2025-2026学年上海市黄浦区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025・2026学年上海市黄浦区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.

1.（4分）如果@=2,且》是〃和。的比例中项，那么2的值是（）

b3c

2349

A.-B.-C.-D.-

3294

2.（4分）已知G是△44C的重心，如果A3=AC=5,AG=2,那么底边的长是（）

A.4B.6C.8D.10

3.（4分）在心△ABC中，ZC=90%a、b、c分别是乙4、NB、NC的对边，下列关系正确的是（）

..a八.a—•acn4b

A.tanA=—B.cot.4=—C.sinA=—D.cosA=—

cbac

4.（4分）已知a、〃是非零向量，如果〃=-2。，下列说法中正确的是（）

A.67+2/?=0B.a-2b=0C.\a\-2\b\D.2\a\=\b\

5.（4分）已知点Q、E分别在△A8C的边AB和AC的反向延长线上，80=348.当4C=ACE时，，

DEUBC,那么女的值是（）

A1R2「1n3

3322

6.（4分）如图，将两个宽度为3c/〃的矩形纸条叠放在一起，得到四边形A8CO,如果四边形48CO的面

积为IS。"，那么直线4。、CO所夹锐角/I的正切值是（）

二、填空题；（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）已知二二』，那么山二

y2y

8.（4分）如果向量a、8和亍满足47=2（4-加，那么£=

9.（4分）已知线段的长为2a〃，点P是线段48的黄金分割点（AP>BP）,那么线段PB的长等于

（结果保留根号）.

10.（4分）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为50。，那么另一个三角形中底

角的度数为一度.

11.（4分）如图，已知AD//BE//CF,它们与直线4、4依次交于点人、B、C和点。、E、F,如果

—A8=10,那么线段8c的长是

DF5------

12.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,AB=娓,BC=6则NA=.

13.（4分）已知△ABC三边长分别为2、3、4,△力后尸的两条边长为6、9,当△QE/最长边为时，

△A6C与△£>£：尸相似.

14.（4分）已知在△A8c中，ZACB=90°,CO是A3边上的高，如果AC=4,CD=3,那么△AC。面

枳与△CB。的面积的比值是.

15.（4分）如图，在平行四边形4BCO中，点M,N分别是边。C、8c的中点，设AB=a,AD=b,

那么MN=（用含有向量“、的式子表示）.

16.（4分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,

燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置.）上成像4夕，设A8=36cm,4斤=240〃，小

孔。到AB的距离为30c7〃，则小孔O到4夕的距离为

17.（4分）如图，在平行四边形人8c。中，AB=BD,过点A作对角线以？的垂线，交边BC于点、F,如

果尸是边8C的中点，那么Ab:CO的值是

18.（4分）如图，已知RrZ\A8C,ZB=90°,48=3,BC=4,将△A8C绕着顶点A旋转，点8,C

的对应点为。，E,当点。恰好落在△A3C的中线8M的延K线上时，延长EZ）交AC于点尸，那么。尸

的长为.

三、解答题：（本大题共7题，满分0分）

ic、_LW..2e八ctan45’

19.LT算：4sin~30°--------------.

cos300-cos60°

20.如图，在四边形ABC。中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AD=CF.

（I）设/W=〃，AD=b,试用〃的线性组合表示向量DC；

（2）如果NEP8=90。，tanZFEB=3,七/=1,求8。的长.

21.如图，在△A8C中，AB=AC,tanA=3,点。在边AB上，—过。作。E_LOC,交CB延

4BD3

长线于点E.

（I）求NBOE的正弦值；

22.如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，那么我们把这个

正方形叫做三角形的内接正方形.

小明用如下的方法画出了锐角△A6C的内接正方形：如图，在△A8C的边A8取点。，过点。作QE_L8C,

垂足为E,以OE为边在△A8C的内部作正方形OEFG,连接并延长，交边4c于点P.过点。作

PQ//BC,交边AB于点Q,分别过点尸、Q作边8c的垂线，垂足为N、M,得到的四边形PQMN为

△ABC的一个内接正方形.

（I）请按照上述画图过程在图中画出△A4C一个内接正方形PQMN.（保留画图痕迹）：

（2）请证明这种画法的正确性.

23.已知：如图，在RfZXABC中，Z4C5=90°,8E平分/4BC,点。在边上，CO与B石相交于点

F,BCBE=BABF.

（I）求证：CQJ.AB；

（2）求证：EFBF=2CFDF.

24.某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动.他们从一个基本图形

出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务.

如羽1,已知△48。为等边三角形，点。、E分别在边AC、AB上，且AO=BE,B。与C£相交于点O.

任务1：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出

证明过程；

任务2：特殊情况探究——中点条件下的比例如图2,如果BO=。。，求A。：。。的值；

任务3：一般化推广——比例条件下的规律，如果8。:。。=〃?，直接写出A。：。。的值（用含，〃的代数式

表示）

AA

25.在△ABC中，ZC=90°,C重合)，点E在边

5

AB上，点。关于直线AB的对称点为尸，连接。尸，交边4B于点G,连接E。、EF.

