2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册期中拔尖检测卷（含答案）

期中拔尖检测

限时：120分钟满分：120分

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若代数式近在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）

x-3

A.x>0且A#3B.x>0

C./3D.x>0且存3

I2-2

2.\/（8+A）=（口国”成立的条件是（）

A.k>-8B.-8C.任-8D.k<-8

3.若最简二次根式•，二二与二次根式后可以合并，则x的值为（）

A.6B.3C.4D.2

4.如图，四边形ABCD是矩形,直线£/分别交A。，BC,BD于点E,FIO,

下列条件中，不能证明△比）尸会△。。后的是（

A.O为矩形ABCD两条对角线的交点

B.EO=FO

C.AE=CF

D.EFLBD

l]x2+10x+1

5.已知G+R=3,则---------的值是（）

A.13B.15C.17D.19

6.如图，在菱形A8CD中，M,N分别在AB,C。上,且AM=CN,MN与AC

交于点。，连接3。.若NO4C=36。，则N05C的度数为（）

A.34°B.54°C.62°D.72°

E

AD

o

B

(M6«)(第7«)

7.如图，在矩形A8CD中，BC=2AB,。是对角线AC的中点，将△A8C沿AC

翻折,得到AAEC，其中，AO与CE相交于点F,连接OF,则器为（）

3y[5y[5

A.1B.1C号D.

8.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点。.E是8c边

上一点/是BD上一点，连接DE.EF.若ADEF与ADEC关于直线DE对

称，则石尸的周长是（）

9.如图，四边形A8CQ是菱形，/DAB=60。,E是D4的中点，尸是对角线AC

上的一点，fiZDEF=45°z则兴的值是（）

A.3B.^5+1C.2^2+1D.2+,

10.如图，在四边形42c力中，ZA=ZABC=90°,AB=4,RC=3,AD=1z

点E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转9（）。得到线段DF,连

接FB,FC.EC,则下列结论错误的是（）

A.EC・ED的最大值是23B.q的最小值是而

C.EC+£。的最小值是4班D.的最大值是灰

二、填空题（每题3分，共18分）

11.写出一个能与正合并的最简二次根式：.

12.如图，在正方形4BC。中MB=V3，延长BC至点E,使题=BQ,则ZkBQE

的面积为.

14.观察下列各式：、

用字母〃（论2且〃为整数）表示上面的规律应该是_________________.

15.如图，在RS48C中,ZACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的边长为书,

它的顶点D,E.G分别在△ABC的边上,则BG的长为.

16.如图,已知P是菱形A8CO的对角线AC延长线上的一点,过点尸分别作

AD,0c延长线的垂线，垂足分别为E,F.若/ABC=120。，A8=4,则

PE-PF=

三、解答题（共72分）

17.（6分）计算:

⑴卜・小|-小又#+）.停）

2

⑵（2■小）+（3^27-

(3)(小+1严27-2(73+I)2026-2(73+I)2025+V3+1.

18.（8分）已知x=—,y=,若1的小数部分为a,y的小数部分为b.

2+432-^/3

求（4+力）2+4（〃-与2的值.

19.（8分）如图，在口48。。中，AC,3。相交于点。，E,尸分别是04,OC的

中点，连接DE.BF.

（1）求证：BE=DF.

⑵设A总T=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.

20.（8分）如图，在四边形ABCD中，E,F,G,"分别是各边的中点，且A8

//CD,AD//BC,四边形EFGH是矩形.

⑴求证：四边形A8CZ）是菱形；

（2）若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求48的长.

21.（10分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC±

(AE<BE),S.ZEOF=90°,OE与DA的延长线交于点M,OF与AB的延长

线交于点N,连接MN.

⑴求证：OM=ON；

（2）若正方形ABCD的边长为8,E为OM的中点，求MN的长.

22.（10分）我们规定：若。+力=2,则称。与是关于1的平衡数.

⑴若3与1是关于1的平衡数,5-血与），是关于1的平衡数，求x,），的值.

