2025-2026学年人教A版高二数学上学期期末必刷常考题之数列的概念

2025・2026学年上学期高二数学人教A版期末必刷常考题之数列

的概念

一.选择题（共6小题）

I.设数列｛物｝为项数为〃（〃23,〃€N）的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列卜力）中的任意

X-X-

两项H、为（1WjVjW”），均有芍-修？专”，则项数〃的最大值为（）

A.6B.7C.10D.II

2.已知数列｛〃〃｝满足：山=9,a-,+1-an=n,则。4=（）

A.20B.18C.15D.10

3.数列-2,一自，自…的通项公式可以为（）

357

A.B-（T）n嘉

C-㈠尸磊D.㈠尸嘉

4.设（如｝是公比为g的等比数列,则“夕＞1”是“（“〃｝为单调递增数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已如数列｛“〃｝的前〃项和为S”，满足S〃=〃2+3/?+2,则下列判断正确的是（）

A.数列｛如｝为等差数列B.6/5=11

C.数列｛%｝存在最大值D.数列｛々｝存在最大值

6.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现

对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,II,5,依此类推，第〃

次得到数列1，XI,也，刈，…，5.记第〃次得到的数列的各项之和为Sn,则｛%｝的通项公式S〃=（）

A.3叫3B.3/,+1+1C.3"+3D.3,,+1

二,多选题（共3小题）

（多选）7.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，m=9,计i+3,则下列说法正确的是（）

A.45-41=-12

B.｛如｝是递增数列

C.当〃>4时，an<o

D.当〃=3或4时，5〃取得最大值

（多选）8.设等差数列｛板｝的公差为d,前〃项和为S,若43=12,S12>0,S13V0,则下列结论正确的

是（）

A.数列｛。〃｝是递增数列

B.55=60

24

C.（1£（一卓,-3）

D.数列｛如｝中最大项为第6项

（多选）9.下列数列｛.｝的通项公式中，是递增数列的是（）

A.an=-3〃B.cin=5n~3

nn

C.an=7+2D.an=(—l)n

三,填空题（共4小题）

10.已知数列｛如）的前4项分别为:，三，则数列伍〃1的通项公式为〃〃=___________________

24816

11.已知数列｛〃“｝的通项公式为Qn=2/l2-lln+9,则｛〃〃｝中最小项的值为.

12,数列｛〃”｝中，若存在以，使得“以2ahi且行存。攵+1”成立,（k22,蛇N）,则称磔为｛即｝的一个峰

值.若〃〃=-3/3+11〃，则｛。〃｝的峰值为：若4“="〃〃-〃，且｛。〃｝不存在峰值，则实数，的

取值范围为.

13.数列｛5+3）歙｝的最大项为第2项，则2.

四.解答题（共2小题）

14.数列｛〃”｝的通项公式是%=n2-7n+6.

（1）这个数列的第4项是多少？

（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

15.若数列｛由｝与｛加｝都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在

得到的新数列中，来自伯〃｝的任意两项均不相邻，则称｛〃〃｝为｛〃〃｝的“隔数列”.

（1）若伍〃｝是首项与公差均为整数的等差数列，尻=2”,且数列。2,。3是数列〃I,仅，历，儿的

“隔数列”，求他〃｝的通项公式；

m

（2）若。〃=2〃，｛/?〃｝是首项为1、公比为77的等比数列，且数列41,42,43，。4是数列加,历,力3,

加的“隔数列”，求整数m的值;

（3）设他〃｝是公比为夕的无穷等比数列，其前〃项和为若｛5〃｝是｛.+1）的“隔数列”，求，/的取值

范围.

2025・2026学年上学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之数列

的概念

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案DCBDDA

二.多选题（共3小题）

一.选择题（共6小题）

1.设数列｛物｝为项数为〃（〃23,〃£N）的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列｛小｝中的任意

X

两项笛•、芍（1WY/W”），均有勺一芍之宝，则项数〃的最大值为（）

A.6B.7C.10D.11

【考点】数列的函数特性.

【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维：运算求解.

【答案】。

【分析】根据勺-勺Z要得到工工3+工，再从川=1开始逐个推导，求出最大值.

