2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末必刷常考题之函数

20252026学年上学期高一数学北师大版)期末必刷常考题之函数

一,选择题(共6小题)

I.已知函数y=log〃(3x-8)+27(«>0,oWl)的图像恒过定点P,P在冢函数/(x)图象上，则也)的

值为()

11

A.8B.4C.一D.一

R4

2.若函数y=/(x)的定义域是[0,4],则函数g(x)=萼的定义域是()

A.[0,2]B.[0,2)C.[0,1)U(1,2]D.[0,4]

3.函数y=lg的单调递增区间是()

A.(0,5)B.(・8，5)C.(5,10)D.(5,+~)

4.已知函数/(x)=满足：对任意加，X2WR，当川Kr时，都有|/(xi)-/(X2)J

(XI-X2)>0成立，则实数a的取值范围是()

A.电1]B.(/，2]C.[2,+8)D.[1,2]

5.设偶函数/(公的定义域为R,当文日0,+8)时，/(x)是增函数，则/(-2),/(n),/(-3)的

大小关系是()

A./(-2)</(7T)<f(-3)B.f(n)</(-2)</(-3)

C./(-2)</(-3)</(TT)D./(-3)</(-2)</(n)

6.函数为定义在R上的偶函数，在。+8)上单调递增，则不等式/(x-2)>/(3)的解集为()

A.(-1,5)B.(-5,1)

C.(-8,-5)U(1,+oo)D.(-8,-])U(5,+8)

二.多选题(共3小题)

(多选)7.下列函数中，在区间(-8,2)上单调递减的是()

A.f(x)=|x-2|B.g(%)=一占

C.h(x)=ex~D.(p(x)=//!(2-x)

(多选)8.已知定义在R上的函数/(x)满足对任意的x,户均有/(x+y)=f(x)+f(>-)-1,且当x

>0时，/(外>1,则下列结论正确的是()

A./(0)=1

B.若/(4)=5,则/(I)=2

C.f(x)是R上的减函数

D.若/(4)=9,则不等式/(』-2)</(3x)+4的解集是(-1,4)

(多选)9.已知事函数/(X)的图象经过点(27,3V3),则()

A./(x)的定义域为［0,+8)

B./(x)的值域为［0,+8)

C./(x)是偶函数

D./(x)的单调增区间为［0,+8)

三,填空题(共4小题)

10.给定函数f(x)=x+4,g(x)=r-VxGR,用m(x)表示f(x),g(x)中的最小者，记为m

(x)=min{f(x),g(x)},当.rW(-2,2)时，in(x)的最大值为.

(X2,X>1,

11.若/■(%)=a是在R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为______________.

((1+^)x+a,x<1.

2

12.若函数/(无)二3%一笔号-在区间［-2025,2025］上的最小值为-3,则最大值为.

13.已知鼎函数/(x)=(〃?2-2〃］+2)・y过点(2,1),则机+〃=.

四.解答题(共2小题)

14.已知基函数y=/(x)的图象过点(2,1).

(1)求/(“)的表达式，并写出其单调区间：

(2)若0V/(4+l)W/(4-2a),求实数a的取值范围.

1

I5.已知函数/(x)是定义在［-3,3］上的奇函数，当0cxW3时，/(%)=1x2+x+1.

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)若/(a+1)+fC2a-1)>0,求实数〃的取值范围.

20252026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CCAACD

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ADABDABD

一.选择题（共6小题）

I.已知函数尸log“（3.1-8）+27（〃>0,aKl）的图像恒过定点P,P在常函数/（x）图象上，则/（今的

值为（）

11

A.8B.4C.一D.一

84

【考点】求幕函数的解析式；对数函数图象特征与底数的关系.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据对数函数和基函数的图象特点和定义求解即可.

【解答】解：令3x-8=l,即工=3时y=27,点。的坐标为（3,27）.

设f（X）=.0

则3a=27,所以a=3,所以/（x）=.，.

所以「弓）=（33=）

故选：C.

【点评】本题主要考查了对数函数及塞函数性质的应用，属于基础题.

2.若函数y=/（x）的定义域是[。，4],则函数g（x）=4字的定义域是（）

A.[0,21B.[0,2）C.[0,1）U（1,2]D.[0,4]

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】函数g(x)=4算有意义，只需0W2.1W4,且X-1W0,解不等式即可得到所求定义域..

