2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（湘教版选择性必修第一册数列 直线）（全解全析）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷

（时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.I可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卜上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：数列+直线方程。

5.难度系数：0.65o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知经过AJ3,2）,8（2,〃?）两点的直线的斜率为5,则实数加的值为（）

3115

A.——B.一一C.—D.-

2222

1.【答案】B

m-2fn-211

【解析】依题意，=5=-2*W=-2,

故选：B

2.已知等差数列｛4｝的公差为—2,若4,%，%成等比数列，S“是｛叫的前〃项和，则S）等于（）

A.8B.6C.-10D.0

2.【答案】D

［解析】vq,%，生成等比数列，,a；=44，

，1一2x2『=4•（《-3x2）,化为2%=16,解得％=8,

9xX

则§9=8x9+亏x（_2）=0

故选:D.

3,直线/的方程为：若宜线/不经过第一象限，则实数。的取值范围为（）

1

A.a>2B.-<a<2C.a>2D.a>-

33

3.【答案】C

%二一（不经过第一象限,

【解析】若直线/斜率不存在,即。=21：

1一3。1

若直线/斜率存在，即。工24y=-----x-------

-a-2a-2

jo

a~2=〃>2,

所以《

-——<0

a-2

综上实数。的取值范围为2,

故选:C.

4.等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若如为定值时2%+%+%.也是定值，则攵的值为（）

A.13B.IIC.9D.不能确定

4.【答案】A

【解析】因为S”为定值且S“=lk/6,故生为定值，故4+5"为定值，其中4为公差.

而2a2+%+q=4q+勿+6z/+(左一l)d=%|+(k+7)d,

故当且仅当左+7=20即攵=13时,2%+%+%.为定值.

故选：A.

5.已知点4（2,-3）,5（-3,-2）,若过点（1,1）的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）

33

A.—co,-----J[4,-K»)B.(-co,M]o

4

34-V

C.-4,4D.

5.【答案】B

-3-1-2-13

【解析】记（11）为点P,直线Q4的斜率即A==一4,直线依的斜率即8二一^二二

2-1-3-14

因为直线1过点且与线段A3相交,

3

结合图象，可得直线/的斜率4的取值范围是（-8,-4]口],+8

6.如图所示，已知A（-2,0）,8（2,0）,C（0,2）,E（-l,0）,产（1,0）,一束光线从尸点出发射到8c上

的£>点经8c反射后，再经AC反射，落到线段上（不含端点），则直线ED的斜率的取值范围是（）

A.（-oo,-2）B.（4,-K»）C.（2,+oo）D.

6.【答案】B

【解析】如图所示，从特殊位置考虑.

,:点A（-2,0）关于直线BC:x+y=2的对称点为4（2,4）,

...直线AF的斜率鼠尸=4,；・“<kFD.

VE（-l,0）关于直线AC:y=x+2的对称点为E、（-2,1）,

点E]（一2,1）关于直线BC.x+y=2的对称点为用。，4），此时直线E.F的斜率不存在.

综上，kFDG（4,-K»）.

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；I,I,2,3,5,…其中从第

三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数

列被2除后的余数构成一个新数列也｝,则数列出｝的前2026项的和为（）

A.1350B.676C.1351D.1352

7.【答案】C

【解析】1,1,2,3,5,8,13,21,34...,

除以2所得余数分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,

印｛2｝是周期为3的周期数列，

因为2026=3x6751,

自+包+4=2,

所以数列出｝的前2026项和为2x675+1=1351.

故选:C

8.过定点A的直线（a+l）x-y+2=0与过定点3的直线x+（〃+l）y-5。-2=。交于点p（尸与人8不

重合），则©QA3面积的最大值为（）

93

A.4B.-C.2D.-

22

8.【答案】B

【解^5]

【分析】根据方程可得定点4、B,并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.