（2）若（/〃+小）x（1-巾）=-2/i+3（于-1）,当〃z,〃为何值时,m+小与5n-小

是关于1的平衡数？并说明理由.

23.（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为\,P,E分别是AC,上的

点，且NEPB=90°,PMA.AD,PN工AB.

⑴求证：四边形PM4N是正方形；

⑵若点P在线段AC上移动，其他条件不变，设PC』，AE=y,求），关于x的

表达式，并写出自变量x的取值范围.

24.（12分）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个

内角为60。的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下：

【探究发现】如图①，在SBCD中，乙4二60。，AB>AD,E为边的中

点，点”在边DC上，且。"=DK，连接EF，将沿EF翻折得到AG",

点D的对应点为点G,小组成员发现四边形OEG尸是一个特殊的四边形，

请判断该四边形的形状.

【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=,

连接MN，将NMN沿MN翻折得到△"""，点B的对应点为点H.连接FH,

GN,如图②.求证：四边形GFHN是平行四边形.

【探究提升】在图②中，四边形GH7N能否成为轴对称图形？如果能,直接

写出A缁H的值；如果不能，说明理由.

答案

一、1.A2.B3.B4.D5.C6.B

7.C【点拨】在矩形ABC。中，AD//BC,AD=BC,ZB=90°,：.ZBCA=

ND4C.设AB=a.9：BC=2AB,：.BC=2AB=2a=AD在RsABC中，AC二

7AB2+BC?=,+(2a)2=邓a-；O是对角线AC的中点，,OC=^AC=

当a根据折叠可得AE=，CE=BC=2a,ZE=ZB=90°,ZBCA=

NEC4,・・・NDAC=NECA・・・"="C又：。是对角线AC的中点，，/。_1_

AC设DF=x,则CF=AF=AD-DF=2a-x,：.EF=CE-CF=2a-(2a-

3

-即

x)二乂在RSAEF中，A/+EF2=AF2，贝!]/+『二(2〃r)2,解得-4

35

DF--

44

\]5a

..OF__4__亚

4&，,・DF=3a=3'

T

8.A【点拨】J•正方形4BC。的边长为2,：.BC=DC=2,NBCD=90。.；.BD

=\]BC2+DC2=2A/2.VADEF与ADEC关于直线DE又寸称,：.DF=DC=2,

EF=EC.：.BF=BD-DF=2\f2-2.1.△BE歹的周长是BF+BE+EF=BF+

BE+EC=BF+BC=2y[2-2+2=2^2.

9.D【点拨】连接。8,交AC于点。，连接0£・・・四边形ABCD是菱形，，

ZDAC=|zDz4B=30°,AC±BDzOD=OB,AC=2AO,AB=AD.：.OD=

•・•石是AO的中点,()D=OB,：.OE//AB,OE=)及:.ADEO=/DAB

=60。.设OE=a,：.AD=AB=2a.OD=a.：.AO=小a.：.AC=2AO=2小a.

VZDEF=45°,：.ZOEF=/DEO-ZDEF=15°,ZEFO=/DEF-ZDAO

=15°./.OE=OF=a..9.AF=AO+Or=yj3a+a..9.CF=AC-AF=y/3a-a./.

AF事a+4r-

77=-7=------=2+小.故选D.

C卜y[3a-a

10.A【点拨】由旋转得DE=DF.NE£)F=90。.如图①,过点D作DG±BC

于点G,在DG上取一点H,使得DH=AQ=1,连接FH并延长交AB于点

/，则易得四边形ABGD是矩形，，NGD4=ZADE+ZEDG=90°=ZEDG

+ZHDF.：.ZADE=ZHDF.：.△£)”广丝△D4£,ZDHF=ZDAE=90°.A

FHA.OG.易得四边形DAIH和四边形BGH1是矩形.,=4。=8G=1,A/

=DH=\.：.BI=4-1=3/：DE=^12+(4-BE)2,CE=^32+BE2,：.EC-

22

ED=\)3+BE-、/12+(4・8£p.•.当。石最大时，EC-七。最大.

