，己知点A(l,0,0),3(1,0,1),C(1,1,1),则点A到直线的距离

是()

A.1B.2C.V2D.2\[2

【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据向量法，即可求解.

【解答】解：因为在空间直角坐标系中，4(1,0,0),B(1,0,I),C(I,1,1),

所以力%二(0,0,1),BC=(0,1,0),

所以点A到直线3c的距离是|几『一("升y=(1-A2=1.

故答案为：A.

【点评】本题考查点到直线的距离的求解，向量法的应用，属基础题.

6.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,A=2点N在扇上,且ON=NA,点M为BC中

点，则薪=()

1T1T1T1T1-1T

A.-a—-b+-cB.一Q+一b+-c

222222

IT1?IT1-1TIT

C.-”+56+5cD.-a+~b--c

222222

【考点】空间向量基底表示空间向量.

【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算即可得解.

T1T1TTTTTTT11T1->

【解答】解：根据条件：NA=^OA=5Q,AB=OB-OA=b-a,BM=BC=^(OC-OB)=1c-

t1T1T1t1T1T

所以京=NA+AB+BM=^a+ba+-c--b-a+-b+-

22222C.

J

故选：C.

【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，是基础题.

二多选题（共3小题）

（多选）7.在棱长为1的正方体ABCD-4用CD中，点尸在底面ABCD内运动（含边界;，点E是棱

CCi的中点，则（）

A.若尸是棱AO的中点，则E/〃平面481c

B.若E”_L平面与。|£,则/是AC上靠近。的四等分点

C.点E到平面81OC的距离为日

D.若/在棱人8上运动，则点/到直线小七的距离最小值为|代

【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行.

【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑思维；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用面面平行证明线面平行，判断4

建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断B；

利用等体积法求得点到直线的距离C；

利用向量法求得点到直线的距离判断D.

【解答】解：对于选项4,如图，取。。的中点M,连接ME、ME

因为点M、尸是CO、4。的中点，所以M/〃AC,

因为MFC平面ABC,4Cu平面A8C,

所以〃平面/WC,

同理ME〃。。，且。Ci〃A8i,所以

因为MEG平面ABC,4B1U平面4BC,

所以ME〃平面ABC,

且MEnMr=A/,ME、MFu平面ME凡

所以平面M£“〃平面AB\C,

因为EFu平面MER所以£尸〃平面A81C,故选项A正确；

对于选项&若尸是4C上靠近C的四等分点，

以Z）为坐标原点，DA.DC、DDi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

13

--

44

1

-11T

所以=4—2)»B[E=(-1,0，—2),B]D]=(-1，—1,0)»

因为EF•Bl】=0,EF-BiE=0,

所以还IB]-EF1I\E,

即七凡LBIQI,EF±B\E,且BEiCBiE=Bi,4101、3iEu平面4iQi£,

所以石RL平面BIDIE,且过点E只有1条直线和平面BIOIE垂直，

则点尸是唯一的，点尸是AC上靠近。的四等分点，故选项8正确；

对于选项C，因为E是棱C。的中点，

所以点上到平面AIOC的距离为ci点到平面与。（的距离的;，

由题意可得△8iOiC是等边三角形，且&。1=或，

设。点到平面8iAC的距禽为d,

由%1-B/1C=%-BiDiG，

所以&$皿£>1（7Xd.-qSA8[D[C]XCC],

oo

所以工xyfixy/2xsin—xd=-x1x1x1,

232

解得d=字，

所以点石到平面小。C的距离为座，故选项C不正确；

6

对于选项。，若点尸在棱A8上运动，设尸（1,y,0）,OWyWl,

T1T

BrE=(-1,0,-FBX=(0,1-y,1),

则点尸到BE的距离心=点：一（极学与=

1I。闺

当1y=1时，d的最小值为7—,故选项D正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查立体几何综合问题，以及向量法的应用，属于中档题.

(多选)8.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A4C。是边长为2的正方形，见_1_平面/18。。，PA=2,

B.\BE\=6

C.异面直线8E与附夹角的余弦值为由

6

D.点E到平面84C的距离为1

【考点】空间中点到平面的距离；异面直线及其所成的角；空间向量的数乘及线性运算.

【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解；空间想象.

