2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末必刷常考题之预备知识

2025・2026学年上学期高一数学北师大版期末必刷常考题之预备

知识

一.选择题（共6小题）

1.设。>0,b>0,且〃+2。=2而，则2。+〃的最小值为（

9

A.-B.9C.3D.4

2

2.若心>3,则函数/（%）=%+占取得最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

23

3.己知x,y为正实数，且x+y=l,则一+一的最小值为（）

yx

A.2在+5B.2&-5C.2V2+1D.2V2-1

4.若a>0,b>0,且<必=〃+计3,则。+人的最小值为（）

A.2B.6C.9D.12

5.已知集合M="|lVxV4},集合N={1,3},则MCN=（）

A.{.Ml<x<4|B.{1,2,3,4}C.{1,3}»{3}

6.已知集合4={-1,0,1,2},B={x€Nk<3},那么集合人UB等于（）

A.[-1,3）B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

二,多选题（共3小题）

（多选）7.下列说法中，正确的是（）

ab

A.若于V=，则〃

c乙cz

B.若层,ab>0f则-V：

ab

„,a+ma

C.若b>a>0,〃2>0,则---->一

b+mb

D.若a>b,c<d,则a-c>b-d

（多选）8.已知x,y为正实数，工+工=4,则（）

%y

B.P7的最小值为之

A..q的最大值为4

9

C.x+4），的最小值为ZD.的最八值为-12

（多选）9.若一元二次不等式a/-队伍不1+1之0对一切实数上都成立，则〃的值可能是（）

三,填空题(共4小题)

10.不等式f+x-12<0的解集为.(结果用区间表示)

313131

11.已知实数a,b,cE(0,1),设一+--4-----------,-+------这三个数的最大值为M,则M的最小

a1-bb1-ccl-a

值为.

12.设集合A={y}=»},B={)]y=x1},则AHB=.

13.若函数y=ar+x+2的图像恒在函数y=3工・1图像的上方，则实数。的取值范围

是.

四.解答题(共2小题)

14.对于二次函数丁=〃n2+以+/若存在xo€R,使得初谧+nxo+/=xo成立：,则称xo为二次函数y

=〃。2+心+/(〃?W0)的不动点.

(1)求二次函数y=}?-x-3的不动点；

(2)若二次函数(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点制、/2,且用、X2>0，求*■+这的最

hXi

小值.

(3)若对任意实数4二次函数产av2+(力+1)户1)(40)恒有不动点，求。的取值范围.

15.已知集合人二口正对苏-3x+2=0}.

(1)若〃=1，写出A的所有子集：

(2)若集合A中只含有一个元素，求。的值.

2025・2026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之预备

知识

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案ADABDC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ACDBCDACD

一.选择题（共6小题）

1.设。>0,b>0,且〃+2%=2"，则2"。的最小值为（）

9

A.-B.9C.3D.4

2

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式：运算求解.

【答案】A

【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

【解答】解：由。+2/?=2出?，可得：一+—=1.a>0,b>0,

2ba

•••2a+b=（2a+b）基+》=]+片+,院+2序仁义

当且仅当2=£即。=匕=新取等号.

ab乙

故选：A.

【点评】本题主要考杳了基本不等式在最求解中的应用，属于基础题.

2.若£>3,则函数/（%）=%+工取得最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

【答案】。

【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：・・5>3,，函数/(¥)=¥+为=.1-3+与+322］。-3)•占+3=7,当且仅当x=5

时取等号.

故选：

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属「基础题.

23

3.已知工,)，为正实数，月.x+)，=1,则亍+以的最小值为()

A.2乃+5B.276-5C.2或+1D.272-1

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法：不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，直接求解即可.

…………23232x3y3y2%l3y2x

【解答】解：因为一+-=(x+y)(-4--)=—4-3+2+—=—+—+5>2—•—+5=

yxyxyxxyylxy

2y+5,

(3y=2x

当且仅当।,即［*=3一咚时，等号成立.

U>0,y>0

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

4.若。>0,b>0,且"="+>3,贝IJ。+方的最小值为()

A.2B.6C.9D.12

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】由基本不等式得到(。+〃)2-4(a+力)-1220,求出。+)26.