如图②，当点E与点A重合，尸与，重合时，BE最大，BF最小，此时EC

22

=^4+3=5fED=1,：.EC-ED=5-1=4力小，故A错误，符合题意；

BF的最小值为d，/2+B/2二业+32二回，故B正确，不符合题意；

如图③，作点D关于AB的对称点M,连接MC,ME,则ED=EM,AD=

AM=1,ZBAM=ZBAD=90°,易知EC+瓦应CM，当C,E,M三点共线

时，EC+ED最小，过点M作MNLCB,交CB的延长线于点N,易得四边

形AMNB是矩形，・・・8N=AM=1,AB=MN=4,：.CN=3+\=4.：.EC+ED

的最小值=MC=小2+4?=4啦，故C正确，不符合题意；易知当点E与

点A重合或点E与点B重合时，。尸最大.

当E与A重合时，如图②，CF=yjGH2+CG2=-l)2+(4-I)2=y[l3,

当E与B重合时，如图④，过C作CQLFH于点Q,则四边形CQIB是矩

开?，・・・CQ=/8=3,QI=BC=3.*：/^DHF^^DAE,：.FH=AE=4.AQF=

FH+HI-QI=4+\-3=2.；.FC=7CC+F0=勺3?+2?二回综上,FC

的最大值为灰，故D正确，不符合题意.故选A.

二、11.小(答案不唯一)12./13.-1或7

14.[(〃+1)+-7-=(«+

15.3yli【点拨】如图，过点G作G〃_LAC于点方，则N/WG二NGHO=90。，

：.ZDGH+ZHDG=90°.VZ4CB=90°,AC=BC=5,：.AB=5y[2,ZA=

NB二45。.，ZAGH=45°=ZA.：.AH=GH.®AH=HG=x，则CH=AC-AH

=5-x.V四边形DEFG为正方形，:.DG;DE,ZGDE=90°.ANHDG+

/CDE=94°.：./HGD=/CDE又♦：NC=ZGHD=90°,：./\GHD^/\DCE.

：.CD=GH=x.：.DH=CH-CD=5-2x.在RtZkG”。

中，由勾股定理得GQ2=DH2+GH2,・♦・(小产=(5-

2x)2+/,解得x=2.,\AH=2.J易得AG=2V2.JBG=

AB-AG=36

16.2小

三、17.【解】⑴原式=，5・1・2仍+2+:卓弓

(2)原式=4・4/+3+(班-8馅)g=4・44+3+S乂2=4・4馅+3+2、后二

7-273.

(3)原式=(小+1)2025X(V3+1)2.(小+1)2%2(4+1)■(小+1)2025x2+事+1

=(73+l)2O25x[(V3+I)2-2(仍+1)-2]+y[3+1=(73+l)2025x(4+2^3-

2^3-2-2)+^3+1=(^3+l)2O25xO+V3+1=3+1.

12-J3「12+J3

18•【解】x=f==7=f=~=2-小,y=7==7=7=~=

2+V3(2+5)(2-小)2-布(2-73)(2+73)

2+S,

V\<y[3<2,：.0<2■小vl,3<2+73<4.

又,・”的小数部分为a,y的小数部分为b,

•\a=2-y(3,b=2+y[3-3=y(3-\..\a+b=\,a-b=3-2小.

：.(a+b)2+yl(a-b)2=I2+^/(3-2^3)2=1+2/-3=2/-2.

19.⑴【证明】•・•四边形A8CQ是平行四边形，

：.BO=OD,AO=OC.

•・巴尸分别为AO,OC的中点，

EO-^OA,OF=g()C.

・・.EO=FO.：.四边形BFDE是平行四边形.工BE=DF.

⑵【解】当2时，四边形。£8b是矩形.理由如下：

由(1)可知四边形8FQE是平行四边形，8。=20。，EF=2OE.

•・,当BO二E尸时，平行四边形DEBF是矩形，

・・.当0。=OE时，平行四边形DEBF是矩形.