人JL

【解答】解：由函数y=/(x)的定义域是[0,4],

可得函数g(x)=4孕有意义，

人JL

只需0W21W4,且x・1N0,

解得0WxW2且xHl.

故选：C.

【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意定义域的含义和分式的分母不为0,考查运算能力，属于

基础题.

3.函数y=lg(10x-?)的单调递增区间是()

A.(0,5)B.(・8，5)C.(5,10)D.(5,+~)

【考点】复合函数的单调性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】先利用对数函数的定义域得到OVxV10,再结合复合函数的性质求解单调区间即可.

【解答】解：根据题意，函数)，=/g(l(k-P),设/=0r-*,则)，=/%

由IOx-/>O,解得OVxVIO,即函数的定义域为(0,10),

由二次函数性质得y=10x-『在(0,5)上单调递增，在(5,10)上单调递减，

由对数函数性质得y=/gx在(0,+8)上单调递增，

则)，=々(10.V-?)的单调递增区间是(0,5).

故选：A.

【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题.

4.已知函数/(%)=I。。l)"+4a，"〈I满足：对任意工],X26R，当时，都有-f(X2)]

U2-ax+6,x>1

(xi-X2)>0成立，则实数a的取值范围是()

A.0,1]B.2]C.[2,+8)D.[1,2]

【考点】由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据给定条件，确定函数/(x)的单调性，再利用分段函数单调性列式求解.

【解答】解：已知函数/+满足：对任意M,X26R,当川时，都有(7(加)

［x2-ax+6,x>1

-f(X2)］(xi-X2)>0成立.

得函数/(x)在R上单调递增，

3a-1>0

<1，

(7a—1<7—a

解得:<a<1,

所以实数。的取值范围是［，1］.

故选：A.

【点评】本题考查了分段函数的单调性，属中档题.

5.设偶函数/(x)的定义域为R,当届［0,+8)时，/(x)是增函数，则/(-2),/(n),/(-3)的

大小关系是()

A./(-2)</(IT)</(-3)B./(n)</(-2)</(-3)

C./(-2)</(-3)</(n)D./(-3)</(-2)<f(ir)

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间［().+8)上，然后利用函数的单调性比较大

小关系.

【解答】解：♦・♦/(1是定义域为R的偶函数,

・••/(-3)=/(3),/(-2)=/(2).

•・•函数/(x)在［0,+8)上是增函数，

/./(IT)>/(3)>/(2),

即/(H)>/(-3)>/(-2),

故选：C.

【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再

比较大小.

6.函数/(x)为定义在R上的偶函数，在［0,+8)上单调递增，则不等式八4-2)>/(3)的解集为()

A.(-1,5)B.(-5,1)

C.(-8,-5)U(1,+8)D.(-8,-1)U(5,+8)

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式.

【解答】解：函数为定义在R上的偶函数，在［。，+8)上单调递增，

所以了(%)在(・8,0)上单调递减，

则不等式/(X-2)>/(3)可得|x-2|>3,

解得x>5或xV-1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.下列函数中，在区间(・8,2)上单调递减的是()

A.f(x)=\x-2|B.9(%)=一占

C.h(x)=ex2D.cp(x)=//»(2-x)

【考点】复合函数的单调性；函数图象的简单变换；函数的单调性与函数图象的特征.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】AD

【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断4的正误.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

"'所以/(X)在(・8,2)上单调避减，故A正确：

x-2,x>2,

对于&函数以切=一与，由函数,，=一口句右平移2个单位得到，

故g(%)在(・8,2)上单调递增，故B错误；

对于C,函数y=x-2在(-2)上单调递增，函数y=/在R上单调递增，

所以函数"(x)="-2在(-8,2)上单调递增，故C错误；

对于。，函数y=2-x在(-8,2)上单调递减，函数y=.hr在(0,+~)上单调递增，

所以函数4(x)=ln(2・x)在(・8,2)上单调递减，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意函数单调性的判断方法，属于基础题.