2

【解答】解：因为。>0,90,由基本不等式可得：Q+b+3=QbW空2-,

q

即(a+b)2-4(a+b)-1220,

因为。>0,/?>0»解得：〃+/*6,当且仅当。=〃=3时，等号成立，

故选：B.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

5.已知集合股="|1VXV4},集合N={1,3},则MPN=（）

A.{A|1<X<4}B.[1,2,3,4}C.{1,3}D.{3}

【考点】求集合的交集.

【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】。

【分析1结合集合交集运算即可求解.

【解答】解：集合M=*|l〈戈V4},集合N={1,3},

则MCN={3}.

故选：D.

【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

6.已知集合人={-1,0,1,2）,B={x€N|xV3},那么集合AUB等于（）

A.[-1,3）B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【考点】并集及其运算.

【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解.

【答案】C

【分析】先求出8的等价条件，利用并集定义进行计算即可.

【解答】解：•・・5={xWMrV3}={0,1,2）,

・・・AUB={・1,0,1,2},

故选：C.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合并集定义是解决本题的关键，是基础题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.下列说法中，正确的是（）

ab

A.若一;■V-7,Ma<b

c2c2

B.若〃2>"，ab>0,则一V一

ab

„,a+ma

C.若b>a>0,m>0,则---->—

b+mb

D.若a>b,c<.d,则a-c>b-d

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】ACD

【分析】利用不等式性质判断A。；举例说明判断&作差确定正负判断C.

ab

【解答】解：对于A,由丁〈/，得c2〉。，则。<力，4正确；

对丁6,取a=-2,〃=-1,6显然错误；

一1,u,a+mam（b-a）,a+ma.人

对于C,由〃>a>0,〃?>0,得T-----=7>0,则n7--->-»C正确;

b+mbb（b+m）b+mb

对于。，由c<d,得-c、>-d,而〃>〃，则。正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

11

（多选）8.己知x,y为正实数，一+—=4,则（）

xy

A.孙的最大值为4B.的最小值为:

9A

C.工+4），的最小值为［D.工一注的最小值为-12

【考点】运用基本不等式求最值.

【专•题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式，即可结合选项逐一求解.

【解答】解:对于A,由x,y为正实数，且:+；=4,则4=+>2.点故xy>当且仅当％=y=

时取等号，故A错误，

11

对于B,x2+y2>2xy>当且仅当x=y=时取等号，故8正确，

乙乙

9

时于C,x+4y=i(x+4y)(i+i)=1(5+^+S=-

4

当且仅当?=今即％=*,y=飘取等号，故户4），的最小值为（C正确，

对于。,%->％-4（4一》=%+；1622口|-16二-12,当且仅当％即x=2时取等号,

故。正确，

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

（多选）9.若一元二次不等式Q/-%衍1+1N0对一切实数x都成立，则〃的值可能是（）

214

A.~B.~C.-D.2

333

【考点】一元二次不等式恒成立问题.

【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据♦元二次不等式相关知识可解.

【解答】解：若一元二次不等式a/一％后方+120对一切实数X都成立，

若4=0«寸，则戊X+1Z0,不满足题意；

（a>02

若。工0时，则Ja+2之0，则可，

VJ=a+2-4a<0

只有A,C,。选项符合题意.

故选：ACD.

【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

10,不等式7+x-12V0的解集为（-4,3）.（结果用区间表示）

【考点】解一元二次不等式.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】（-4,3）.

【分析】直接转化求解即可.

【解答】解：不等式12V0,

即（x+4）（x-3）<0,解得・4VxV3.

故不等式的解集为（-4,3）.

故答案为：（・4,3）.

【点评】本题主要考杳不等式的求解，考杳计算能力，属于基础题.

313131

11.已知实数小b>ce（0,1）,设一+--+—,-+—这三个数的最大值为M,则M的最小

a1-bb1-cc1-a

侑为4+2次.

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】解题思想；解题方法；不等式；运算求解.

【答案】4+2V3.

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出最小值.

【解答】解：依题意，+心合+乙，“<+山

D1—cC1-uC1-Q

Q1Q1Q1

则3例及+曰+5+=+2+中

717171

即3用之（6+K）+（万+曰）+。+=）

„31313(l-a)a

由OUaU1,得一+----=[a+(1—a)](—+------)=4+———-+——

a1-aa1-aa1-a

24+2陛三匚三=4+2通，当且仅当曳匕色=―,即0=与巨时取等号,

\a1一。a1-a2

31a_口31_

同理当b二仔时’广石取得最小值4+2后当,=告时，1十二取得最小值4+2遮'

因此3M23(4+275),解得4+2百,

所以当a=/?=c='与时，M取得最小值4+2^/5.

