2025-2026学年北师大版九年级数学下册《圆内接正多边形》同步练习

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》

同步自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.若一个正多边形的中心角为45。，则这个正多边形的边数为（）

A.七B.八C.九D.+

2.若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

3.正多边形的一部分如图所示，若乙403=20。，则该正多边形的边数为（）

A.8B.9C.10D.12

4.如图，正六边形与正方形的中心都是点O,且顶点A,B里.合,贝IJ乙C4D的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D,25°

5.司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点力〜H

代表八个方位，如图，BH与DG交于点P,则点P位于点D的（）

A.南偏西75。方向B.北偏东75。方向C.南偏西67.5。方向D.北偏东67.5。方向

6.如图，。。是正五边形A8C0E的内切圆，点、M,N,产分别是边/IE,AB,CO与。。的切

点，则N4Nr的度数为（）

A.1250B.108°C.90°D.144°

7.如图，。0是正五边形MCDE的外接圆，这个五边形的边长为〃，半径为几边心距为r,

则下列关系是错误的是（）

B.a=2Asin36°

D.r=acos36°

8.如图，点。为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六边形的边长为4,则点。到47

的距离0G的长为（）

A.2V3B.2C.V3D.1

二、填空题（满分24分）

9.如果一个正〃边形的中心角大小是它内角和的《，那么〃的值是____.

24

10.若正多边形的一个中心角为60。，边长为4cm,则这个正多边形外接圆的半径为

11.图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A,B,C

为顶点，则tan乙BAC的值为.

12.如图，O。是半径为3的正八边形/BCDE"，的外接圆，连接DF,则DF的长为

H

13.如图，BE为正六边形ABCDE"的一条对角线，FH1BE于点H,连接若正六边形

的边长为2,则的长为

14.如图，五边形4BCDE是。。的内接正五边形，力?是。。的直径，BD与AF交于点G,则

乙0G/的度数是°.

15.如图,正六边形I8CDEF的边CD、EF分别与0。相切于点C、F,连接OF、CO,则4＞。尸

16.已知圆。是正方形力的内切圆，M为圆。1：任一点，N为0C的中点，连接MN.

（1）如图1，黑=;

（2）如图2,连接M8,若48=4,贝—的最大值为.

三、解答题（满分72分）

17.如图所示，正△48。的外接圆的圆心为0,半径为2,求△ABC的边长小周长P,边

心距r,面积S.

18.如图所示，圆内接△/BC中，48=BC=CA,。。、0E为。。的半径，0D1BC于点F,

0E14c于点G,求证：阴影部分四边形。尸CG的面积是A4BC的面积的熊.

19.国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对上角星进行了较深入的研究：延长止九边形的

各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星.如图，正五边形A8CDE的边34、

0E的延长线相交于点尸，乙区4F的平分线交EF于点M.

(1)求证:AE2=EF-EM；

⑵若力F=l,求AE的长.

20.如图，力B为。0的直径，点C、D都在。0上，且CD平分△力C8,交48于点E.

⑴请判断△48。的形状，并说明理由.

(2)若DE=13,4E=17,求。。的半径；

(3)Dr_L4C于点凡试探究线段力大。尸、8C之间的数量关系，并说明理由.

21.如图，在平面直角坐标系中，正六边形A8CDEF的对称中心P在反比例函数为二

：(〃>0,x>0)的图象上，边在彳轴上，点尸在y轴上，己知48=20.

y

ED

⑴判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由;

⑵求出直线EP：y2=ax+b（aH0）的解析式，并根据图象直接写出当x>0时，不等式ax+

b>"的解集.

22.已知。。的直径4B=6,弦4c与弦BD交于点E,ODLAC,垂足为点心

⑴如图1,如果AC=8。，求弦力C的长；

⑵如图2,如果E为弦8。的中点，求tan-8D的值；

⑶连接8C,CD,DA,如果8c是。。的内接正九边形的一边，。。是。。的内接正（〃+4）

边形的一边，求△4CD的面积.

23.摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等

的小圆组成（如图2）,大圆绕着圆心。匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P,N）均匀分

布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线/.

