2025-2026学年北师大版九年级数学上册 期末测试 （含答案）

期末测试

一、选择题：本大题共8小题，共24分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x2—7=5y+1B.fx-=|x2+%

C.lx2-7y-2=0D.3x2—5x+7=3x2+6x—4

2.某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是（）

3.把2加长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（）

A.（3—yfS）mB.（y[~5-1）TTIC.（1+/5）mD.（2-<5）771

4.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

5.如图，下列条件不能判定△A8C与AADE相似的是（）

卜AEDE竺=生

B.乙B=Z.ADE

A=说ADABD.Z-C=Z.AED

6.若关于1的一元二次方程（攵一1）/+2%-2=0有两个不相等的实数根，则々的取值范围是（）

A.k>：B./c>!C.k>3且kHlD.k>:且A工1

7.如图，矩形OEFG的两边和0G都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形

ABCD,且对应点。和户的坐标分别为（一4,4）,（2,1）,则位似中心的坐标是（）

A.(0,2)B.(0,2.5)C.(0,3)D.(0,4)

8.已知点A在函数yi=-：（工＞0）的图象上，点B在直线=丘+1+k（k为常数，且kZ0）上.若4,

B两点关于原点对称，则称点48为函数为,力图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的

“反好点”对数的情况为（）

A.只有1对B.有1对或2对C.只有2对D.有2对或3对

二'填空题：本大题共5小题，共15分。

9.若（m-l）xm（m+2）-1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程,则in的值是.

io.已知2=1，则写的值是.

a13a+b-----

11.如图，延长矩形ABCO的边BC至点E,使CE=BD,连接力E.如果上力。B=30。，那么“=度.

12.如图所示的是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数

是

一

主

左

视

视

图

图

13.如图，已知双曲线y二七与直线y=g%相交于4,B两点,第一象限内的点（在点4左侧）是双曲

线上的动点，过点8作BC〃y轴交x轴于点。，过点N（0,-几）作NC〃x轴交双曲线「点E,交B。「点C.若

8是CQ的中点，四边形O8CE的面积为4,则直线CM的表达式为.

三、计算题：本大题共6分。

14.解方程：2/一4%一3二0.

四、解答题：本大题共12小题，共75分。

15.水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千

克.通过调查发现，这种水果的单价每降低0.1元，每天可多售出20千克.为保证每天至少售出260千

克，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果的单价降低x元，则每天的销M品是T•克（用含x的代数式表示）.

（2）销售这种水果要想每天盈利30）元，张阿姨需将单价降至多少元？

16.如图，在矩形A8CO中，。石交8c于点E,且=4/1DE于点F.求证：AB=AF.

17.为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城猿居民的住房面积由现在的人均10巾2提高

到12.1巾2.若每年的增长率相同，求未来两年平均年增长率.

18.如图，力为△ABC边人8上一点.请用尺规作△力DE,使点E在边AC上，且.（保留作图

痕迹，不写作法）

19.如图，已知四边形44co是平行四边形，点石，尸分别是A8,4C上的点，AE=CF,并且Z4ED=

“FD.求证：四边形人BC。是菱形.

2().如图，在等边三角形A4C中，边长为6,。是BC边上的动点，ZEDF=60°.

(1)求证：ABDEs^CFD.

(2)当BD=1,C尸=3时,求8E的长.

21.已知正比例函数%=ax(aH0)与反比例函数为=-(Zc*0)的图象在第一象限内交于点4(2,1).

(1)求a,A的值.

(2)在平面直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答为＞为时工的取值范围•

22.已知关于x的一元二次方程/+(2m-l)x+m2=0有两个实数根与和无

(1)求实数机的取值范围.

(2)当好-xf=0时，求m的值.

23.某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示.

(1)如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为.

(2)如果随机抽取2名同学共同展示，求都为男生展示的概率.

24.如图，在四边形A6CO中，AD//BC,4力=90°,AB=BC,ZD=45°,CO的垂直平分线交CO于点

E,交AO于点入交8c的延长线于点G,若AC=Q.

(1)求证：四边形A6C/是正方形.

(2)求4G的长.

25.如图，四边形A5CO是正方形，G是边8C上任意一点，。后人/^于点后，B/7/DE且交AG于点F.

(1)求证：AE=BF.

(2)连接OF,CE,探究线段。r与CE的关系并证明.

26.问题提出

在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这

个图形的“等分积周线”.

(1)问题探究

(1)如图1,在中，44c8=90°,418c=45°,48=4,请你过点。画出△力8c的一•条”等分积

周线”，与A3交于点。，并求出CQ的长.

(2)如图2,在△ABC中，AB=BC,且8C。AC,过点。画一条直线CE,其中E为/W上一点，你觉得

CE可能是A/IBC的“等分积周线”吗？请说明理由.