故答案为：4+2遮.

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题.

12.设集合4=｛），b=21,8=｛m=/｝，则"4=（0，+8）.

【考点】求集合的交集.

【专题】转化思想；转化法：集合；运算求解.

【答案】（0,+8）.

【分析】先求出集合4,从再结合交集的定义，即可求解.

【解答】解：集合A=｛）B=2、｝=｛比，>0｝，8=｛）8=/｝=｛）触20｝；

则4nB=（0,+8）.

故答案为：（0,+8）.

【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

13.若函数>=/+%+2的图像恒在函数）=3x-1图像的上方，则实数。的取值范围是一（1，+8）

3

【考点】一元二次不等式恒成立问题.

【专题】对应思想；定义法：不等式的解法及应用；运算求解.

1

【答案】+00）.

【分析】根据一元二次不等式相关知识可解•.

【解答】解：若函数y=ad+x+2的图像恒在函数），=3x-1图像的上方，

贝ija$+x+2>3x・ItRb戈立,

则ar-Zv+3>0,

当a=0时，・2r+3>0,不恒成立，不满足题意；

当2()时，，a>L

U=4-12a<03

则。的取值范围g,+8).

【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属「基础题.

四.解答题(共2小题)

14.对于二次函数丁=〃层+心+/1〃层0),若存在xo€R,使得TH;*+/必+7=.卬成立，则称刈为二次函数y

=rnx1+nx+t的不动点.

(1)求二次函数y=)?-x-3的不动点；

(2)若二次函数y=21-(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点打、了2，且内、X2>0,求*■+包的最

小值.

(3)若对任意实数。，二次函数,=«?+(b+1)x+(b-1)(a^O)恒有不动点，求。的取值范围.

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由7-x-3=x求得不动点.

(2)由2?-(3+a)x+a-l=x有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等

式求得包+恐的最小值.

(3)由a?+(b+1)x+(b-i)=x(〃W0)恒有解，结合判别式求得〃的取值范围.

【解答】解：(1)由题意知：，？-X-3=x,x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,

解得xi=・1，12=3,所以不动点为7和3.

(2)依题意，2A2-(3十a)Ka-1=入•有两个不相等的正实数根，

即方程2?-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根，

所以，解得〃>1,

2227,4+a、2(Q+4)2

l.%2^1+^2(%1+%2)-2XrX2(X1+X2)-(亍)-~~T~一

月T以一+-=------=----------------=----------2=a—1-2=a-1-2=

X2Xi%1%2%1%2

(a-1+5)2(a-l)2+10(a-l)+25a-125

—Z----■--2=-----------------------------2=------+-------+3,

2(a-l)2(a-l)22(a-l)

因为。>1,所以4・1>0,

一,I。-125la—125Gt—125

所以二一+---+3>2—•——+3=8,当且仅当二一=--即〃=6时等号成立，

22（a-l）、22（a-l）22（a-l）

所以士+这的最小值为8.

%2

（3）由题知："2+（匕+［）什（/,-1）=x（aWO）,

所以，小十加十（〃・1）=0,由于函数），=双2+（〃十］）（〃-1）（“X0）恒有不动点，

所以△=1，-4a（b-1）20,即序~44〃+4a20,

又因为〃是任意实数，所以△'=（-4。）2-164W0,

即WO（aWO）,解得OVoWl,

所以。的取值范围是（0,1］.

【点评】本题主要考杳了新定义问题，求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义/

（%0）=3,涉及一元二次方程根的问题，可结合根与系数关系、判别式来进行求解，属于中档题.

15.已知集合A={x6R|ax2-3X+2=O}.

（1）若4=1,写出A的所有子集；

（2）若集合A中只含有一个元素，求。的值.

【考点】子集的判断与求解.

【专题】分类讨论；综合法；集合；运算求解.

【答案】⑴0,{1）,{2},{1,2}；

9

（2）（）或一.

8

【分析】（1）先将。=1代入，求解一元二次方程得到集合A的元素，再根据子集的定义列出所有子集；

（2）分类讨论，当。=0时，方程为一元一次方程，求解得到集合4的元素；

当aWO时，方程为一元二次方程，利用判别式A=0时方程有且仅有一个实数根，求出。的值，再验

证集合A的元素个数.