(I)如图1,当点。在边AC上时，如果OE//8C,AD=BE,求DF的长；

(2)当点。在线段3。上时，如果△8OE与△BCA相似，CD=BE,求的值;

(3)如果△QE尸是直角三角形，AD=BE,求aOE/的面积.

参考答案

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CCDAAA

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）・

1.（4分）如果q=2,且力是a和c的比例中项，那么@的值是（）

b3c

234

A.-B.-C.-

329

2

解：由条件可知

3

又〃是a和c的比例中项，

/.b2=ac.

_b2_b2_3b

「・c=—=——二—，

a2,2

-b

3

受

a3

2b3b2b24

--就—十—=——x—=—.

C一3239

23h

选-C

2.（4分）已知G是△ABC的重心，如果八8=AC=5,AG=2,那么底边8C的长是（）

A.4B.6C.8D.10

解：如图所示：连接4G并延长交8c于点

2

CD^J52-32-4,

...BC=2CD=8.

故选：C.

3.（4分）在心/XABC中，ZC=90%a、b、c分别是乙4、NB、/C的对边，下列关系正确的是（）

..a_.a_..c_.b

A.tan=—B.col.4=—C.sinA=—D.cosA=—

cbac

解：根据直角三角形三角函数的定义可知：

tanA=—♦cotA=—>sinA=—.cosA=—,即£>选项符合题意.

bacc

故选：D.

4.（4分）已知〃、/>是非零向量，如果”=-20,下列说法中正确的是（）

A.a+2b=0B.a-2b=0C.\a\-2\b\D.2\a\=\b\

解：:a、方是非零向量，a=-2b»

a+28=0,

故选：A.

5.（4分）已知点。、E分别在△4BC的边和AC的反向延长线上，BD=3AB.当AC=kCE时，

DE//BC,那么我的值是（）

A.-B.-C.-D.-

3322

解：如图，

当。石时，平行线分线段成比例定理可得：—=—=3,

ABAC

AC=­EC，

3

3

故选：A.

6.（4分）如图，将两个宽度为3a〃的矩形纸条叠放在一起，得到四边形A6CQ,如果四边形44co的面

积为15。/,那么直线A。、。。所夹锐角N1的正切值是（）

44

B.D.

43c15

解：过点A作4W_LCO于M,作/W_L8C于N.

:.AD//BC,AB!/CD,

.•・四边形ABCD是平行四边形.

,「矩形纸条宽度为35?，

二.AM=AN=3cm.

•.•平行四边形面积=O4M=8C-AN,

:.CD=BC,

二.四边形A3CO是菱形.

菱形ABCD的面积为15cm2,AM=3cm,

.\CDx3=l5,

解得CD=5cm,即AD=5cm.

DM=>JAD2-AM2=V52-32=4cm,

.皿

DM4

故选：A.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）已知土=»,那么x+y7

）,2y~2~

.,.设x=5a,则y=2a,

山=24+5〃=工.

y2a2

故答案为：

2

X.（4分）如果向量〃、〃和7满足〃7=2（〃-那么+

解：a-x=2（d-b）=2d-2b,

:.-x=a--2b，

x=-a+2bf

故答案为：-a+2b.

9.（4分）已知线段AS的长为2c〃?，点。是线段A4的黄金分割点（AP>/3P）,那么线段P4的长等于

3-6_（结果保留根号）.

解：;点P是线段AB的黄金分割点（4。>BP）,

.p475-1V5—1rz

..AP=-----AB=-----x2=V5—i，

22

;.PB=AB-AP=3-下；

故答案为：3-百.

10.（4分）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为50。，那么另一个三角形中底

角的度数为50或65度.

解：如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为50。，

设第一个等腰三角形的一个内角为50°,

若50°为顶角，则底角为（180。-50。）+2=65。；

若50。为底角，则另一个底角也为50。，顶角为180。-50。-50。-80。；

因比，第一个三角形的底角为50。或65。，

由于两个三角形相似，对应角相等，故另一个三角形的底角也为50。或65。，

故答案为：50或65.

11.（4分）如图，已知4Q//8E//C/，它们与直线4、4依次交于点A、B、。和点。、E、F,如果

FF3

——=-,AB=\0,那么线段BC的长是15.

DF5------

A

B\E

ry

解：AD//BE//CF,

.以三

BCEF

EF3

*/---=一，

DF5

即匹=2

EF3EF3

.•.丝3

BC3

・"3=10,

SC=15,

故答案为：15.

12.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,=BC=6则N4=45°

解：如图所示:

可知AC为RtAABC的一个直角边,

在RtAABC中，AB=娓,BC=6

,sin4=亚,

2

.../A=45°,

故答案为；45°.

B

13.（4分）已知△A6c三边氏分别为2、3、4,△。£尸的两条边长为6、9,当ADEF最长边为12时,

△48。与4。£尸相似.

解：设△OE尸最长边为〃?，

所以M2

解得,"1=12.