,36xi36Xj

X■Y-

【解答】解：•・,数列｛切｝每一项均为正整数，且巧•一看之翥，

111”,111

之命所以0公+亏

XiXj

设次二4,则数列｛”｝是严格递减数歹。，

N3+机可转化为力4力一宗f

人I2W人1

想要〃尽量大，就要让旅尽量慢的递减，且.我必须是正整数,

从内=1开始,则yi=l,

，

y2<l-^=!|,..x2>|!!满足该条件的最小正整数为2,・・・不=2,y2=1,

力4-表埸；・X3串满足该条件的最小正整数为3,・・・与=3,乃=%

芬磊，・。4嗜满足该条件的最小正整数为4,・1=4,y4=1,

、5工,一亲=磊=1工3，满足该条件的最小正整数为5，•,・刀5=5,y5=

x

y(,<***6—满足该条件的最小正整数为6,J%=6,y6=

丫7工2-表=备，，37Z争，满足该条件的最小正整数为8,，与=8,乃=2，

旷8工专一焉=3，，出工竿，满足该条件的最小正整数为I1，，％8=1L丫8=白，

y9W白—4=，如N^满足该条件的最小正整数为16,，必=16,%=专，

yio-=1^4,**,xio-5满足该条件的最小正整数为29,.♦.Xio=29,为。=击，

711―~=io44,满足该条件的最小正整数为150,・••无ii=150,Yu=Y^Q,

为2工一亲=一不满足条件,的最大值为u.

故选：D.

【点评】本题考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

2.已知数列｛〃“｝满足：m=9,a>»+i-an=n,则。4=()

A.20B.18C.15D.10

【考点】由通项公式求解或判断数列中的项.

【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意利用累加法分析求解即可.

【解答】解：数列｛〃“｝满足：。1=9,a,^\-afl=n,

则44-43=3,43-42=2,42-41=1,

相加可得44-41=6,即44=ai+6,

且41=9,

ci4=ci\+6—15.

故选：C.

【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考兖运算求解能力，是基础题.

468

3.数列-2,-，--,一，…的通项公式可以为()

357

A-（T）"垢B.（T）“翁

CL厂磊D.（一1严磊

【考点】由数列若干项归纳出通项公式.

【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学抽象.

【答案】B

【分析】结合数列各项的规律检验各选项即可判断.

【解答】解：结合选项可知，当〃=1时，A,C,。与已知显然不符合；

468一2n

故-2,二，二，…的通项公式可以为（-I）一.

3572n-l

故选：B.

【点评】本题主要考查了由数列项的特点求解数列通项公式，属于基础题.

4.设｛〃“｝是公比为q的等比数列，则“g>l”是“｛〃〃｝为单调递增数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】数列的单调性.

【专题】对应思想：转化法：简易逻轲.

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

【解答】解：等比数列-1,-2,-4,…，满足公比4=2>1,但他〃）不是递增数列，充分性不成立.

若“〃=・1・（1）为递增数列，但g=3>l不成立，即必要性不成立，

故%>1”是“｛〃”｝为递增数列”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的

关键.

5.已知数列｛”“｝的前”项和为S“，满足S产〃2+3什2,则下列判断正确的是（）

A.数列｛斯｝为等差数列B.6/5=11

C.数列｛S｝存在最大值D.数列｛2｝存在最大值

J九

【考点】数列的函数特性.

【专题】计算题：分类讨论；分析法；分类法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】D

【分析】根据S“写出通项公式，根据通项公式逐项求解即可.

2

【解答】解：由Sn=九2+3n+2可知，当时，Sn_i=(n-l)+3(n-1)4-2,

=］工，"=1,即即=16・'=〔•故数列｛〃〃｝是从第二项开始的等差数列，故A错

.Sn-S〃_i，n>2,I2n+2,n>2,

误.

将n=5代入｛a〃｝的通项公式可得a5=2X5+2=12,故8错误.

由%=/+3«+2知，数列｛S｝为递增数列，S〃不存在最大值，故C错误.

由1=必+；九+2知'数列｛2｝为递减数列，故存在最大值，故。正确.

故选：D.

【点评】本题考查等差数列的定义与数列的函数特性，属于中档题.

6.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现

对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,11,5,依此类推，第〃

次得到数列1,AI,X2,X3,…，5.记第〃次得到的数列的各项之和为％,则｛5｝的通项公式，=()

A.3,,+|+3B.3/,+1+1C.3"+3D.3/,+|

【考点】数列的单调性.

【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；推理和证明；运算求解.