【详解】动直线（a+l）x—y+2=0化为y=（〃+l）x+2,可知定点A（0,2）,

y—5=0

动直线x+（a+l）y-5a—2=（）化为a（y-5）+x+y-2=0,令‘+20，

解得），=5,.丫=一3,可知定点8（-3,5）,

又（。+1）x1—1x（。+1）=0,

所以直线（a+l）x—y+2=0与直线x+（a+l）），一5々-2=0垂直，0为交点,

2

/.PA±PZ?,.-.|E4|=,目2=（0+3）2+Q_5）2=18.

则S/，AB=J尸/叫依区3•西二色一=，当且仅当|/利=|尸邳=3时，等号成立.

9

即4A43面积的最大值为

2

故选:B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，后选错的得。分.

9.以下四个命题叙述正确的是（）

A.直线2x-y+l=0在x轴上的截距是|

B.直线工+妙=0和2x+3y+8=0的交点为7＞,且P在直线/一＞-1=0上，则攵的值是

2

C.设点M。,），）是直线工+），-2=0上的动点，。为原点，则|OM|的最小值是企

D.直线4：or+3y+l=0,4：2x+(〃+l)y+l=0,若IL2,则。二一3或2

9.【答案】BC

【解析】对于A,直线2天一y一1二0在X轴上的截距是一；,A错误：

（2x+3），+8=0[x=-\1

对于B，由《1八解得＜7即夕（一1,一2），则一1一2攵=0,解得&二一一，B正确;

x-y-l=0[y=-22

=6,C正确;

对于C,依题意，|OM|1nhi二

对于D,当。=2时，直线£,：2工+3），+1=0,乙2：2工+3），+1=。重合，D错误.

故选:BC

10.已知数列｛4｝满足勺+-2。“=2"+|,且q=4,则下列正碓的有（）

A.4=32

B.数列悬的前〃项和为小

n"+〃

C.数列，log?:，的前〃项和为log（w+1）+-----

22

1

4n1<

D.若数列＜-----的前〃项和为人则一（十4-

山12

10.【答案】ACD

【解析】对A,由《出一24=2向可得招一*=1,故数列（黑是以泉=2为首项，1为公差的等

X

差数列，

故祟="+1,即《=（刀+1）2",则q=32,故A正确；

对B,&=2"，故数列，上、[的前〃项和为2'22+...+2〃=2用一2,故B错误；

n+\[/?+1

对C,log?%=logJ"*"2=〃+]og2(〃+1)-log/,则前〃项和为

~n~n

l+log22-log2l+2+log23-log224-...+/2+log2(/i+l)-log27：

2

n

=1+2+3+...+//+log2(/?+1)=log2(/?+1)+,故C正确：

4"__________£_________]_J_J______1_

对D,蒜一(〃+l)2"乂(〃+2)2向―2(〃+1)(〃+2)~^Xn+\~~n+2

11—1P-111

则3=

212334«+T

又易得7；随"的增大而增大，故（27；二卷，即看工（＜；，故D正确•

故选:ACD

a

11.对于数列｛q｝（a”eN+）,定义4为q,%，…，k中最大值（2=1,2,…,〃）（/?GN+）,把数列｛〃,｝

称为数列｛4｝的“”值数列”.如数列2,2,3,7,6的值数歹『'为2,2,3,717,则（）

A.若数列｛可｝是递减数列，则也｝为常数列

B,若数列｛4｝是递增数列，则有。“二々

C.满足也｝为2,3,3,5,5的所有数列｛4｝的个数为8

2

D.若4=（_2）i（〃eN+）,记S”为低｝的前〃项和，则岳/二彳⑵00—1）

11.【答案】ABD

【解析】若数列｛。〃｝是递减数列，则4是4，“2，…，4中最大值（攵=1,2,）（〃$N+）,

所以"=4，｛2｝为常数列，A选项正确；

若数列｛4｝是递增数列，则%是4，生，…，生中最大值"=1,2「・,〃）（〃£此），

所以即4B选项正确；

满足｛"｝为2,3,3,5,5,则％=2,a2=3,%可以取1,2,3,a4=5,为可以取1，2,3,4,5,

所有数列｛〃”｝的个数为3x5=15,C选项错误；

若q=（—2yi（〃£N+）,则数列｛4｝中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，

则有电.产％=（-2广2=2f

所以5m=20+22+24++298）=|（2|00-1）,D选项正确.