(多选)8.已知定义在R上的函数/(x)满足对任意的工，户均有/(x+y)=/(x)+f(y)-I,且当x

>0时，/(x)>1,则下列结论正确的是()

A./(0)=1

B.若/(4)=5,则/(I)=2

C.f(x)是R上的减函数

D.若/(4)=9,则不等式/(』-2)</(3%)+4的解集是(-1,4)

【考点】抽象函数的奇偶性；定义法求解函数的单调性.

【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】通过对x,y合理赋值求解.

【解答】解.：已知定义在R上的函数.f(x)满足对任意的x,y,均有/(x+y)=f(A)V•y)・1,且

当x>0时，/(x)>1,

对于A：令x=y=0,则/(0)=/(0)4/(0)-1,解得/(0)=1,A正确；

对于B：令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,解得f(2)=3,

再令x=y=I,则-1=3,解得/(1)=2,R正确：

对于C：V.¥1,^2GR,且X|V/2,则X2-X|>0,令X=XI,y=xi-xi,

则/(r)=/(Xl)tf(X2-X1)-1，即/(X2)-/(.口)=/(△-Xl)-1,

因为X2-Xl>0，所以/(.¥2-加)>1,所以/(X2)-/(XI)>0,即/(X2)>f(XI),

所以/(x)在R上是增函数，C错误：

对于O：令x=y=2,则/(4]=/(2)4/(2)-1=9,解得/(2)=5,

所以/(3%)+4=/<3x)+f(2)I=/(3A+2),

因为/(x)在R上是增函数，且/(/・2)</(3x+2),

所以W-2V3x+2,即/-3X-4V0,解得-1V%V4,

即不等式/(/-2)</(3.r)+4的解集是(-I,4),。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查抽象函数单调性，奇偶性相关知识，属于小档题.

(多选)9.已知幕函数/(X)的图象经过点(27,3百)，则()

A.f(x)的定义域为［0,+8)

B.f(x)的值域为［0,+8)

C./(x)是偶函数

D./(x)的单调增区间为［0,+8)

【考点】求幕函数的解析式.

【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用待定系数法求出暴函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确.

【解答】解：设辕函数)=/(%)=/，图象过点(27,3V3),得27a=36，

解得a=1所以/(彳)=6,其定义域为［0,+8),选项A正确；/(%)的值域为［0,+8),选项B

正确；

/(幻是北奇#偶函数，选项C错误；

f(x)的单调递增区间为［0,+8),选项。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了塞函数的定义与性质，是基础题.

三,填空题(共4小题)

10,给定函数f(x)=x+4,g(工)=x2-2v,VxGR,用m(x)表示f(x),g(x)中的最小者，记为m

(x)=min{f(x),g(x)},当xW(-2,2)时，机(x)的最大值为3.

【考点】求函数的最值；分段函数的应用.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】3.

【分析】作出函数加(A)图象，数形结合即可解题.

【解答】解：令-2x,

即7-3x-420,

解得xW-1或x24,

令/-2X<A+4,

解得-l<rV4,

的I”，、+x<-l^x>4

所以机(%)=<、,

2

U-2xf-l<x<4

故函数〃？(X)的图象如图所示:

数形结合可知，当(-2,2)时，m(x)max=m(-1)=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了分段函数的应用，重点考查了数形结合的思想，属中档题.

X2,X>1,

11.若/■(%)=,0、是在R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(・2,0]

(1+2)x+Q,X<1.

【考点】由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】(-2,0].

【分析】根据分段函数在R上递增，列出关于a的不等式组，可解得。的取值范围.

a

+->o

2

【解答】解：因为/(X)是在R上的单调递增函数，所以a解得-2VaW0,

+-+a<

2-

故〃的取值范围为(-2,0].

故答案为：(-2,0J.

【点评】本题主要考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题.

2

12.若函数/(无)=3%-隼*-在区间[-2025,2025]上的最小值为-3,则最大值为-I

【考点】由函数的最值求解函数或参数.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】7.

【分析】结合函数的奇偶性及对称轴即可求解.

【解答】解：令g(x)=3x-^pr€[-2025,2025],则/(x)=g(x)-2,

因为9(T)=-3%—：/1=-3%+=_g(x).

