2025-2026学年高二数学期中押题卷（人教A版选择性必修第一册）【测试范围：空间向量+直线与圆】（解析版）

期中押题密卷01

全解全析

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得。分.

1.直线/经过两点(4,-2),(-3,4),则/的斜率为()

6677

A.——B.-C.--D.-

7766

【答案】A

【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.

【详解】由〃=止工，得/的斜率为±±义=一9.

-3-47

故选：A

2.已知平面。的一个法向量为庆=(-1,2，)，平面《的一个法向量为万=(xj-2),若则》=()

A.-1B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为0,由此可列出关于x的方程，进而求解x的值.

【详解】已知

所以汾，i=-lxx+2xl+^-x(-2)=0

解得：r+2—l=0nx=l

故选：B.

3.如图所示，空间四边形。48C中，方=),赤=反反=1,点"在04上，且两=2砺，N为BC中点、,则丽

B.--a+-b+-c

322

D.-a+-b--c

332

【答案】B

【分析】按照向量加减数乘运算法则计算即可

【详解】解：因为N为BC中点,所以而=g(丽+反)，

_______2—

因为OM=2M4，所以0."=1。力，

则丽=而_两=g(无+玩)_|®=_ga+；E+gu.

故选：B.

4.已知直线：/1：〃x-2j，+l=0,/,：x+(〃-3)y+4=0,则“。=2”是F〃/?”的()

A.充分必要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据?=二々求出。的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可.

1a-5

【详解】由：=二，解得。=1或。=2,

1a-3

当。=1时.百■线x-2.y+l=0,/2：x-2v+l=0,此时两条直线重合.舍掉.

当4=2时，直线h2x-2y+l=0t!2：x-y+2=0,此时两条直线平行，

=2”是U//乙”的充分必要条件.

故选：A.

5.圆G：/+/=4与圆。2：。-3)2+/=1的位置关系为()

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】B

【分析】根据圆心距与半径的关系判断.

【详解】由题意，圆G：/+y2=4,则圆心G(0,0),半径1=2,

圆G：a-3)2+必=I,则圆心G(3,0)泮径0=1,

所以两圆圆心距|。。2卜3=4+公所以两圆外切.

故选:B.

6.过点力(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4工一y=0或x+y-5=0D.4工一y=0或工一y+3=0

【答案】D

2

【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.

【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0,满足题意，

又因为直线过点力（1,4）,所以直线的斜率为梏=4,

1—0

所以直线方程为y=4x,即4x-y=0,

当直线不过原点时，设直线方程为±-且=1,

a-a

因为点4（1，4）在直线上，

所以上+―=1,解得。=一3,

a.a

所以直线方程为X一歹+3=0,

故所求直线方程为4x-j，=0或x-y+3=0.故D项正确.

故选：D

7.已知直线/：（川+2）x+（加一1）J，+〃L1=0,若直线/与圆C:（x-l）+y2=4交于48两点,则|留的最小值为

（）

A.&B.2C.2&D.4

【答案】C

【分析】先求出直线所过的定点P,再根据PCU时取得最小值结合圆的弦长公式即可得解.

【详解】直线/：（〃?+2卜+gp（x+^+l）w+2x-y-l=0,

x+y+\=0x=0

令•解得।

2x->1-1=0LF=-I

所以直线/过定点尸

圆。:。一1）2+/=4的圆心C（l,o）,半径r=2,

因为|PC|=Ji*T=JIv2,

所以点尸（0,-1）在圆C内，

则圆心C到直线/的距离d<\PC\=4i（尸C_L/时取等号）,

所以|而|=2，冒一/=2式（尸。_U时取等号），

所以|4B|的最小值为2JL

故选：C.