【解答】解：（1）当。=1时，集合人={.伯RM-3x+2=0}={l,2},其子集有0,{1},{2},{I,2}；

2

（2）当。=0时，集合2={在R|-3x+2=0}=『},满足要求；

当aWO时，要满足题意只需方程a/-3A+2=0有两个相同的解，即△=（-3y-4a・2=0,解得Q=得，

O

代入方程#-3X+2=0,解得％=此时集合A={$,满足要求，

9

综上，4的值为。或

【点评】本题考查J'集合的子集的求解，涉及到集合的元素与方程的求解，考查了学生的分类讨论思想

以及运算求解能力，属于中档题.

考点卡片

1.子集的判断与求解

【知识点的认识】

1、子集定义：--般地，对于两个集合A，-如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，我们就说

这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的子集(subset).

记作:A^B(或B^A).

2、真子集是对于子集来说的.

真子集定义：如果集合AG8,但存在元素尤B,且元素%不属于集合A,我们称集合A是集合8的真子集.

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是8的子集，

若8中有一个元素，而A中没有，且4是8的子集，则称A是8的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.

{1.3}c{l,2,3,4}

{1.2,3,4}c{],2,3,4}

【解题方法点拨】

定义子集：A是B的子集，当且仅当4中的每一个元素都在8中.

验证元素：逐个检查A中的元素是否在8中.符号表示：用G表示子集关系，若A是8的子集，记为AE8.

【命题方向】

本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，

概率，函数的基本性质结合命题.

2.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与8的并集，记作AUB.

符号语言：AU3={MrE4或.隹0.

图形语言:

AUB实际理解为：①工仅是A中元素；②x仅是4中的元素；③x是A且是4中的元素.

运算性质：

①AUB=BUA.②AU0=A.③AUA=A.④4UB3A,AUB3B.@AUB=B^AQB.⑥AUB=0,两个

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“•所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数

的定义域，值域联合命题.

3.求集合的交集

【知识点的认识】

由所有属于集合力且属于集合B的元素组成的集合叫做4与3的交集，记作AH反

符号语言:且

AQB={.x[xeAtxWB}.

APIA实际理解为：x是A且是8中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

①An8=8PA.②400=0.③AAA=A.④AABGA,AQBQB.

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】

掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

已斯集合4={尤2卜+120},5={AU2-X-6<0},则AD8=()

解：因为A={.隹Z|x+120}={.t6Z|x2・1}，B={x\x2-x-6<0}={A1-2<x<3},

所以AGB={-1,0,1,2).

故选：O.

4.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数。，从有且只有以下三种情况之一成立：

①。>力=4-/?>()：

②“〈boa-b<0；

@u=b<^a-b=0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：a>bob〈a；

②传递性:a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b^a+c>b+c.

④司向可加性：a>b,c>d^a+c>b+ch

⑤可积性：a>b,c'X)=>ac'>bcia>b,c<0=>4/c</>c；

⑥司向整数可乘性：a>b>0,c>d>0=>ac>bd；

⑦平方法则：a>b>0=xf>bn(nGN,且〃>1)；

⑧开方法则：a>hXi^y/a>^6(/?GN»且〃>1).

5.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为；两个正实数的几何平均数小了或

等于它们的算术平均数.公式为：哼之风(a20,b》0),变形为abW(9)2或者。+后2面.常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1:下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2

A：”方均为负数，则型+一22.B：——>2.C：sinx+-^->4.D：a6R+,(3-a)(l-5)<0.

b2aVx?+1sinxa

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、8、。均满足条件.

对于C选项中sintW±2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：C.

4五项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成

，+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=&的最值？当0<xVl时，如何求、二号的最大值.

解：当x=O时，y=O,

当+0时，y=.=*'

用基本不等式

若%>on寸，。〈烂?，

若x〈0时，—$&y<0,

综上得，可以得出一¥工）仁孝，

••・了=等的最信星-4与4・

xz+Z44

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

I、求最值

例1：求下列函数的值域.