【答案】A

【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前〃项和公式即可求解.

【解答】解：根据题意，第I次得到数列1,6,5,则Si=l+6+5=12,

第2次得到数列1,7,6,II,5,贝IJ52=1+7+6+11+5=12+18=12+6X3,

依次类推：$3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+18+54=12+6x3+6x32=12+

6X(31+32),

SA=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5

=12+18+54+162=12+6X3+6X32+6X33=12+6X(3'+32+33),

123

归纳可得：Sn=12+6x(34-3+3+…+3〃-1)=3田+3,

所以｛%｝的通项公式Sn=3〃+】+3.

故选：A.

【点评】本题考查归纳推理的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.已知数列｛所｝的前〃项和为S”,ai=9,的=丽1+3,则下列说法正确的是（）

A.45-41=-12

B.（如｝是递增数列

C.当〃>4H寸，an<0

D.当〃=3或4时，5〃取得最大值

【考点】数列的函数特性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】ACD

【分析】由题意可知，数列｛加｝是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前〃项和

公式，并对选项逐一判断即可.

【解答】解：根据题意,因为数列｛〃“｝满足，如=曲+1+3,BPan+l~（In—~3,

又m=9,所以数列｛”“｝是首项为9,公差d=-3的等差数列，

2

lf./,xn（七+即）—3n4-21n

故alt=a\+（〃-I）Xd=-3"+12,Sn=-------=----------，

依次分析选项：

对于A：«5-a\=4d=~12,A正确.

对于B：因为公差为-3,所以数列｛.〃｝是递减数列，8错误.

对于C：当〃>4,-3/?+12<0,即a“VO,C正确.

对于sn=.也"=+苧,

所以S〃在1W〃W3时单调递增，在〃24时单调递减，因为S3=18,S4=18,

所以当〃=3或4时，％取得最大值，最大值为18,所以。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查等差数列的性质，涉及数列的单调性，属于基础题.

（多选）8.设等差数列｛。〃｝的公差为d,前〃项和为S,若m=12,Si2>0,S13VO,则下列结论正确的

是（）

A.数列｛a列是递增数列

B.55=60

24

C.dE(--y-,-3)

D.数列｛如｝中最大项为第6项

【考点】数列的单调性；数列的最大项最小项；求等差数列的前n项和.

【专题】计算题：方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】I3C

【分析】根据题意，利用等差数列的前〃项和公式和等差数列的性质得到“V0,〃6+。7>0,再利用等

差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断4C；利用等差数列的前〃项和公式及等

差数列的性质计算判定&利用单调性判定Q,综合可得答案.

【解答】解：根据题意,等差数列｛加｝中，03=12,512>0,S13V0,

依次分析选项：

对于4、C,由于Si2>0,S13VO,则512=12(%/12)=6(。6+。7)>0,513=13(。亭%3)=13a7V0,

则47<0,。6+。7>0,

24+7d>024

又63=12,则，解得<d<-3,

12+4d<0~7

由于d<0,则等差数列伍〃｝是递减数列，A错误，C正确；

对于4,由〃3=12,得Ss==5a3=5X12=60,4正确；

对于Q,由等差数列｛。〃｝是递减数列，得数列｛〃〃｝中最大项为第1项，。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及数列的单调性，属于基础题.

(多选)9.下列数列｛〃〃｝的通项公式中，是递增数列的是()

A.an--3〃-1B.(iti=5n-3

nn2

C.an=7+2D.an=(-l)n

【考点】数列的单调性.

【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据题意，根据数列单调性定义，验证4〃+La〃>Q是否成立，即可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,-an=-3(n+1)-l+3n+l=-3<0,・二数列伍〃｝为递减数列，A错误:

对于B,•・Z“+i-〃〃=5(〃+1)-3-5〃+3=5>0,・••数列｛如｝为递增数歹ij,B正确；

71

对于C,•・・%+1-%1=7+211-7-2八=2>0,・••数列■〃｝为递增数列,C正确;

n+12n2n+l2

对于D,0n+i-0n=(-l)(n+l)-(-l)n=(-l)(2n+2n+1),

V2n24-2n+1=2(n+^)24->0,；・当〃为偶数时，a〃+i・a〃V0,

工数列｛“〃｝不是递增数列,D错误.

故选：BC.

【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题.