3

8.已知点P是直线/|：帆・歹-5m+1=0和4：X+叩-5〃?-1=0的交点，点。是圆C：(x+iy+y2=1上的动点，则

1。。1的最大值是()

A.8+2近B.7+26C.6+2VJD.6+272

【答案】D

【分析】先分析两直线的性质，确定两直线的垂直关系，从而得出点。的轨迹为圆，再结合圆C确定两圆的位置关

系，进而利用两点间距离公式结合两圆半径得出1尸。1的最大值.

【详解】丁直线4:机x_y_5〃?+l=0可变形为机(x_5)_(y_l)=0,

•••直线4过定点45,1),

同理4.x+my-5m-i=x-\+m(y-5]=0,则比线乙过定点8(1,5),

’..阳=0时,直线《：y=l,4：X=1，此时

当〃?工0时,K,%2=〃八

・•・直线乙

・・・直线6与直线4的交点p的轨迹是以44的中点M(3,3)为圆心，半径为r二g|481=2五的圆,

又,圆C的圆心。(-1,0),半径火=1,两圆位置美系如下图所示,

1。。|的最大值是|加。|+厂+/?=何丁7?+2&+1=6+2&.

故选：D.

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.关于空间向量,以下说法正确的是()

A.非零向量万，b»若G.B=。,则)/5

B.若对空间中任意一点O,^OP=\OA+\OB+\OC.WijF,A,B,C四点共面

632

c.设,，瓦W是空间中的一组基底，则m-石下+济。+研也是空间的一组基底

—1—3—

D.若空间四个点P,A,B,C,PC=-PA+-PB,则力，B,。三点共线

44

【答案】ABD

4

【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向曷的条件

可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误.

【详解】对于A,对于非零向量之，b,若1石=0,则2，正确：

—1—1—1——

对于B.若对空间中任意一点。，^OP=-OA+-OB+-OC,

632

J+2+!=l,，P,A,B,C四点共面，故正确：

632

对于C,-：a-h=-（b+c）+（a+c）

6+c,1+5共面，不可以构成空间的一组基底，故错误；

—1—3—

对于D,若空间四个点P,A,B,C,PC=-PA+-PB

44t

13

v-+-=l,则4,B,。三点共线，故正确.

44

故选：ABD.

10.下列命题正确的有（）

A.两平行线间的3x14），I5=O,3XI4y5=0距离为2

B.过点（1』）且在两坐标轴上截距相等的直线有两条

C.直线3x+4y+5=0的方向向量可以是;;=（3,4）

D.直线ax+2y+4=0与直线x+（a—l）y+2=0平行，则。=-1或2

【答案】AB

【分析】计算平行直线的距离得到A正确；截距相等的直线有y-x和y=r+2,B正确；直线的一个方向向量是

万二（-4,3）,C错误；当。=2时，两直线重合，D错误.

里+5|

【详解】A,两平行线3x+4y+5=0,3x+4p_5=0间的距高为4二=2,A正确;

^32+42

B,过点（1」）且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为（）时，y=x

截距不为0时，设土+工-1,代入（1,1）,可得“=2,故直线方程为：y=+B正确：

aa

C,直线3x+4y+5=o的一个方向向量是而=（T,3）,输=（3,4）与云=（-4,3）不平行，C错误:

D,验证当。=2时，两直线重合，D错误.

故选：AB.

11.在正方体力BCQ-4田£2中，AB=2,0为正方形48cA内（包括边界）一动点，f为CG的中点，则

()

5

A.三棱锥P-48C的体积为定值

B.存在点P,使得。_L4B

C.若4尸=3,则cos/HA的最大值为更

3

D.满足3P_L力下的点尸的轨迹长度为々

【答案】AD

【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以。为原点，DA.DC、所在直线分别为x、V、z轴，建立空

间直角坐标系，设点P（x/，2）,其中工、ye[0,2],利用空间向量法可判断BC选项；根据而・万^=0।旷得出x、V

的关系式，确定点尸的轨迹，并求其长度，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为平面48GA〃平面力8C。，尸£平面4片G。，

所以点尸到平面ABCD的距离等于AA.=2,

因为四边形/山C。是边长为2的正方形，故S~BC=；/84C=；X2?=2,

]14

因此Pp-/3c=§S&18cx2=]x2x2=]为定值,A对；

对于B选项，取4。的中点£,4片的中点时，连接EM.