⑴y=3x?+J⑵y=x+：

解：⑴y=3x2+击22y3x2去=戊值域为[比，—

⑵当x>0时，v=x+J>2\/xJ=2；

AyA

当x<0时，y=x+-=-(—X--

XX

.,.值域为(-8,-21UR,-K»)

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR~,且a+b+c=l。求证：j1-1^1-1>8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

1_1=匕£=三之也，可由此变形入手。

aaaa

..,_D・,,,1.1,1-ab-t-c2-Jbc闩、困1,l^Jac1«、24sl

.a、b、cwRfa+b+c=lo..——1=---=----2-----«同1里一一12-----，一一12-----。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

（：_V1）@-14手•平.3^.8。当且仅当a=b=c=^时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

10

例3：已知x>O：y>0且一+-=1,求使不等式x+yN加恒成立的实数冽的取值范围。

*y

5A19,x+v9x+9v,10v9x,

解：令x+y=£;x>0Aj>0A：-+-=l,——-+-----=1.—4--=1

xykxkykkxky

in3

.\1-—>2--oA:>16>we(-oo,16]

kk

4、均值定理在比较大小中的应用

例4：若a>6>LP=Jlga/gb，2=:(lga+lgb),&=lg(4),则尸，。小的大小关系是______.

分析:='a>b>11g<J>0.1gZ>>0

Q=；(1ga+1g6)>Jiga」gb=p

R-lg("*J>lg4ab--1gab=Q:.R>Q>Po

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知求函数y=4x-2+―!—的最大值。

4"4x-5

解：因44-5<0,所以首先要•调整，符号，又(以-2)・二一不是常物，所以对44-2要进行拆、凑项，

4x-5

x<5-4x>0，/.y=4x-2+1,=一15-4x-、\)+34-2+3=1

当且仅当5-4x=」一,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，vaas=1。

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0VxV4时，求y=x(8-2x)的最大值.

解析：由0<%<4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将)，=x(8-2%)凑上一个系数即可.

112X+8-2X、

y=x(8-2v)=斜・(8-〃)1<1(--------)2=8

2

当2x=8-2x,即x=2时取等号，当x=2时，y=x(8-,v2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求,，="普(%>-1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(.r+l)的项，再将其分离.

22

X+7X+10(X+1)+5(X+1)+4Z,,,,4,,

•y-=---xn+1——=-----——x+n1=(x+1)+—x+n1r+5,

当x>-1,即x+l>0时，y22J(x+1)xJj+5=9(当且仅当x=l时取"=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令f=x+l,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(x)=x+?的单调性.

例明求函数>=的值域。

々+4

解：令6+4=«£之2),则J-二=、**4*!—=—%>?)

{x：+4Jr"+4I

因，>0「；=1,但，=；解得，=±1不在区间［2,+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为J，=F+1在区间［L+8)单调递增，所以在其子区间［2+X)为单调递增函数，故)，之：°

t2

所以，所求函数的值域为|,+00jo

技巧六：整体代换

19

例5：已知x>0,y>0,且±+==1,求x+y的最小值。

xy

量解：<x>0,y>0,且L2=i,.二x+〉=jL2;(x+y)22^^2A=故(x+y)at=12。

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y22历等号成立条件是“=)，，在白+222区等号成立条

xyN盯

件是41=39即>.=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

%y

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛉转换是否有误的一种方法。

iEB：,.•x>O,j>O.i+—=1,二Xf=(x+>］-+2；=±+艺+1026+10=16

“xyy)xy

QY,19

当且仅当士=*时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4j=12时，a+y)^=16。

XyXyj

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

技巧七：取平方

例6:求函数)=/7口+技Fq<x<|)的最大值。

解析：注意到2x-1与5-2x的和-定值。

22

v=(J2x-1十。5-2、)=4+25/(2x-l)(5-2x)<4+(2x-l)+(5-2x)=8

又y>0,所以0<yW2/

当且仅当2x-l=5-2x,gpx=|时取等号。故%”=20。

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件.

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积

极创造条件利用基本不等式.

6.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其口;表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：-->y/ab(aNO,bNO),变形为MW(――)?或者

22

【解题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式AH-i的

最小值，可以利用均值不等式％+：22从而得出最小值为2,并且在x=\时取到最小值.需要注意

的是，运用不等式时要确保代入的数值符介不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

【命题方向】

均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等.例如，求解一个代数

式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大.这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求

解，并能正确代入和计算.

已知正数。，b满足。+b=1,则而TT+VF钉的最大值是.

解：因为正数4,人满足。+力=1,

以「以a+1+/>+1=3,

则x/a+1+Vb+1<zjo+l："亘=瓜,

当且仅当。=b=*时取等号.

故答案为：V6.

7.二次函数的性质与图象

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变

量的变化而变化.它的一般表达式;为：y=a/+%x+c(g0)

【解题方法点拨】

二次函