•：AE=OE,：.AE=OE=OD..\AO=2OD.

*：AC=20A,BD=20D,：.AC=2BD.

・・.器=2.，当攵二2时，四边形DEBF是矩开乡.

20.(1)【证明】如图，连接BD,AC交于点O.

,：AB//CD.AD//BC,：.四边形ABCD是平行四边形.夕乂产

•:F,G,H分别是各边的中点,’3^

：.GF//BD,HG//AC.

*/四边形EFGH是矩形，，HG1GF.：,BD±AC.

・・・四边形ABCD是菱形.

⑵【解】：在四边形4BCQ中，E,F,G,〃分别是各边的中点，

：.GF=EH=^BD,GH=EF=^AC.

•・•矩形EFGH的周长为22一,・易得BD+AC=22.

•・•四边形ABCD是菱形，・・・OA+OB=+^BD=11.

•・•四边形ABC。的面积为10,：.^BDAC=10,即20408=10.

又・・,(OA+。筋=。笳+20408+二⑵，

A(9A2+OB2=121-10=111.

・••在RSAOB中,AB=yj0A2+0B2=y[m.

21.(1)【证明】•・•四边形ABC。是正方形，且对角线交于点。，・・.OA=O8,

ZDAO=ZOBA=45°,ZAOB=90°.

：.ZOAM=ZOBN=135°.

•・•ZEOF=90°=ZAOB,：.ZAOM=NBON.：・AOAM学/\OBN.：・OM=ON.

(2)【解】过点。作AO于点〃，

,/正方形ABCD的边长为8，•二易得OH=HA=4.

•・・£为。M的中点，，易得A为的中点.JAM==

,HM=8.1.0M=182+42=4小.

又・.・NMON=90。，

・•・MN=y/oM2+ON2=正OM=4/.

22.【解】(1)根据题意，可知3+x==2,5-y/2+y=2，解得x二・1,)=-3+隹

-69-5小27+小厂r--

(2)当m----万----，〃=--时，m+小与5/?-黄是关于1的平衡数.

理由：•・•(〃?+小)x(1・小)=・In+3(^3・1),

m-小m+小・3=-2n+3小-3.，+2n-2小-y13m=0.

・・•〃什木与5,7-仍是关于1的平衡数，

m+小+5〃-镉=机+5〃=2.与m+2n-2小-小加=0联立,

,-69-57327+小

解彳导tn-豆,n--兔—.

-69-5小27+J3「广

故当m=------g------,n=-w—时，加+小与5n-小是关于1的平衡数.

23.⑴【证明】•・•四边形ABCQ是正方形，AC为其对角线，

：.ZBAD=90°,AC平分N8AD

又・.,PM_LAO,PNLAB，:・PM=PN,/PMA=ZPNA=90°=/BAD.

・・・四边形OMAN是正方形.

(2)【解】作PFJL8c于点”.・・•四边形ABCQ是边长为1的正方形，

：.ZABC=90°,AB=BC=1,ZPCF=45°.

・・・AC=/7?二^，易得^PCF是等腰直角三角形.

•'.AP=AC-PC=yj2-x,PF=^^x.

由题易得四边形BNPF为矩形，,BN=PF=幸工

易知90。=/EPB,：.ZMPE=NNPB.

•:/PME=/PNB=9GiPM=PNi：・AEPM段4BPN.：・EM=BN=^x.

易知AP=嫄AM=\(2(AE+EM),即吸-大二啦(y+孚J,整理得y=1-'fix,

其中自变量x的取值范围为03苦.

24.【探究发现】【解】由翻折得。E=GE,DF=GF.'：DF=DE,：.DE=GE=

G/=。/，・,•四边形OEG厂是菱形.

【探究证明】【证明】由翻折得8N二”N,8M=

•・,BN=BM,：.HN=BN=BM=HM.：,四边形BMHN是菱形.，NH//BC.

YE为边A。的中点，M为边