以。为原点，DA、DC、力A所在直线分别为1、歹、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,0,0)、8(2,2,0)、4(2,0,2)、£(1,0,2)、尸(0,2,1)、C(0,2,0).

设产(xj,2),其中x、y«0,2],则丽=(xj—2,2),=(0,2,-2),

CP-4Z?=(x,y-2,2).(0,2,-2)=2^-8,

因为y«0,2],所以而•福=2y-8<0,

所以，不存在点。，使得。尸,力力，B错:

6

对于C选项,»=(x—2,y,2),方=(0,2,0),

所以用『=(X-2)2+/+22=9,即(.2)2+/=5,

ri/c/nAP-AB2yy,2

因为所以cos〃"=p^二而二汨

2

故当力P=3时，cos/PZA的最大值为5,C错；

对于D选项，JF=(-2,2,1),4A=(万一2,歹一2,2),

由8尸_1力尸得万.而=(_2,21)(x_2,y_2,2)=_2(x_2)+2(y_2)+]x2=0,即y=x7,

又因为工、'©[0,2],所以x«0,2]、蚱[0』，

所以点P的轨迹为平面48cA内的线段y=X-1,X€[1,2],

即图中为线段EM,由图知炉+4.2=J，+J=血,

故满足8尸14厂的点尸的轨迹长度为拉，D正确.

故选：AD.

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.过(T0),(3,0),(0,2)三点的圆的标准方程为.

【答案】(x-l)2+R—；J嚏.

【分析】设圆的标准方程为(14+0，-疗=/,代入(T0),(3,0).(0,设得到⑪/的方程组求解即可.

■、2，22

(-!-«)­+D-=广

【详解】不妨设圆的标准方程为。-4+。-/>)2=/,由.(3”)2+〃=,.2,

a2+(2-h)z=r2

。=1,

：于是圆的标准方程为(x-1)2+65

可解得b=,

265

16

故答案为：(X-1)2+(»-■!■]=—.

V16

13.在平面直角坐标系xOy中，设力卜应,血),8(3&,0),若沿直线/：y=x把平面直角坐标系折成大小为0的二面

7

角后，|力却=3啦，则6的余弦值为____.

【答案】|

【分析】在平面直角坐标系中，过点B作8C_L/「点C,则折成二小角后，e=(OA^CB),由

西二厢+1+词=3垃结合向量的数显积运算求解即可.

可知力0=2,08=3夜,8。=。。=3,

沿宜线/：»=x把平面更角坐标系折成大小为。的二面角后,

仍有/O1OC5C1OC,

则8=函函,由画=Q+诙+四=3队,可得I亚+双+而『=18,

叫西一+|唱’+|西’+2怒反+2而•屈+2历.而=18,UP22+32+324-0+2X2X3XCOS(7C-6>)4-0=18,

可得cos。=".故答案为：1

14.已知圆Ci+V—2..6=0和定点4(-4,0),直线/:y=Mx+6)-8(〃[eR).若直线/上存在点M,过点M作

圆C的切线，切点为8,满足|M4|=、0A/B|,求〃?的取值范围.

【答案】0,y

【分析】求设除x,y),根据|“旬二正阿8|得到点M的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得〃?

的取值范围.

8

【详解】设M(xj)，则也81MMe=4+,2_2―6,

由4(7,0),卜，刈|=亚四用，得(》+4)2+/=2卜2+丁2-2公6),

化简得(x-6)2+/=64,所以点M的轨迹是以。(60)为圆心，8为半径的圆.