⑴4NOP=°

（2）若。｛=16,。。的半径为10,小圆的半径都为1：

①在旋转一周的过程中，圆心M与/的最大距离为

②当圆心”到/的距离等于。刖寸，求0”的长；

③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值.

参考答案

1.B

【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解

题的关键.

根据正多边形的中心角计算公式为：中心角=360。+边数，求解即可.

【详解】解：设正多边形的边数为儿

由题意可得：45。九二360）,解得：九二8.

故选B.

2.B

【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始

图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转

角.正八边形绕中心旋转的最小角度为等=45。，所有可能的旋转角度均为45。的整数倍,

据此即可求解.

【详解】解：正八边形是旋转对称图形，其旋转对称角度为哼:二45。.

因此，旋转后的重合角度必须满足45。xk（A•为整数）.

选项A：45。是45。xl,符合条件；

选项B：60。无法表示为45。的整数倍，不符合条件；

选项C：90。是45。X2,符合条件；

选项D：180。是45。X4,符合条件.

综上，不可能的角度为60。，

故选:B.

3.B

【分析】本题考查了正多也形与圆，圆周角定理.根据正多边形的性质得出点4、B、C在以

点。为圆心，。力为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到41。8=24CB,即可得到结

论.

【详解】解：如图，设正多边形的中心为。,

QC

AR

团4、B、C为正多边形的顶点，

同点力、B、C在以点。为圆心，。/为半径的同一个圆上，

团44cB=20°,

团ZAOB=244cB=40°,

团3600+40°=9,

团该正多边形的边数为9.

故选：B.

4.B

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三

角形的性质是正确解答的关键.根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角

形的性质进行计算即可.

【详解】解：•.•点。是正六边形的中心，

•••Z-OAC=60°,

又•••点。是正方形的中心，

・•・△力0。是等腰直角三角形,

乙OA0=45。，

•••Z.CAD=LOAC-LOAD=60°-45°=15。，

故选：B.

5.D

【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周

角的定义是正确解答的关诞.根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算

即可.

【详解】解：如图，设正八边形/IBCDEFGH的中心为点0,连接BD、OB、OG、DH,

4北）

（西北）（东北）

(西K东）

（西南）。（南严东和

团正八边形的中心角为衅=45。,

8

团430G=3x45°=135°,(HOG=45°,

0Z5DG=-/.BOG=-x1350=67.5。，（GDF=乙HDG=-/-HOG=-x450=22.5°,

2222

^BDF=Z.BDG+Z.GDF=67.5°+22.5°=90°,

团801OF,

同点P位于点。的北偏东67.5。.

故选：D.

6.B

【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接。M,ON.求出乙MON,

再利用圆周角定理求出匕A1FN=36。，连接4F,可得4力FN=41FM=18。，由ON=OF得

“NF=18°,求解即可.

【详解】解：连接OM,ON,如图，

团M,N,尸分别是AE,AB,CD与。。的切点,

团。M1AE,ONLAB,AM=AN,

WiOMA=/ON力=90°,

回正五边形,DE中,乙4=108°,

团乙MON=180°-108°=72°,

0ZMF/V=^MON=36%

连接4F,由对称性可得4O.F三点在同一条直线上,

在△力N。和△力MO中，

(AM=AN

0M=ON,

\A0=A0

团△ANO三△AMO(SSS),

团乙NA。=Z.MAO,

在△/INF和△/IM尸中，

(AN=AM

1/.NAF=^MAF,

(AF=AF

^ANF三△AMF(SAS),

团4NFA=/.MFA=18°,

团ON=OF,

团4ON尸=乙OFN=18°,

0Z71/VF=Z.ANO+“NF=900+18°=108°.

故选：B.

7.D

【分析】本题主要考查了圆和正多边形的结合，垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解

直角三角形，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应

用.

利用垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知

识点逐项进行判断即可.