【答案】ACD

【分析】根据空间向量的线性运算可判断选项A；以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求空

间两点间距离以及异面直线所成角，从而判断选项B和C；根据点到平面距离的定义可判断选项。.

【解答】解：因为%_L平面A8CD,AB,AOu平面ABC。，

所以以PALAD,

又四边形48CQ为正方形，所以A8L4。，

故AB,AD,AP两两互相垂直，

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(0,I,I),

选项A,BE=BA+AE=-AB+^AD+^AP=^AP-AB故选项A正确；

LLL乙

选项&BE=(-2,1,1),\BE\=V4+1+1=V6,故选项B错误；

选项C,因为藁二(-2,1,1),AP=(0,0,2),

TT

所以直线与布夹角的余弦值为墨粤=三="，故选项C正确；

\BE\-\AP\76X26

选项D,因为小J_平面4BCZ),

所以点P到平面BAC的距离为公=2,

又E是尸。的中点，

1

所以点E到平面8AC的距离为5P4=1,故选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握空间向量的线性运算,利用向量法求异面直线所成角，

以及点到平面距离的定义是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

(多选)9.在棱长为1的正方体A8CD・48ICIDI中，点尸在底面ABCD内运动(含边界)点E是棱

C。的中点，则下列说法正确的是()

A.若兄＜=/1元)，.且E/〃平面4BC,则，=*

B.^AF=AAD,则存在入£(O,I),使得ros/C/iF二1

TRT

C.若M_L平面B1U1E,则CF=%C

D.若前=4垣则直线A。与平面。叱所成角的正弦值的取值范围是［字，净

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；平面的法向量.

【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解.

【答案】ACD

【分析】建立空间直角出标系，利用向量法逐项计算.

【解答】解：以。为原点，分别以D4、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则A(l,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Ai(1,0,I),B\(I,1,1),Cl(0,

\,1),Di(0,0,1),

所以£(0,1,1),

对于4：由第=〃H),

得而=DA+AAD=(1,0,0)+A(-1,0,0)=(1-A,0,0),

所以F(1-入，0,0),EF=(1-1,-1),

AB±=(0,1,1),AC=(-1,1,0),

因为E/〃平面A3iC,

所以外，ABlf公共面，

所以存在x,yGR,EF=xABt+yAC,

1

=--

2

1

得

解=--

2

1

=-

2

对于4：由4,=-1,0),8/=(一九一1,-1),

r-1U/CDE1B[D].B1FA+l5

所；|以cosZD//=—=,=%,

四。11|8/|Vzjz+A2

解得2=3或入=%故4错误；

TT1

对于C：/。1=(一1,-1,0),BXE=(-1,0,一2),

设平面8]。归的法向量三=(x,y,z),

oXy=o

-Tn1

"X-z

o2

令

则y

所以n=(l,-1,一2)是平面小。石的一个法向量,

因为石凡L平面BiDiE,

1

-

〃-

/=〃4

/lg11

叫

b-『

所-

Q--

1-4

I-=人3

2b-

l\~=4

1□

所以产弓，30)，

所以齐•二(一,,0),又启=(-1,1,0),所以6=白后，故C正确；

对于。：因为前=/而，点尸在底面ABCO内运动(含边界)，所以0W入《1,

且赤=加+46=(1,0,0)+入(0,1,0)=(1,A,0),所以F(1,入,0),

设平面。1。户的法向量薪=(均，y「Zi),DF=(1,九0),DDr=(0,0,1),

所以秒.方=。，即产：俨=0,

(m-DDi=00-u

令幻=入，则yi=-l,zi=0,

所以m=(a,—1,0)是平面Qi。尸的一个法向量,

设直线AC\与平面D\DF所成角为0,

则或皿=均吗=1产

存J-+1

令，=1+入，则入=f・1,正［1,2］,

1

所以sin。=

/3-J(t-l)2+l店小―、+£v,f3-j2(1-i)2+1

因为函数丁=2(1-1)2+^f=I时取得最大值I,在1=2时取得最小值今

所以sin0的最小值为吃=半，最大值为一—;==£

取3V3xJ3

即所求取值范围是停,净，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题.

三,填空题(共4小题)

10.已知％=(-3,2,4),b=(1,5,-1),则=5/.

【考点】空间向量线性运算的坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】5V2.

【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示及模长的坐标表示求解.