所以函数g(x)为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称,

所以g（x）在［-2025,2025］上的最大值和最小值之和为0,

即g（X）nuix+g（X）加"=0,

则（X）nwx^f（X）min=g（X）znov+g（X）min~4=-4,

因为/（X）min=-3>

故/（X）max=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主:要考查了函数奇偶性在最值求解中的应用，属于基础题.

13.已知暴函数/'（X）=（渥-2/〃+2）・/过点（2,1）,则〃叶片-I.

【考点】求幕函数的解析式.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】-1.

【分析】结合寻函数定义可求机，结合已知点的坐标可求〃，即可求解.

【解答】解：因为辱函数/（x）=（病・2机+2）・V过点（2,i）,

所以机2・2加+2=1,解得加=l,/（x）",则2"=今,

所以n=~2,in+n=-1.

故答案为：-I.

【点评】本题主要考查了基函数定义的应用，属了基础题.

四.解答题（共2小题）

1

14,已知第函数y=/（x）的图象过点（2,^）-

（1）求/（外的表达式，并写出其单调区间；

（2）若0</（〃+1）勺'（4-2〃），求实数。的取值范围.

【考点】求弃函数的解析式；由辕函数的单调性求解参数.

【专题】转化思想；待定系数法：函数的性质及应用；运算求解.

【答案】（1）（・8,0）,（0,+8）;

（2）{a\l^a<2}.

【分析】（1）用待定系数法求索函数的解析式，再写出单调X间；

（2）由/（幻的单调性，把不等式0V/Q+1）可（4-2”）转化求解即可.

【解答】解：⑴设塞函数），=f（x）=格图象过点（2,j）,得2a=摄

解得a=-l，所以/(x)=xl其单调减区间为(-8,0),(0,+8)；

(2)由/(x)在(()，+8)上单调递减知，不等式()V/(a+l)W/(4-2〃)可化为：吃

解得1W〃V2,所以”的取值范围是{。|1WaV2}.

【点评】本题考查了函数与不等式的应用，是基础题.

15.已知函数/(x)是定义在［-3,3］上的奇函数，当0VAW3时，/(x)=^x2+x+1.

(1)求函数/(x)的解析式.

(2)若/(a+1)4/(2。-1)>0,求实数。的取值范围.

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象.

#+x+1,0<x<3

0,x=0

(-1x24-x-1,-3<%<0

(2){a|0VaW2).

【分析】(1)设-3«(),利用/(%)=-/(-X)=一尹2+X-1,可得解析式；

(2)利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“广，再考虑到定义域即可求出〃的范围.

【解答】解：(1)因为f(x)为奇函数，/(0)=0,

设・3WxV0,则0V・rW3,

11

则f(—x)=4(-x)2+(-x)+1=^x2-x+l,

1

因为/(X)为奇函数，则/(%)=-/(一工)=一)/+X-1,

^x2+%+1,0<x<3

0,x=0.

(—ix2+x—1,-3<x<0

(2)当0VxW3时，f(x)=£/+%+1=2(4+17+”为单调递增函数，

由奇函数可知/G)是定义在［-3,3］上的增函数，

又4/(2a7)>0,：.f(a+1)>-/(2a-1)=/(1-2a\

-3<a+1<3(-4<a<2

故有：j-3<2a-l<3,则有］_1WQW2,解得：0〈aW2

a+1>1-2aa>0

所以实数。取值范围是：{o|0<aW2}.

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用及抽象不等式的求解，属于中档题.

考点卡片

1.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式(开偶次方)被开方式2()；

③对■数的真数大了零，以及对数底数大于零且不等「I；

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.(1)当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析

式有意义的自变量的取值集合.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意

义，还要有实际意义(如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等).(3)若一函数解析式是由几个

函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为

空集，则函数不存在.(4)抽象函数的定义域：①对在同一对应法则/下的量所要满

足的范围是一样的；②函数g(x)中的自变量是x,所以求gCv)的定义域应求g(x)中的x的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

2.函数图象的简单变换

【知识点的认识】

图象变换

(I)平移变换：

y=f(x)〃>0,右移“个单位(»7<0,左移同个单位)=>y=f(x-a)；

y=f(x)b>0,上移〃个单位(b<0,下移族|个单位)=>y=/(x)+b.