【详解】解：如图所示，。尸1BC,交BC于点F,

A.由垂径定理和勾股定理可得/?2一产=；。2,该选项正确，故不符合题意；

4

B.由题意可得，，'360。=72。，由等腰三角形的三线合一性质可得乙8。?二

-Z.BOC=36。，

2

团8尸=OB-sinzf/OF=R-sin360,

由垂径定理得BC=2BF=2R-sin360,

该选项正确，故不符合题意；

C.由题意可得，ZBOC=：'360。=72。，由等腰三角形的三线合一性质可得48。尸二

〃BOC=36°,

2

0FF=OF-tanz.BOF=r-tan36°,

由垂径定理得BC=2BF=2r-tan36°,

该选项正确，故不符合题意；

D.由题意可得，zZ?OC=ix360°=72°,由等腰三角形的三线合一性质可得々80F=

-Z-BOC=36°,

2

WF=OB-cosZ-BOF=R-cos36°,

即r=R-cos36°

该选项错误，故符合题意；

故选：D.

8.B

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正

多边形的中心角，连接。G,OA,OD,则。（？=。力=。。，Z.AOC=120°,Z.DOC=60\可

证明ADOC是等边三角形，LOAC=LOCA=30°,则可得到0C=DC=4,再求出0G的长

即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接OG,OA,OD,

团点。为正六边形的中心，

WC=OA=OD,Z,AOC=*x2=120°,Z-DOC=号=60°,

DOC是等边三角形,/OAC=AOCA=180°~120°=30\

团OC=DC=4,

团OG1AC,

WG=-OC=2,

2

团点O至弘C的距离OG的长为2,

故选：B.

B

9.8

【分析】此题考查正多边形内角与中心角，根据正孔边形的中心角的度数为理，内角却为

n

5-2)x180。，列出方程即可，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角.

【详解】解：正九边形的中心角的度数为号，内角和为6-2)x180。，

由题意可得:乎=3-2)x180。X/,

解得：〃i=8,九2=-61负值舍去)，

故：n=8,经检验，符合题意，

故答案为：8.

10.4

【分析】本题考查正多边形与圆的综合，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质等

知识，根据题意得到该正多边形是正六边形，其的中心与一条边的两个端点相连，构成等边

三角形，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的

关键.

【详解】解:13正多边形的一个中心角为60。,

团该正多边形的边数为360+60=6,即该正多边形为正六边形，

正六边形的中心与•条边的两个端点相连，构成等边三角形，

团边长为4cm,

回这个正多边形外接圆的半径为4cm,

故答案为：4.

11.

【分析】本题考杳了解直角三角形的应用，正六边形，＞三角形的性质，直角三角形的性质，

勾股定理，熟练掌握解直龟三角形是解题的关键.

延长CE交A8的延长线于点D,作FG1CE于点G,得到乙4DC=90°,Z-FGC=乙FGE=90。，

设正六边形的边长为a，则上/=C9==4a,求出乙汁C=360。-2x12U。=120。，

得到FG=1C尸=：Q，继而得到QC=3V5a,BD=FG=^a,求得AZ)=48+BD=4a+

-a=-a,得至iJtanziRzlC=变=^=三百，即可得到答案.

22AD-a9

【详解】解：如图，延长CE交718的延长线于点D,作尸GJLCE于点G,

•••Z.ADC=90°,乙FGC=乙FGE=90°,

设正六边形的边长为a,则EF=CF=a,/18=4Q,

•••EG=FG,

・••正六边形的一个内角为“2)广8。。=120。，

6

•••/-EFC=360°-2x120°=120°,

•••Z.FCG=Z-FEG=1(180°-乙EFC)=30°,

•••FG=±CF=；a,

22

I----------V3

22

ACG=^CF-FG=—a

乙

•••DC=^V3a,BD=FG=/,

22

AD=AB+BD=4a-a=-a,

22

•••tanz.BAC=^==JV5,

AD-a9

故答案为：1V3.

12.3V2

【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆,

先求出中心角，再根据勾股定理可得答案.

【详解】解:连接。。,。£。/，如图所示,

团这个多边形是正八边形，

0Z.DOF=乙EOF=360°=45。，

8

团WOF=90°.

在RtaDOF中，DO=FO=3,

WF=”02+702=30.

故答案为：3a.

13.V7

【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出乙FEB=60。，由F41

BE可得乙HFE=30°,LAFH=90°,得HE=^EF=1,由勾股定理可求出HF=6,AH=夕.