故选：ABD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知｛〃“｝是公比为;的等比数列，若q+4+%++佝7=1°°，则43+〃6+〃9+…+劭9=.

12.【答案】25

&+。6+〃9+皿=

【解析】因为d=；

4+4+%++%74

所以/+%+%+…+为9=25

改答案为：25

13.若直线/过点（3,2）,且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线/的方程为

13.【答案】2x—3y=0或不一），-1二0

【解析】当截距为。时，设直线/的方程为y=依，

2

将（3,2）代入得，3k=2,解得左二§,

故直线/的方程为y=

当截距不为。时，设直线/的方程为土+上=1,

a-a

32

将（3,2）代入得，—=1,解得a=l,

故直线/的方程为x—y=1,

收直线/的方程为2工一3），=。或上一），-1二0.

改答案为：2x-3y=0或无一y-1=0

14.已知数列｛%｝满足4=7,一〃向=-若不等式—+―十几可20对任意的〃eN"

2n叫+1'7n-n

都成立，则实数4的取值范围是.

-52、

14.【答案】一三,+8

-3

\/?+1/八〃凡

【解析】由4=不，一—an七，可得（〃+1”〃+产-yr,

2〃叫+1nan+1

1111r

整理得UH---------=1，­=2、

+向nan4

所以数列［一匚］表示首项为2,公差为1的等差数列.

1cli1

——=2+/?-i=/?+i,则%二刀一工，

natln（n+\）

又由当+雪/l凡20恒成立，即丸2-（厂+，］（〃2+〃），对恒成立，

n-n\n-n）x7

令/⑺=一丹+小〃2+〃)=_伍+〃+〃<-(11+2^),

\n-n)x)\n

当且仅当〃:一，即〃二回时等号成立，又〃EN"

n

5235

当〃=3时，/（3）=---,当〃=4时，/（4）=一~—,

◊乙

finA5252

由对勾函数）』一［丁+〃）的单调性，得/.（〃）《一［■,所以42一§.

52)

所以实数4的取值范围是

故答案为：一彳，+8.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知VA8C中，A（2,l）,4（3,4）,8c边所在直线方程为人一2），+5=0,AC边上的高所在直线方程

为x+y-7=0.

（1）求AC边所在直线的方程；

（2）求8C边的中线所在直线的方程.

15.（13分）

【解析】（1）因为3c边所在直线方程为x一2y+5=（）,故可设。（马,笥*）,

因为AC边上的高所在直线方程为x+y-7=0,

而+5_]

所以一1,%AC=-1，所以丘-2______1_sv_7»

KAC~c-1n八0一/

工0-2

所以。（7,6）,故所求为）「6=1-7,即y=x-l；

（2）因为5（3,4）,C（7,6）,设BC中点为E，所以石（5,5）,

因为4（2,1）,所以砥£=m=]

3—ZJ

445

故所求为了一1二—（工一2）,即），二—x——.

333

16.（15分）在等差数列｛《』中，4=7,4=-5,｛%｝的前〃项的和为S”.

（1）求数列｛《.｝的通项公式；

（2）求S”取最大值时〃的值；

（3）设（=141+1。21+"31+…+41，求

16.（15分）

【解析】（1）由题意知在等差数列｛4｝中，6=7,出=-5,设公差为4

则为—田=6d=-12=>d=-2,则4=&-2d=11,

故q=4+(〃—1”=13-2小故通项公式q=13-2〃.