(2)伸缩变换：

0<Xl，伸长为原来对倍

---------f~>

y=f(x)心3缩短演来叫)，=/(3外；

y=/(x)A>\,伸为原来的A倍(0V4VI,缩为原来的八倍］=>y=Af(x).

(3)对称变换：

y=f(x)关于x轴对称=.y=-f(x)；

y=f(x)关于y轴对称=.y=/(-x)；

y=f（x）关于原点对称=y=-/（-x）.

（4）翻折变换：

y=f（x）去掉），轴左边图，保留），轴右边图，将1y轴右边的图象翻折到左边=y=/（国）;

y=f（x）留下x轴上方图将工轴下方图翻折上去jul/a）|.

【解题方法点拨】

画函数图象的一般方法

（I）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根

据这些函数或曲线的特征直接作UL

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变

换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图

象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

【命题方向】

图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的工，y变换”的原则，写出每一次的变换所

得国象对应的解析式，这样才能避免出错.

正确作出函数图象的三个关健点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、基函数、形如y=x+

的的数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过

程.

将函数y=2（A--1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解

析式为（）

解：函数）=2（A-1）。3的图象向左平移1个单位得到y=2*+3,

再句下平移3个单位长度得到），=2?.

3.函数的单调性与函数图象的特征

【知识点的认识】

一般地，设函数/”）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量川，也，

当X|VX2时，都有.f（xi）＜f（X2\那么就说函数/（%）在区间。上是增函数；当X1VX2时，都有了（XI）

那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间D上是增函数或减函数，则称函数/（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间Q

叫做）=/（1）的单调区间.

函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性.

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

-通过图象观察函数在各区间的增减情况.

-分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点.

-总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证.

【命题方向】

题目包括通过图象判断函数的单调性，结合图象和解析式分析函数的单调性，并解决与单调性相关的实际

问题.根据下列函数y=f（x）的图像（包括端，点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单

调区间上函数的单调性.

解：（1）/（%）的增区间为：[・2,1],[2,3],减区间为：[・3,-2],[1,2]：

（2）/（x）的增区间为：-分g，IT],减区间为：[一率

4.定义法求解函数的单调性

【知识点的认识】

一畋地，设困数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量川，X2,

当KI<X2时，都有了（XI）</（X2）,那么就说函数/⑴在区间。上是增函数；当X1VX2时，都有/（•）

>/（◎）,那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫做），=/（X）的单调区间.

【辩题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法：导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意XI，工24。，切且X|Wx2，那么

①（%2）>0=/（X）在山，句上是增函数；

xr-x2

一""2）V0可（外在口，句上是减函数.

Xl-X2

②（4|・元2）［/（XI）-f（A2）］>0<=>/（A）在［。，上是增函数；

（XI-X2）［f（XI）-f（.V2）］V0可（》）在［a,b］上是减函数.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性

定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值

问邈是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调

性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考杳基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等

价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.

已知函数fO）二盘，旦/（X）是奇函数.

人Ifrv

（I）求实数，〃的值；

（2）判断了（X）在区间（鱼，+8）上的单调性，并用定义法证明.

解：（1）因为/（X）是奇函数，即/（-x）=-f（x）.

X2+2X2+2

所以有------=-......,得-x+m=-x-m.

-x+mx+m

解得m=0.

（2）函数/（x）在区间（VL+8）上单调递增.

证明：由于a=0,所以/（*）=毛2=%+2

4A

设匕1，x2G(V2,+8),且X1VX2,

则f(x1)-fg=6+币-3+套)=乂_&)+(W)=(K__2)+笔券=

（勺一工2）

-2).

勒》2

由.q,x2£(42,+oo),得无i>痘，x2>>/2,

所以XIX2>2,X\X2-2>0.

又由Xl〈X2,得XI-A2V0,

于是‘'102）（%]X2-2）<0,即f（XI）<f（X2）.

X1X2

所以函数/（X）在区间（VL+8）上单调递增.

5.由函数的单调性求解函数或参数

【知识点的认识】

一般地，设函数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI，X2，

当川VX2时，都有/（内）</（X2）,那么就说函数/（外在区叵。上是增函数：当川>X2时，都有/（加）

V/（X2），那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是酒函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区

间。叫做y=/（x）的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考

虑定义域.