【详解】解：13六边形ABCDEF是正六边形，

0FF=AF=2,/.AFE=乙DEF=dNiM=120°,

6

回六边形ABCCE"是轴对称图形，

团BE是它的•条对称轴，

□ZFFF=乙DEB=^Z-DEF=60°,

1BE,即4FH£=90。，

^EFH=30°,

=120°-30°=90°,

在Rt△尸，E中，FE=2,Z.EFH=30°,

团EH=(E尸=1，

由勾股定理得，FH=VFF2-EH2=V22-l2=V3,

在Rt△FHA中，由勾股定理得=>/AF2+FH2=卜+(V3)2=夕，

故答案为：V7.

14.54

【分析】连接BO,C。，根据正五边形的中心角得Z8OC=360。+5=72。，AF1CD,结合

圆周角定理得NBDC=NB"=36。，再运用直角三角形的两个锐角互余列式计算，即可作

答.本题考杳了正多边形与圆，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.

【详解】解:连接BO,CO,

O

回五边形A8CDE是。。的内接正五边形，AF是。。的直径，

回，80C=360°+5=72°,AF1CD,

团8c=BC,

^/.BDC=^Z-BOC=36°,

则在Rt△GDW中，乙DGF=90°-乙BDC=90°-36°=54°,

故答案为:54.

15.120°

【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边

形内角和的计算方法是正确解答的关键.根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切

线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案.

【详解】解：国正六边形的边CO,E尸与。。相切于点C,F,

0ZOFE=90°="CD,

团六边形力8CDEF是正六边形，

0zD=zF=<™^=12Oo,

在五边形。CDEF中，

Z-COF=(5-2)x180°—90°x2—120°x2=120°,

故答案为：120°.

16.y2V5

【分析】本题是圆的综合题，考查了正方形内切圆，相似三角形的判定和性质，三角形的三

边关系，勾股定埋等知识，将的最大值转化为求8N的长是解题关键.

(1)过点。作。尸_L",垂足为凡圆。半径为R,则ON=/R,证明△M0N7C0M,即

可求出器的值；

MC

(2)结合(1)的结论可得|鱼M8-MC|=V^M8-MN|,则当M在BN的延长线上时，即

点、B、M、N三点共线时，IM8-MNI有最大值，最大值为RN的长，过点N作NQ8C,垂

足为Q,证明△C。尸”△CNQ,得出BQ=3,NQ=CQ=1,从而求出BN=g,即可得

解.

【详解】解：(1)如图1,过点。作。尸1BC,垂足为广.

图1

设圆。半径为R,则OF=OM=R,

0C=V2R,

•••N为。。的中点，

ON=—2R,

.ON_0OM_72

''UM~2'UC—Z'

又•••乙MON=乙COM,

:.AMON'COM,

•\-M-N=_-O--N=_-y-f2,

MCOM2

故答案为：y;

(2)由(1)可知，MN=yMC,

\V2MB-MC\=&|M8-曰MC|=&|M8-MN|,

.•.当M在8N的延长线上时，即点B、M、N三点共线时，|M8-MN|有最大值，最大值为BN的

长，

如图2,过点N作NQ18C,垂足为Q,

AD

BFQc

图2...NQWOF,

COFCNQ>

.CF_OF_OC_

：,—=—=—=2,

CQNQCN

VOF=BF=CF,AB=BC=4,

:.BQ=3,NQ=CQ=1.

:.BN=JBQ2+NQ2=Vio,

\MB-MN|的最大值为7TU,

V2\MB-MN|的最大值为axVTO=V20=2瓜

A\V2MB-MC|的最大值为2匹.

故答案为：2遥.

17.a=2x^3,P=6>/3,r=1,S=3A/3

【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形

的面积，

作4D08C于。，根据等边三角形性质得出8。=CD=：BC,WCD=30°,求出OD,根据

勾股定理求出CD,即可求出8C,8C的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可.

【详解】解：作力C1BC于。.

回△力BC是正三角形，

团点。在上，a=BC=2CDtZ.OCD=30°,

在Rt/kCOD中，r=OD=\0C=1,

CD=70cz-OD?=V22-lz=遮,

^a=BC=2CD=2近,P=3a=673.