(2)问题解决(3)西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处.在某地的街心花

园中有一块如图3所示的空地ABCZ),其中41=48=90。，AB=4,BC=6,CD=5,现要在这块空地

上修建一条笔直的水渠(渠宽不计)，使这条水渠所在的直线既平分四边形48CD的周长，又平分四边形

A3c。的面枳，且要求这条水渠必须经过边BC.请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与

边BC的交点到点3的距离.

答案和解析

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】。

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】一3

10.【答案】《

11.【答案】15

12.【答案】4

13.【答案】y=1x+l

2

14.【答案】解：(x-I)=勺=1+半，x2=1-号2

15.【答案】【小题1】

(1C0+200%)

【小题2】

设这种水果的单价降价x元.则(4一2-3)(100+200%)=300,解得与=1,%2=去当工=1时，每天的

销售量为300千克：当％时，每天的销售量为200千克.•••保证每天至少售出260千克，.••工2=:不合题

意，应舍去..••冗=1,此时单价为4-1=3(元).答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单

价降至3元.

16.【答案】证明：•••力尸_L0E.：.£力50=90°J.•在矩形4BC7)中，AD//BC,Z.C=90°,AB=CD,；.

AADF=/.DEC,Z.AFD=zf=90°.vAD=DE,.-.AZlDF^ADEC(AAS)..-.AF=DC.-DC=AB,AB=

AF.

17.【答案】解：设未来两年平均年增长率是工则10(1+二)2=12.1,解得力=0.1=10%,不=一2.1(舍

去).答：未来两年平均年增长率是10%.

18.【答案】解:如图,△ADE即为所求.

19.【答案】证明：•••四边形A8a)是平行四边形，=LCJ.YE=CF,乙AED=MFD,.^AED^A

CFD(ASA).，AD=CD.又•四边形A8C。是平行四边形，，平行四边形A8CO是菱形.

20.【答案】【小题1】

解：证明：・.飞力8。为等边三角形，二48=2<=60°.：4£7)尸=60°,二48£7)+45。8=4川)8+

Z-CDF=120°.•••乙BED=zCDF.BDE^LCFD.

【小题2】

由Q)知△BOESACF。，.♦.晋=3...・8。=6,Z?D=1,CD=BC-BD=5.Ay=解得BE=/

21•【答案】【小题1】

解：将A(2,l)代入％=ax,得1=2a,Aa=J.将A(2,l)代入力=-»得1=k=2.

/XLa

【小题2】

由(1)知，yt=1x,力=：，两个函数的图象略.由图象得，当yi〉加时，-2VXV0或>>2.

22.【答案】【小题1】

解：由题意，得/=(2m—1)2—4m2之。，即1—4??1之0,解得mM

【小题2】

Xx

由*-X1=0得(勺-X2)(1+2)=。.若+%2=°»则一(2m-1)=0,解得m=1.vm<i,1

不合题意，舍去.若%1-不=0，即Xi=%2，4=0，即1-4血=0,解得m=[..•.m的值为:.

23.【答案】【小题1】

1

4

【小题2】

画树状图或列表略.一共有12种等可能的结果，其中“都为男生展示”的结果有6种，所以P（都为男生

24•【答案】【小题1】

解：证明：「CD的垂直平分线交。。于点E,交AD于点F,FC=FD..♦.乙D=^FCD=45°..•.乙CFD=

90°,即/4"C=90°.又•：ADIIBC,乙4=90°,二乙8=90°..••四边形是矩形.又•••A8=8C,.•.矩形

A8C户是正方形.

【小题2】

•••FG垂直平分CO,ACE=DE,Z.CEG=/-DEF=90°.vBG//AD,二4G=NE尸。.在△CEG和△OE厂中，

(Z.G=乙EFD,

4CEG=Z-DEF,CEG^LDEF(AAS).ACG=FD.又•••在正方形ABC/中，BC=AF,AAFFD=BC+

[CE=DE,

CG.：.BG=AD=a.

25.【答案】【小题1】

解：证明：•••0E14G,8/7/。£,.・.8打_146.二/4£7)=48/4=90°「四边形48。。是正方形，:48二

AD=CD,Z.BAD=AADC=90°.二Z,BAF+Z.EAD=90",/-EAD+Z.ADE=90°.AZ-BAF=(ADE.：4

AFB/ADEA(AAS)..'.AE=BF.

【小题2】

。尸=CE且。尸1CE.证明：-/.FAD+Z.ADE=90°,4EDC+/ADE=90°,:,乙FAD=CEDCJ：2AFBW2

DEA,AAF=DE.又•：AD=CD,/.△FAD^LEOC(SRS).••・DF=CE.Z.ADF=Z.DCE.vZ.ADF+乙CDF=

90°,:.乙DCF+乙CDF=90°.二DF1CE.

26.【答案】【小题1】

解：(1)过点C作CD1A8,线段C。即为△4BC的“等分积周线”.•••NACB=