三,填空题（共4小题）

]3572九]

10.已知数列仅〃｝的前4项分别为7；,,则数列印〃1的通项公式为a“=

248162Tt

【考点】由数列若干项归纳出通项公式.

【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

2n—1

【答案】玄

【分析】根据已知条件，结合数列的规律，即可求解.

1357_

【解答】解：数列｛的｝的前4项分别为鼻，-

8'16

2x1-12X2-12X3-12X4-1

即为:

2122，2324

故数列｛"〃｝的通项公式为穿

2n-l

故答案为:

2n

【点评】本题主要考查数列的通项公式，属于基础题.

11.已知数列｛小｝的通项公式为an=2层-11rl+9,则二八中最小项的值为・6

【考点】数列的最大项最小项；数列的函数特性.

【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】-6.

【分析】由通项公式得每=2何一¥）2-老，托N”，根据二次函数的性质确定最小项的值.

【解答】解：由即=2（n?—孕n）+9=2（n—?产一挈,

当〃=2时，“2=8-22+9=-5,当〃=3时，〃3=18-33+9=-6,

所以短〃｝中最小项的值为-6.

故答案为：-6.

【点评】本题主要考查r数列的函数特性的应用，属于基础题.

12,数列｛%｝中,若存在四，使得“以》或-]且以》服H”成立,(222,依N"),则称次为｛沏｝的一个峰

值.若4”=-3/P+11〃，则fa八的峰值为10:若〃"=而〃-〃，月.｛〃“｝不存在峰值，则实数，的取

值范围为(-8,占).

【考点】数列的函数特性.

【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；点列、递口数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】10；(-8,3).

ln2

2

【分析】⑴令/'⑺=an=-3n+lln,根据二次函数的单调性、数列的基本概念，求出｛沏｝的峰值；

(2)若〃〃=〃〃“-〃，且｛“〃｝不存在峰值，则相应的函数不存在极大值，从而运用导数研究函数的单调

性，求出实数，的取值范围.

【解答】解：(1)若即=一3九2+11”令/(〃)=-3/+1I”，相应的二次函数图象开口向下，关于直

线广卷对称.

因此，存在〃=2,满足422al且422。3,所以｛m)的峰值为42=-3X4+11X2=10；

(2)令f(x)=tlnx-x(x2l),则f'(x)=；-1=

人人

①若/W0,则/(x)V0恒成立，f(x)在(0,+8)上单倜递减，此时｛如｝不存在峰值，符合题意；

②若/>0,则当OVxV/时，/(x)>0,时，/(x)<0,

故/(x)在(0,上为增函数，在(/,+8)上为减函数，

若要如=/(〃)=〃〃〃-〃(怔N')不存在峰值，则必须/",gp[t<2，解得0V/V金.

综上所述，/V上，即实数/的取值范围为(-8,A-).

in2

故答案为：10；(-8,

In2

【点评】本题主要考查数列的基本概念、数列的函数特征、运用导数研究函数的单调性与极值等知识，

属于中档题.

13.数列｛(〃+3)哈)，｝的最大项为第A项，则仁5或6.

【考点】数列的最大项最小项.

【专•题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】5或6.

8

k

k+>+-

3)(-(/e2)(9

【分析】由题意列出不等式8即可求解.

+->+

3)(9-(/c4)

【解答】解：根据题意可知，数列｛(n+3)(各n｝的最大项为第女项,

88

+->+2-

3)(9-(/C9

所

以k+2k+3

(fc88----<-即54W6,

+->+4-k+3~9k+4

cfc3)(9-(/C9

由于A是正整数，所以&=5或6.

故答案为：5或6.

【点评】本题考查了数列的性质，属于基础题.

四,解答题(共2小题)

14.数列｛雨｝的通项公式是％=彦一7n+6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)I〉。是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法.

【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】(1)-6；(2)16项.

【分析】(1)利用数列仅〃｝的通项公式能求出这个数列的第4项.

(2)由4="2—7=+6=150,能求出结果.

【解答】解：(1)数列｛〃”｝的通项公式是册=M—7n+6.

・•・这个数列的第4项是：

«4=42-7X4+6=-6.

2

(2)0n=n-7n+6=150,即/-In-144=0,

解得〃=16或n=-9(舍)，

・•・150是这个数列的项,是第16项.

【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考杳运算求解能力，是基础题.