【解答】解：向量7=(1,5,-1),a=(-3,2,4),

则［-'(-3,2,4)-(1,5,-1)=(-4,-3,5),

所以日-b\=J(一4/+(-3)2+52=5V2.

故答案为：5V2.

【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题.

T—TT2TC

11.如图，若平行六面体ABCD-A\B\C\D\的所有棱长均为2,.目•CC.=-2,则<AB,CC1>=—

TC

异面直线AB与CC1所成角的大小为二;

【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角.

【专题】转化思想；综合法；空间角；运算求解.

…生、27rn

【答案】丁-

【分析】利用向量数量积计算公式计算可得〈几，C、〉，由异面直线所成角定义可得异面直线48与。。

所成角的大小.

【解答】解：因平行六面体ABC。-A山iCiD的所有棱长均为2,且6・£1二一2,

%/乙ABCC-21

故C0S(48,CCy)=—..=H}==-

lABHCCilzxz'

TTTT27r

因为0WC48,CCX)<7T,所以〈48,CG)=等，

又异面更线所成角的范围为(0,乱

故异面直线AB与CC1所成角的大小为兀-竽=*

故答案为：一；千

33

【点评】本题考查空间向量的夹角公式及异面直线所成角的定义，属基础题.

12.已知正方休人“CD-人的棱长为1,且满足法=久++加"+20五，且x+y+z=l,则向量法

的模的最小值是一也

【考点】空间向量的数乘及线性运算；空间中点到平面的距离.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

“2^3

【答案】丁.

【分析】结合空间向量的线性运算进行转化，结合共面定理可得，|0E|的最小值为点。到平面DiAC

的距高，结合空间距禽的求解即可求.

【解答】解：方体ABCQ-AiBCQ的棱长为1,且满足法=以%+），拓+ZDB］，且x+j+z=l,

：,DE-DDi=x（DA-瓜）+y（DC-丽］），即。;E=xI\A+y°：C,

由共面向量定理得，Di,E,A,C四点共面，即点E在平面。MC上，则|法|的最小值为点。到平面

。14。的距离，

以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则。（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,D\（0,

0,2）,

：Sc=(-2,2,0),A、=(-2,0,2),DA=(2,0,0),

设平面。lAC的法向量为〃=(x,y,z),则卜fF=°'即「2%+2y=0,

AD^n=0,1-2x4-2z=0,

T

令x=l,则〃=(1,I,1),则点。到平面C的距离4=隼卷=专=孥,

即|法|的最小值是竽.

2-73

故答案为：—.

【点评】本题主要考查了空间向量在空间距离求解中的应用，属于中档题.

13.已知上海地处东经120°52'至122°⑵，北纬30°40'至31°53r之间，地球半径为6371.004M.则

纬线所在两平面的距离是135.283面?.（精确到0.001加?）

【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离.

【专•题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维.

【答案】135.283%.

【分析】先求出纬度差，两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长,

由弧长公式能求出结果.

【解答】解：•・•上海地处东经120°52'至122°12',北纬30°40'至31°53,之间，

纬度差为31°53'-30°40'=1°13',

两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，

角度为1°13'所对应的弧长，

•・•地球半径为6371.0046，

・•・纬线所在两平面的距离为：

1°13'x焉x6371.004《135.2836.

故答案为：135.2833?.

【点评】本题考查弧长公式、空间中面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

四.解答题(共2小题)

14.如图，在四棱锥P-/WCO中，例_1_平面4ACD,AB//CD,ABA.AD,PA=AD=CD=2/\B.E为棱

PC上一点，BE上PC,平面人BE与棱尸。交于点F.

(1)求证：尸为尸。的中点；

(2)求证：平面力Q_L平面PCQ；

(3)若A3=l,求二面角B-尸C-P的余弦值.

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直.