又(34。=OA+OD=2+1=3,

^S=-BC-AD=-x2>/3x3=3VL

22

0a=273,P=6V3,r=1,S=3x/3.

18.见解析

【分析】首先连接OC,根据垂径定理的知识，易证得RtzxOCG三RtzxOCF,设0G=a,根

据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形。"CG的面积与△48。

的面积，继而求得答案.

【详解】连。4、OB、0C,如图(2)所示，

图(2)

则。4=0B=0C,又AB=BC=CA.

:.△OAB=△OBC=△OCA,

又。0±BC于F,OE±4c于G,由垂径定理得AG=1AC,FC=BC,

AG=CF.

**•Rt△AOG=Rt△COF

团S四边形0FCG=S&0CG+SAOCF=S^OCG+S^AOG=SAAOC=]SAABC•

即阴影部分四边形。FCG的面枳是△ABC的面积的;倍.

【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

19.(1)证明见解析

(2)4E的长为年

【分析】(1)根据正五边形的性质可得乙84E=匕4EO=108。，从而利用平角定义可得

/.FAE=^AEF=72°,进而利用三角形内角和定理可得乙尸=36。，然后利用角平分线的定

义可得4凡4M=Z.MAE=36°,从而可得/尸=Z-MAE,进而可证4AEM八FEA,最后利用

相似三角形的性质进行计算，即可解答；

（2）设AE=x,利用（1）的结论可得：NF=4凡4M=36。，从而可得/M=4M,在利用

（1）的结论可得：^FAE=LAEF=72°,从而可得凡4=FE=1,然后利用三角形的外角

性质可得乙4ME=44EF=72。，从而可得4M=AE,达而可得AM=AE=FM=%,再利

用线段的和差关系可得ME=1-％,最后利用（1）的垢论可得：AE2=EF-EM,从而可

得%2=1.（1一%）,进行计算即可解答.

【详解】（1）证明：•••五边形48CDE是正五边形，

Z-BAE=Z.AED=108°,

•••Z.FAE=180°-Z.BAE=72°,Z-AEF=180°-Z.AED=72°,

•••乙F=180°-Z.FAE-LAEF=36°,

•••A用平分/尸力E,

•••乙FAM=^MAE=^FAE=36°,

:.乙F=Z-MAE,

vZ.AEM=Z.AEF,

AEMFEA,

AE_EM

AEF=~EAf

:.AE2=EF•EM；

（2）解：设力E

由（1）可得：Z.F=Z.F/1M=36°,

FM=AM,

由（1）可得：Z.FAE=Z.AEF=72°,

AFA=FE=1,

vZ.AME=ZF+Z.FAM=72°,

:.Z.AME=Z.AEF=72°,

AM=AE,

•••AM=AE=FM=x,

•••ME=EF-FM=l-x,

由（1）可得：AE2=EFEM,

•••x2=1•（1-x）,

解得义二3三或%=半(舍去),

A厂^5-1

・•・AE=-----,

2

・•.4E的长为与■.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的定义，正多边形和圆，根据题目的已知

条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

20.(1)等腰直角三角形，理由见解析

⑵12

(3)AF+BC=DF.理由见解析

【分析】(1)由CD平分ZAC8,根据圆周角定理，可得4力8D=4力CD=45。,

从而得解；

(2)过点/?作EM14。千点M,求出4。长•则49=或4。,可求出4a则答案得出：

(3)过点。作ONJ.CB,交的延长线于点N,证明△EMF三4OBN与RtACOF三股△

CDN(HL),则力F=BN,DF=C尸则结论力/+BC=。5可得出.