15.若数列｛〃“｝与｛加｝都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在

得到的新数列中，来自伯〃｝的任意两项均不相邻，则称伍〃｝为｛加｝的“隔数列”.

(1)若｛“〃｝是首项与公差均为整数的等差数列，hn=2n,且数列m,42,43是数列〃I,仅，加，的

“隔数列”，求｛〃〃｝的通项公式;

m

(2)若如=2〃，｛/?〃｝是首项为1、公比为一的等比数列，且数列41,42,43，44是数列加，bl,加，

历的“隔数列”，求整数加的值;

(3)设｛，〃｝是公比为夕的无穷等比数列，其前〃项和为若｛S〃｝是他〃+”的”隔数列”，求，/的取值

范围.

【考点】数列的单调性.

【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类.

【答案】(1)或1；(2)机的值为21,22,23,24,25,26,27,28；(3)[2,+«>).

【分析】(1)根据新定义及等差数列的性质，即可求解；

(2)根据新定义及等比数列的性质，即可求解；

(3)根据新定义及数列的单调性，即可求解.

【解答】解：(1)设等差数列(。〃｝的首项为G,公差为d,则dEZ,

•・•数列m,m+d,m+2d是数列2,4,8,16的“隔数列”,

：・d>0,2VmV4Vm+dV8Vm+2dV16,

且2.5V4V5,.,.d=3或4,

*.an=3n或an=4n-1；

(2)设等比数列｛加｝的公比为小由数列2,4,6,8是数列1,q,才，/的“隔数列”，

可得夕>2,相应地片>4,炉>8,

・•・1V2VqV4V6V4V8V才或1V2VqV4V夕2V6V8V8

解得n<q<2VI或2<qV显.

・*€(2,y)U(遍，2百，

・•・整数/n的值为21,22,23,24,25,26,27,28；

(3)・・•｛%｝是｛〃〃+”的”隔数列"，・•・｛$,｝与｛的+1｝都是严格增数列，

•・•｛%｝是严格增数列，・・・斯+1=%qn>o对一切正整数恒成立，

又｛4+l｝是严格增数列，•••4”+2>4〃+1，

・・・aiqn+i>Qiqn对一切正整数〃都成立，

.*.q>1且m>0,

又S〃>a〃对一切大于等于2的整数恒成立，

，SlV。2Vs2<a3Vs3V«4<S4V…Va〃VS〃Va〃+iVS“+iV…,

^Sn<an+\对一切正整数〃都成立，

"7对一切正整数〃都成立，

・•・2-qV（》n对一切正整数〃都成立，

.*.2-9WO,

的取值范围是［2,+8）.

【点评】本题考查数列的新定义，数列的单调性，化归转化思想，属难题.

考点卡片

1.数列的概念及简单表示法

【知识点的认识】

1.数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数称为

这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第I项，又称为首项.

2.数列的表示：数列的般形式可以写成，”，42,3，…，。〃，..简记作｛，，〃｝，此处的〃是序号.

3.数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；

按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；

4.数列的通项公式：如果数列｛为｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫

做这个数列的通项公式.

几个认识：

（I）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的.

（2）有些数列没有通项公式，如挖的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,…时，所构成的数列，1,1.4,

1.41,1.414,此数列就没有通项公式.

5.数列的递推公式：如果已知数列他〃｝的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与

它的前一项（前几项）（〃22,〃6N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的

递推公式.

2.由数列若干项归纳出通项公式

【知识点的认识】

I.数列及其有关概念，（I）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数称为

这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项.

2.数列的表示：数列的一般形式可以写成。2,。3,…，4，..简记作他〃｝,此处的”是序号.

3.数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；

按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；

4.数列的通项公式：如果数列｛小｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫

做这个数列的通项公式.

几个认识：

（I）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一日变量的函数值是一致的.

（2）有些数列没有通项公式，如企的近似值，精确到I,0.1,0.01,0.001,…时，所构成的数列，1,1.4,

1.41,1.414,…，此数列就没有通项公式.

5.数列的递推公式：如果已知数列仅〃｝的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与

它的前一项(前几项)(〃22,〃6N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的

递推公式.

【蟀题方法点拨】

-观察规律：通过观察数列前几项的规律，推导出通项公式.

-设未知数：假设通项公式小=/(〃)，代入前儿项求解参数.

-捡证公式：验证推导出的通项公式是否适用于数列的每一项.