【专题】对应思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】(1)由于办L面A8CQ,并且AB,AOu面A8CO,

则可以得到以_L48,且附_LA。，

设A4=l,则在Rt△以3中，根据勾股定理可得P3=办勿+4P2=瓜

由于人8〃人。，并且人B_LA。，AD=CD=2AB=2,

则8c=J(2-1尸+22=遥,所以尸8=8C,

由于BE_LPC,则可知E为尸C的中点，

由于48〃CD,ABC面PC。，并且CDu面PCD,

故可以得到相〃面PCD,

由于面ABEFQ^PCD=EF,贝I」AB〃石产，

故CO〃石尸，则可以证明尸为PD的中点；

(2)因为例=4/),尸为尸。的中点，则4nLPD,

11

由(易得EF〃CD,EF="D,乂因为〃AB=^CD,

1)乙4BCQ,乙

所以可得EF=AB,

则可知四边形4BE厂是平行四边形，

则BE//AF,

又因为胡工LPC,所以AFJ_PC,

由于/＜门〃。=〃，PC,产Lfu面产CD,

则可以得至1」人产」■面PCD，

由于AFu面PAD.

则面以。，面PCD；

(3)”

7

【分析】(1)利用直线与平面的平行的判定定理和性质定理证得AB〃EF,再结合三角形的中位线即得

产为P。的中点；

(2)利用直线与平面垂直求证出A/_L平面PCQ,再结合平面与平面的垂直判定定理求证即可；

(3)根据题目条件，建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得平面4c尸的法向量和平面PCO的法

向量结合二面角8-PC-。的平面角是锐角从而求出二面角8-R7-P的余弦值.

【解答】证明：(1)由于小1面/WC7),并且人8,人。u面A8CO,

则可以得到用_LAB,且网L4Z),

设48=1,则在中，根据勾股定理可得PB=VAB?+4P?=瓜

由于A8〃A。，并且AB_L4。，AD=CD=2AB=2,

则BC=J(2-1)2+22=花，所以PB=BC,

由于3£_LPC,则可知£为PC的中点，

由于AB//CD,八8仁面PCD,并且COu面PCD,

故可以得到人8〃面PC7),

由于面48EFG面〃。。=£：立则AB//EF,

W3//EF,则可以证明/为P。的中点；

(2)因为以=AQ,尸为P。的中点，则A£LPO,

由(1)易得EF//CD,EF二CD,又因为A8〃CD,AB=^CD,

所以可得EF〃A8,EF=AB,

则可知四边形A/3E产是平行四边形，

则BE//AF,

又因为BE_LPC,所以4口LPC,

由于PCnPD=尸，PC,PDcfiPCD,

则可以得到AhL面PCD,

由于AFu面PAD,

则面以。，面PCD；

解：(3)建立如下图所示的空间直角坐标系：

则A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),D(2,0,0),F(1,0,I),

故辰=(2,1,0),而=(L-1,1),AF=(1,0,1),

设平面BCF的一个法向量为蓝二(x,y,z),

则卜g二°，可以得到俨+y=。，

[mBF=0,(x-y+z=0.

令x=-1,则y=2,z=3,

所以可得m=(1,2,3),

由（2）已证A凡L面PC。,

故京=（1,0,1）为平面PCZ）的一个法向量,

.TT

-1+3_々

所以|cosVm,力尸＞|=|75^714,~~,

\m\\AF\

由图知二面角8■尸C-。的平面角为锐角，

所以二面角B-FC-P的余弦值为

【点评】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的平面角，属于中档题.

15.如图，在四棱锥P-48c。中，％_L平面/WCQ,ACA-AD,ABA.BC,N8cA=60°,AP=AC=AD

=2,E为CO的中点，M在A8上，且薪=2M%.

（I）求证：EM〃平面PADx

（2）求平面布。与平面夹角的余弦值；

（3）求点M到平面PCO的距离.

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；空间中点到平面的距离；直线与平面平行.

【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；运算求解；空间想象.

【答案】（1）证明过程请见解答；（2）竺；（3）岭色.

73

【分析】（1）以A为原点建系，易得平面力。的法向量薪，再证明扇•扇=0即可；

（2）利用空间向量法求解面面角即可;

（3）利用空间向量法求解点面距离即可.

【解答】（1）证明：由题意知，AD,AC,AP两两垂直,

故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),0(2,0,0),C(0,2,0),8(一',0),E(l,1,0),P(0,0,2),

TT网

由AM=2M8,得M(一学，1,0),

T口

所以£M=(一与-1,0,0),

易知平面必。的一个法向量为蔡=（0,1,0）,

所以扇•[=(一字-1)X0+0X14-0X0=0,即俞1局,

又EMC平面PAD,

所以〃平面PAD.