又因为点“在直线/:〃“-尸6〃?-8=0上，所以/与圆。有公共点，

16的+6/〃-81,八1?

所以厂一48,解得0«加工子,

Vw+15

12~1「12

所以利的取值范围是0,y.故答案为：0,y.

四、解答题：本题共5小题，共77分，(15题13分，16-17题15分，18-19题17分)解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.求下列直线方程:

(1)已知3(3,1),C(-l-l),

①求，C边所在的直线方程；

②求8c边上的垂直平分线所在直线的方程；

(2)已知点尸(3,-1),求过点P且与原点距离为3的直线/的方程.

【答案】⑴①工-2尸1=0；②2»-2=0

(2)x=2或4x-3歹-15=0

【分析】(1)①先求得8C所在直线斜率原c，代入点斜式方程，整理即可得答案；②先求得8c的中点坐标，由①

可求得8c边的垂直平分线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案.

(2)分别讨论直线/的斜率不存在和存在两种情况，分析计算，结合点到直线距离公式，即可求得答案.

【详解】(1)①由题可得怎c=二旦=:，

则6。边所在的直线方程为夕-1=；(》-3),即x-2y-l=0.

②线段8c的中点坐标为(个,m),即(1,0),

由①知原c=g，则其垂直平分线的斜率为-2，

则8c边上的垂直平分线所在直线的方程为y=-2(x-l),即2x+y-2=0.

(2)当直线/的斜率不存在时，此时/:x=3,/与原点距离为3,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设/：y+l=A(x-3),即/:匕一尸3"1=0,

9

则有垮』=3,解得此时/:4x-3y-15=0.

VA*+13

综上所述所求直线/的方程为x=3或人-3尸15=0.

16.如图，在正三棱柱48C-44G口，底面边长为2,侧棱长为。是8c的中点.

（1）证明：48〃平面4）G；

（2）求直线44与平面4OG所成角的正弦值：

【答案】（1）证明见解析

⑵手.

4

【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；

（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值;

【详解】（1）如图，连接4。交4a于点。，连接O。，

则点。为4。的中点，且。是8。的中点,

则。。为△48C的中位线，所以OD/iA\B.

又因为ODu平面ADCi,48a平面ADC1,

所以4B〃平面AOG.

B

（2）取2G的中点尸,

因为在正△力8c中，。是8c的中点，故ADJ.BC,

10

因为三棱柱481G为正三棱柱,

所以CGj.平面

又因为。是8c的中点，厂是8c的中点，

所以。尸〃CG，

所以。产/平面44C,所以。产1BC,DF上AD，

以。为坐标原点，分别以04DB、。尸为％，乂z轴，建立空间直角坐标系,

则皿0,0,0),N("o,o),C(0,-l,0),3(0,1,0),4(石，0词，G(0,-1,6),5,(0,1,73).

故丽■=卜石,1,0),(73,0,0),西=(0,-1,6)，

设平面的法向量为初=(x,y,z),

mDA=JJx=0厂/r\

则___L,令y=6、则X=0,Z=l,即玩

f

m-DCx=-y+V3z=0''

设直线44与平面片。G所成角为。,

可得sine^cosR及，而==,

所以直线4片与平面ADC｝所成角的正弦值为正.

4

17.已知圆C的圆心C在x轴上，并且过力(1,2)和8(3,0)两点.

(I)求圆C的标准方程；

⑵若直线x-〃沙+1=0与圆相交于"，N两点，△CMN的面积为2,求实数小的值.

【答案】⑴(1)2+/=4

(2)m=±1

【分析】(1)解法一：设圆心C的坐标为(。，0),由|。|二|。却求得叫得圆心C的坐标，由〃二|疣|得半径，从而

得圆。的标准方程;

11

解法二：求出线段力〃的中点为。的坐标，线段48的垂直平分线/'的方程，则直线/'与x轴的交点即为圆心C,圆

的半径一从而得圆。的标准方程：

(2)解法一：设圆心C(1,O)到直线XT即，+1=0的距离"，根据弦长公式得|MN|,由三角形面积公式列出关于”的

方程，求解即可；

解法二：由条件可得出NMCN=90。，△CMN是等腰直角三角形，所以圆心C到直线工-叼，+1=0的距离

d=*L=&,解方程即可.