【详解】(1)解：1348为。。的直径，

团NACB=Z.ADB=90°

团CD平分匕ACB,

^ACD=4BCD=45°,

^Z-ABD=Z.ACD=乙BCD=^BAD=45°,

团△/IB。是等腰直角三角形;

(2)解：如图1,过点E昨EM于点M,

••,4B为。。的直径,

•••Z-ACB=90°,^ADB=90°,

•••Z.DAB=4BCD=45°,

•••AE=17,

V217金

ME=AM=AE-sin^DAB=17x

~2-2，

•••DE=13,

DM=>JDE2-ME2=J132一空歹=当,

:.AD=AM+DM=12V2,

AB=.AD=y[2AD=12V2xV2=24,

sinzD/lB

AO=-AB=12；

2

(3)解：AF+BC=DF.理由如下：

如图2,过点、D作DN1CB,交CB的延长线于点N,

D

图2•.•四边形D4cB内接于圆,

Z.DAF+/.DBC=180°,

•••乙DBN+Z-DBC=180°,

...乙DBN=Z.DAF,

•：DFLAC,DN1CB,C。平分乙4CB,

:.Z.AFD=乙DNB=90°,DF=DN,

DAF=△OBN(AAS),

AF=BN,

•••DF=DN/DFC=Z/V=90°,CD=CD,

/.RtACDF=/?tACD/V(HL),

ACF=CN,

•••乙FCD=45°,

:.DF=CF,

二CN=BN+BC=AF+BC=DF.

即力尸+BC=DF.

【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接

四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟

练掌握圆的有关性质定理是解题的关键.

21.（1）点E在该反比例函数的图象上，理由见解析

（2）y=-V3x+9,y/3<x<2\/3

【分析】（1）根据正六边形的性质得出48=AF=2V3,LFAO=60°,则CM=AF-cos60°=

V3,OF=AF-sin60°=3,得出F（0,3）,力（6,0）,

连接P",PA,推出△EFP,AR4PQ48P为等边三角形，得出P（28,3）,则反比例函数表达

式为把E（V5,6）,网26,3）代人力=々％+8（。工0）丫1=竽，求出E（V5,6）,即可解答；

（2）把£（6,6）,夕（28,3）代入、2=以+69。0）,求出。和的值，即可得出直线EP的

解析式，根据图象，找出直线EP位于双曲线上方时自变量的取值范围即可.

【详解】（1）解：（3六边形4BCDE/为正六边形，AB=2V3,

^AB=AF=2V3,乙FAO=60°,

回04=AF•cos600=V3,OF=AF-sin60°=3,

0F（O,3）,A（V5,0）,

连接P居24,

因六边形ABCDE尸为正六边形，

^PE=PF=PA=PB/EPF=Z.FPA=LAPB=60°,

0AEFPAFAP,LABP为笔边三角形,

^AF=PF=2V3,

0P（2A/3,3）,

把P（2V5,3）代入为=潍:3=嘉,

解得：k=6百，

团反比例函数表达式为%=#.

0AEFPQ凡4P为等边三角形，

用点E和点A关于P/7对称，

0F（V3,6）,

把％=百代入yi=竽得：yi=等=6,

同点E在该反比例函数的图象上;

（2）解：把E（J5,6）,「（275,3）代入乃=。工+/。00）得：

,6=注+匕，解得：卜=-也

（3=2V3a4-b（b=9

回直线EP的解析式为：y=-6x+9,

0E（V3,6）,P（2V5,3）,

回由图可知，当J5VX<2A/5时，ax+b>-X.

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关

键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质.

22.（1）AC=3V3

（2）tanz4BD=y

⑶=容

【分析】（1）连接0C,根据AC=8D得出4D+CD=CD+BC,然后进一步得出力D=CD=

BC,从而得至IJ乙4。。=4D0C=ZBOC=60。，然后进一步利用三角函数求解即可；

（2）连接BC,证明三△BEC（ASA）,则BC=。尸，EC=EF,再证明OF是AA8C的

中位线，设。尸=t,则8c=DF=2t,则DF=DO-OF=3-t,解得£=1,则DF=BC=2,

AC=>/AB2-BC2=4V2,得到EF=2尸。==&，根据418。二4。即锐角三角函数

24

的定义即可得到答案；

（3）连接OC,由乙8。。=出，^AOD=乙COD=—,即3+2X%=180,解得几二4.求

nn+4nn+4

ll\BC=AC=3V2,OF=AOcos£AOF=得到=0。-OF=3—苧，即可得到答

案.

【详解】（1）解：回。。1A