⑵解:由（1）得而二（0,2,一2）,左二（苧，0）,

n-PC=2y-2z=0

设平面P8C的法向量为几=Q,y,z）,则

n-RC=^.r+1y=0

令x=-l,得y=V5,z=V3,所以n=(一1,V5,V3),

而平面PAD的一个法向量为TH=（0/1,0）,

mi“J、nm43

所以cos<n,m>=———=-7=—=

|n||m|v7xl7

V21

故平面玄。与平面PBC夹角的余弦值为

TT

73

(3)解：由题意知，PC=(0,2,-2),PD=(2,0,-2),EM=(-lx0,0),

3

设平面PCQ的法向量为方=(%b,c),则1pf=2"-2c=°

(pPD=2a-2c=0

令C=1,得力=1,4=1,所以p=(l,1,1),

T.4Tl1+V3

所以点M到平面PCD的距离为粤口=

IPIV33

【点评】本题考查立体几何的淙合应用，熟练掌握利用向量法证明线面平行，求面面角与点到平面的距

离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

考点卡片

1.棱锥的结构特征

【知识点的认识】

1.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥.用

顶点和底面各顶点的字母表示，M：S-ABCD.

2.认识棱锥

棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面.

棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

棱铢的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

棱性的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的对角面：棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面.

3.棱锥的结构特征

底面是多边形

棱锥、

(2.侧面是三角形

根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：

平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比.

4.棱锥的分类

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的楂锥叫做正楂锥.正棱锥的各个

侧面都是全等的等腰三角形.

5.棱锥的体积公式

设棱锥的底面积为S,高为近

2.异面直线及其所成的角

【知识点的认识】

1、异面直线所成的角：

直线。，人是异面直线，经过空间任意一点0,作直线。'，b',并使〃小////b.我们把直线标

和〃'所成的锐角（或直角）叫做异面直线。和〃所成的角.异面直线所成的角的范围：（0,当6

=90°时，称两条异面直线互相垂直.

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线.

3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

1.余弦定理：在△ABC中，有

a2=b2+C2—2bccosA，

b2=a24-c2-2accosB，

c2=a2+〃-labcQsC・

L222

2.余弦定理的推论：cosA=+，

2bc

a2^c2-b2

cosB=--------------，

lac

a3+b»2-c2

cosC=--------------.

lab

3.直线与平面平行

【知识点的认识】

1、直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行：，那么这条直线和这个平面平行.用符号表示为：若

bua,a//b>贝"a//a.

2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对尸平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直

线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.

1、直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

用符号表示为：若au0,anp=/?,贝ij

2、直线和平面平行的性质定理的实质是：

已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行.即由线面平行=线线平

行.

由线面平行=线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知宜线平行.

正确的结论是：”〃a,若bua,则〃与〃的关系是：异面或平行.即平面a内的直线分成两大类，一类与

。平行有无数条，另一类与〃异面，也有无数条.

4.平面与平面垂直

【知识点的认识】

平面与平面垂直的判定：

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

平面与平面垂直的性质：

性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直.

5.空间向量的数乘及线性运算

【知识点的认识】

1.空间向量的数乘运算

实数人与空间向量Z的乘积4之仍是一个向量，称为向量的数乘运算.

①当入＞0时，入;与3的方向相同；

②当人〈0时，，/I；与之的方向相反；

③当人=0时，Aa=0.

@|Aa|=|A|*|a|

元的长度是［的长度的|A|倍.

2.运算律

空间向量的数乘满足分配律及结合律.

(1)分配律：@A(a+b)=Aa+Ab

②(入+|i)a=Aa+na

(2)结合律：AQza)=(Ag)a

注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如4±2等无法计算.

【解题方法点拨】

-标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘.

-浅性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果.

【命题方向】

-句量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运尊.

人>0X<0

6.空间向量的数量积运算

【知识点的认识】

1.空间向量的夹角

已知两个非零向量之、b,在空间中任取一点O,作&=a,OB=b,则NAO3叫做向量联与行的夹角，

记作Va，b>.

2.空间向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量;、b,则向|b|cos<2,叫做向量：与b的数量枳，记作a・b,即彘

TfTfT

b=|a||b|cos<a,b>

（2）几何意义：；与6的数量积等于靛勺长度而与了在之的方向上的投影向cose的乘积，或6的长度而