Vw+1

【详解】(1)解法一：设圆心。的坐标为(。,0),

因为48是圆上两点,所以心|二|C8|,

根据两点间的距离公式，有可_1)2+(0_2)2=J("3)2+(0—0)2,

解得。=1,所以圆心C的坐标是(1,0).

圆的半径r=|jc|=^(l-I)2+22=2.

所以所求圆C的标准方程是(x-1)?+/=4.

解法二：设线段的中点为。.

因为4(1,2),8(3,0),可得点。的坐标为(2,1),

因为直线力8的斜率为加8=晋=-1.

1—3

因此线段的垂直平分线/'的方程是卜-1=1《-2),即x—y-I=0.

直线/'与x轴的交点坐标为(1.0),所以圆心C的坐标是(1,0),

圆的半径厂=|4C|=而彳f=2.

所以所求圆的标准方程是(4-炉+V=4.

(2)解法一：设圆心C(LO)到直线、-修+1=0的距离为d,d=Y=,

\lm~+1

直线x-〃沙+1=。与圆相交于M,N两点,则|MN|=2尸彳=2"^庐，

所以S&CMN=驷叫.d=gx2=-/xd=d^-d1=2,

解得/―4/+4=0,即—2)2=0,所以/-2,

12

因为d>0,所以d=即“一-近,

解法二：因为圆。的半径/«=2,则|CM|=|CN|=2,

又因为J|GW|・|CN|=J尸=2,所以4MCN=90°,

乙乙

所以△CMN是等腰直角三角形，

所以圆心C到直线工-叩+1=0的距离〃=曹匚=应,

Vw+1

所以〃?二二1,解得〃?=±1.

18.已知点上与两个定点力(L0),以4,0)的距离的比为;.

(1)记点£的轨迹为曲线。，求曲线。的轨迹方程.

(2)若斜率为-1的直线/与曲线C交于不同的两点P、。，若NP。。为直角，求直线/在y轴上的截距.

(3)过点G(2,3)作两条与曲线C相切的直线，切点分别为“、N,求直线MN的方程.

【答案】⑴/+「=4(2)±2⑶2x+3y-4=0

【详解】⑴设点七的坐标为(")’则圜1

(X-I)24-/\_

(1)2+/4

整理得：3A2+3/-12=O

曲线。的方程是X2+/=4.

(2)设直线/的方程为歹=—+〃?，依题意可得△尸。。为等腰直角三角形，|PQ|二2拉

则圆心到直线7的距离d==；忸。1=无，解得:〃？=±2,

JJ(-11)-+1,2

所以直线/在J'轴上的截距为±2

13

(3)过G点(2,3)作两条与曲线C相切的直线，G点在圆外，连接OG,0M,由题意知|。6|=万了=内,

\GM\=4OG2-OM2=3,以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为(K-2)2+(y-3)2=9①,

又圆C的方程为Y+/=4②，

由①一②得直线"N的方程是2x+3y-4=0：

19.如图，四棱锥尸-48c。中，平面〃1O_L平面48CQ,底面力8C。是边长为2的正方形，侧面P4。为正三角形,

M是PA的中点，点N是PC的中点.

(1)求与PC所成角的余弦值；

⑵若四棱锥尸-在。的各顶点都在球。3的球面上，求CO］与平面POC所成角正弦值:

(3)过点M,N,8的平面与线段尸。交于点。，求微

【答案】(1)乎；(2)g；(3)".

【详解】(1)取力。中点O,8。中点Z,连接OP,OZ,

因