(2)结合(1)可得S〃=ll〃+当5x(—2)=12〃一〃2二一(〃一6尸+36,

.••当〃=6时，S”取最大值.

(3)a4=13-2〃，

131

.二由13—2〃20,得〃<==6二，

22

叩〃《6时有凡〉0,时有。”<0，

2

若〃<6,Tn=\al\+\a2\+\a3\+...+\an\=ay+a2+a3+...+an=Sn=\2n-n1

若7时，Tn=a1+a2+...+—a7-..an

=2(%+w+.・・+4)一(4+d+4+.・・+4〃)

22

=2S6-S„=2(12x6-36)-(12n-//)=/7-12/7+72,

\2n-n2n<6,neN*

综合上述y

“2・⑵+72/N7,〃EN”.

17.(15分)

己知直线4:入•一y+3-0和直线4：2x-），十1一0交于点C,求满足下列条件的一般式直线方程.

（1）过点C且与直线工一4》+1=0平行;

（2）过点C且到原点的距离等于2：

（3）直线（关于直线（对称的直线.

17.(15分)

x-v+3=0x=2

【解析】（I）联立方程cIz解得《,...C(2,5).

2x->'4-1=0y=5

设与直线人一4｝，+1=0平行的直线为X一4），+1=0（，工1）,

由题意得：2—4x5+r=0,r=18.

故满足要求的直线方程为：x-4j+18=0.

（2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为x=2,满足到原点的距离为2；

②当所求直线斜率存在时，设直线方程为y-5=〃1-2),

即左r—y-2Z+5=0,

|-2A+5|21

••・原点到该直线的距离为=2,解得女二一,

।V/175F20

直线方程为2Lr-20y+58=0,

综上所述，符合题意的直线方程为了-2=0或2*-20》+58=0.

(3)在《上取一点用(0,3),设点M关于直线4的对称点为点N(%,%)，则

%-3二18

12,解得.

,，N化口

11(55；

2jo_A12+i=O

22

又C(2,5),则直线CN的方程并所求直线方程，为三

x-2

化简得，7x-y-9=0.

改所求的直线方程为：7x-y-9=0.

如图‘将一块等腰直角三角板"。置于平面直角坐标系中，已如”=ABLOB,点

是三角板内一点，现因三角板中部分(V/YM内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经

过P的任意一直线MN将其锯成_AMN.

（1）求直线MN的斜率的取值范围；

（2）若尸点满足MP=^PV,这样的直线MN是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时

3

直线MN的方程；

（3）如何确定直线/WN的斜率，才能使锯成的LAMN的面枳取得最大值和最小值？并求已最值.

18.（17分）

【解析】（1）依题意，得方程为：丁一!二攵（工一工），艮」），=依一”二!•

412J'4

\AB\=\OB\=\,，直线（M方程为：y=x,直线/W方程为：x=I,

1

2k-\2k-\

联立《-4I2，得M

l4d)'4(D/

y=x

1,

)，4=kx2J,得加,24十1

联立《

x=i

0工三工

1

4("1),解得一!wzw!：

所以《

O'Al22

4

-1-12k-\1八1、1

(2)若MP=—PN,可得5一斫T3"5）'解得"一了

3

所以直线MN的方程为=整理得x+2），-1二0

422

（3）在_AA〃V中，由（1）知:

2攵+1I2114(-)+占+4.

S&AMN=~,IAN|=不1—

22~4U-1)32

13・・・/（/）在是单调递增.・••当，=3时、/。）=型，即

设,二i_"w—,设/“)=4/

乙42223

当1」=|时即仁一;时，（S）2=[y+4=|

当f=一时，/（，）=4,即当1-k=一时即k=一时，（S）min=—[4+41=一,

22232L」4

_AMN面积的取值范围|<SAMN《1•

19.（17分）

在数列｛〃”｝中，按照下面方式构成“次生数列”｛2｝：4=%也=而必也｝也=min｛q

2=min｛4,外,,凡｝（〃2