【命题方向】

常见题型包括通过数列的前儿项推导出通项公式，结合具体数列进行分析.

717

数列2,1,-4,一,—东…的一个通项公式为()

325

2

4.a=(-1)N+,1-

nn

n

8.“〃=(-1)”——

n+2

2

C.〃〃=(-1)"一

n

42

。.斯=(-1),,+l一

n+2

解：根据题意，数列・2,1,-1一看…的前5项可以写成(-1)(-1)(-1)

3251Z3

(-1)4X^,(-I)5xl

则数列的一个通项公式可以为(-1)"X看

故选：C.

3.由通项公式求解或判断数列中的项

【知识点的认识】

1.数列及其有关概念，(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数称为

这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项.

2.数列的表示:数列的一般形式可以写成⑺，42,。3,…，简记作｛“〃｝,此处的〃是序号.

3.数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；

按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；

4.数列的通项公式：如果数列｛小｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫

做这个数列的通项公式.

几个认识：

（I）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的.

（2）有些数列没有通项公式，如疙的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,…时，所构成的数列，I,1.4,

1.41,1.414,…，此数列就没有通项公式.

5.数列的递推公式：如果已知数列｛〃〃｝的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与

它的前一项（前儿项）（〃22,〃€N"）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的

递推公式.

【解题方法点拨】

由通项公式求解或判断数列中的项是指根据数列的通项公式计算某一项的值或判断某一项的性质.

代入计算：将通项公式中的〃取不同的值，计算数列的具体项.

【命题方向】

常见题型包括利用通项公式计算数列的具体项或判断数列的性质，结合具体数列进行分析.

已知数列/〃｝的通项公式为〃〃=/+〃，则下列是该数列中的项的是（）

4.18

R.12

C.25

D.30

解:根据题意，数列｛如｝的通项公式为〃”=/+〃，依次分析选项:

对于A,若+〃=18,无正整数解，不符合题意，

对于从若4“=〃2+〃=]2,解可得〃=3或-4,有正整数解〃=3,符合题意，

对于G若如=,3十〃=25,无正整数解，不符合题意，

对于。，若+〃=30,解可得〃=5或-6,有正整数解〃=5,符合题意，

故选：BD.

4.数列的函数特性

【知识点的认识】

I、等差数列的通项公式：加=防+（〃-1）d；前〃项和公式&=〃小+热（〃-1）d或者S尸幽押

J

2、等比数列的通项公式：an=a\cf前〃项和公式5〃=笑萨二四三竽S#l)

3、用函数的观点理解等差数列、等比数列

(1)对于等差数列，

cin=m+(n-1)d=dn+(a\-d),当dWO时，a”是n的一次函数，对应的点(n,an)是位于直线上

的若干个点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对

应的数列是常数列；4V0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.

若等差数列的前〃项和为S,则S〃=pN+qn(p、qER).当p=0时，｛。〃｝为常数列；当pWO时，可用

二次函数的方法解决等差数列问题.

(2)对于等比数列：

a„=a\qn可用指数函数的性质来理解..

当切>0,9>1或m<0,OVqVl时，等比数列是递增数列；

当m>0,。<夕<1或mV。，夕>1时，等比数列｛&｝是递减数列.

当4=1时，是一个常数列.

当t/VO时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.

【蟀题方法点拨】

典例1：数列｛.｝满足〃〃=/+m+2,若不等式的三。4恒成立，则实数%的取值范围是()

A.[-9,-8]从[-9,-7]C.(-9,-8)D.(-9,-7)

k「2

解：〃〃=，广+A〃+2=(九+z)2+2—4，

•・•不等式恒成立，

/.3.5<-^<4.5,

解得-9WAW-7,

故选；13.

典例2：设等差数列｛〃〃｝满足m=l,a“>0(〃WN*),其前〃项和为％,若数歹U｛延卜也为等差数列，则名答

an

的最大值是()

A.310B.212C.180D.121

解：•••等差数列伍〃)满足山=1,an>0(面T),设公差为4则加=1+(«-1)d,

其前n项和为Sn=矶l+l+£T）d],

.同一网2+S—l）d]

•7〉n-q2，

医二],底=ypm,店=13+3d,

•・•数歹八疝｝也为等差数列，

**,^\f^2=+>/^3»

/.2V2Td=l+，3+3d,

解