第二步：求函数/（X）的导数，（x）,并令，（x）=0,求其根.

第三步：利用/（X）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表.

第四步：由/（X）在小开区间内的正、负值判断/（工）在小开区间内的单调性；求极值、最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为/（x）或f（x）解不等式求参数的取值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选

择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，

主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思

想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取

值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

6.复合函数的单调性

【知识点的认识】

所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考

虑整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的为主.

【解题方法点拨】

求复合函数y=/(g(x))的单调区间的步骤：

(I)确定定义域；

(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；

(3)分别确定两基本初等函数的单调性；

(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.

【命题方向】

理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性.

7.求函数的最值

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵

坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

【辞题方法点拨】

-分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点.

说定函数的最值，并结合边界点进行验证.

-结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性.

-一次函数由于一次函数为单调函数，其最值在定义域的端点处取得.

-二次函数分析顶点处的值以及定义域的边界点，确定最大值或最小值.若。＞0,函数在顶点处取得最小

值，若“V0,函数在顶点处取得最大值.

【命题方向】

题目包括通过图象和解析式求解函数的最值，结合实际问题分析函数的最值及其应用.

函数/(X)=件工的最大值为.

解：•・・/+2。2,

11

所以函数/'(%)=？3，xWR的最大值为条

故答案为：

乙

8.由函数的最值求解函数或参数

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵

坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

【解题方法点拨】

-分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式.

-利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数.

-验证求解结果的正确性.

【命题方向】

题目包括通过最值反求函数或参数，考查学生对最值及函数关系的理解和应用能力.

已知函数/(x)=名学在［0,1］上的最大值为3,则实数小的值为_____.

人I-A

解：/⑺=2(%+?7-2=2+甯,

显然〃学2,

当机＞2时，函数/(%)在［0,1］上单调递减，则2+^^=3,解得m=3；

当机V2时，函数/(x)在［0,1］上单调递增，则2+密=3,解得〃?=4(舍)；

综上，m=3.

故答案为：3.

9.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关健还是

要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用.在重复一下它们的性质①奇函数/

(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个.1,都有了(-X)=-/(.V),其图象特点是关于(0,0)

对称.②偶函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X，都有/(・X)=/(x),其图象特

点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，芍：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

例题：如果/(x)=芸为奇函数，那么。=—.

4i-A

解：由题意可知，/(X)的定义域为R,

由奇函数的性质可知，/(x)=枭g=—/(・x)=a=l

【命题方向】

奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前昆，另外做题的时候多多总结，一定要重视

这一个知识点.

10.抽象函数的奇偶性

【知识点的认识】

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数

表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.

【解题方法点拨】

①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如/(I+)，)=/(x)4/(y),它的原型就是)，

=kx；

②可通过赋特殊值法使问题得以解决

例：f(xy)=f(x)+f(y),求记/(1)=/(-!)=0

令x=y=1,则/(1)=2f(1)=>/(1)=0

令工=y=-1,同理可推出了(-1)=0

③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；

【命题方向】

抽象函数及其应用.

抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种.高考中一般以中档题

和小题为主，要引起重视.

11.求幕函数的解析式

【知识点的认识】

辕函数的定义：一般地，函数叫做暴函数，其中x是自变量，。是常数.对于鬲函数，我们只研究。

=1,2,3,1,-1时的图像与性质.

【解题方法点拨】

-根据已知条件设定幕函数的形式，代人已知条件，求解指数〃.

-写出痔函数的解析式，验证解析式的正确性.

【命题方向】

题目包括辨识基函数的形式，分析基函数的特征及应用题.

若基函数），=f（x）的图像过点（4，2）,则函数），=/（幻的解析式为.

解：塞函数），=/（》）的图像过点（警，2）,

解得a=-2,

则函数y=/（x）的解析式为/G）=x2

故答案为:f（x）=x'2.

12.由募函数的单调性求解参数

【知识点的认识】

通过已知暴函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系.

五个常用寡函数的图象和性质

1

(1)y=x；⑵>=,；⑶），=3(4)y=%2；(5)y=x'1

y=xy=/1y=xl

y=

定义域RRR[0,+8)㈤田）｝

值域R[0,+8)R[0,+°0)｛.a羊（）｝

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