故答案为：12.

14.（4分）己知在△A8C中，ZACB=90°,CO是AB边上的高，如果AC=4,CD=3,那么△AC。面

积与ACB。的面积的比值是1.

9

解：如图，在△A8C中，ZACfi=90°,CO是/W边上的高,

D

;AD=>IAC2-CD2=>/42-32=V7,

ZA+ZB=90°,ZA+ZACD=90°,

〃\CD=NB，

/.△ACD<^△CBD，

AD不

~CD~~'

7

△ACD面积与△CBD的面积比值是

9

故答案为：-

9

15.（4分）如图，在平行四边形ABC。中，点M,N分别是边。C、的中点，设/W=〃，AD=b,

那么MN=!〃-■!■人（用含有向量“、/）的式子表示）.

22

1

2222

VAD=b,AB=a,

.NC=-AD=-b,MC=-AB=-a

222

/.MN=MC—NC=—a--b.

22

故答案为：-a--b.

22

16.（4分）物理课上学过小孔成像的原理，它是•种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,

燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AS,设AB=36"〃，40=24”〃，小

孔。到AB的距离为30cm，则小孔O到A0的距离为2^an.

A

解：设小孔。到ATT的距离为xcm,

由迎意可得：

AB3630

则-----=——=一,

A'B'24x

解得：x=20.

故答案为：20.

17.（4分）如图，在平行四边形48CO中，AB=BD,过点A作对角线8。的垂线，交边3C于点”，如

解：•.•四边形A8CO是平行四边形，尸是BC的中点,

:.AD//BC,AD=BC,CD=AB,BC=2BF,

：.AD=2BF.

yAD//BC,

/ADE=/FBE,ZDAE=4BFE,

△ADEs△FBE,且相似比为AD:BF=2：1.

...DE:BE=AD:BF=2:l,

设=则。£=2x,

BD=BE+DE=3x.

又.AB=BD,

AB=3x,

CD=AB=3x.

VAE1BD,

「.△ABE是直角三角形，

在用中，由勾股定理得：AE二dAB'-BE':加尸一『二2五x,

ADEs△FBE,相似比为2:1,

:.AE:EF=2:\,

EF=-AE=4ix,

2

AF=AE+EF=242x+>/2x=3>f2x.

AF:CD=3y/2x:3x=42:\.

故答案为：A/2:1.

18.（4分）如图，已知心/XABC,NB=90。，AB=3,BC=4,将△ABC绕着顶点A旋转，点8,C

的对应点为。，E,当点。恰好落在△A8C的中线8M的延长线上时，延长EO交AC于点F,那么。尸

的长为小.

解：在心△A8C中，Z^=90°,AB=3,BC=4,

则AC=JA8"C2=5.

BM是中线,

/.AM=BM=-

2

NM/1B=ZMBA.

过A作A”_LB。于”，

AA3

在m/XABC中，cosZMBA=cosZBAC=—=-,

AC5

39

△ABH中，BH=ABcosZMBA=3x-=-.

55

vAH±BD,AD=AB,

9

DH=BH=-,

5

DA/=DH-.

52551010

由旋转得AQ=A8=3,NDAE=NBAC,ZADE=90°,AE=AC=5,

^ADB=NABD=ZBAC=ZDAE,

...DM//AE,

：.△FDMs△FEA,

DMMF

AEAF

11-5

AF—

.10_2

,5"AF

解得A尸二哓.

39

——旦四

3939

故答案为：称.

三、解答题：（本大题共7题，满分0分）

ic'।.，-＞八0tun453

19.计算：4sin-300-----------------------

cos300-cos600

【解答】原式=4x(L)2—rJ—

2y/3_1

y-2

=4x1-^-

4V5-i

=1-(73+1)

=1—5/3—1

=-y13.

20.如图，在四边形ABC。中，石是的中点，DB,CE交于息F,DF=FB,AD=CF.

(I)设=AD=b,试用°、〃的线性组合表示向量QC；

(2)如果/£7揖=90。，tanZFEfi=3,石尸=1,求BC的长.

解：(1)连接A”,如图所示:

DF=FB,E是A8的中点，

.•.点〃为3。的中点，

EF为^BAD的中位线，

EF//DA,EF=-AD,

2

VAD=CF,

.•・四边形CD4尸为平行四边形，

AF=DC,AF//DC,

VAD=btAB=a,

EF=-AD=-b,AE=-AB=-a

2222

/.DC=AF=AE+EF=-a+-b；

22

(2)7ZEF«=90°,

二.ZCFB=180°-90°=90°,

在心尸8中，tanZFEB=一=3,EF=\,

FE

；.FB=3,

•/DF=FB,E是A8的中点，

.•.E尸是△48。的中位线，

:.AD=2EF=2,

由（1）得四边形AFTD为平行四边形，

/.CF=AD=2,

CB=ylCF2+FB2=713.

2,r\o

21.如图，在△ABC中，AB=AC,tan4二二，点。在边AB上，—过。作OEJLQC,交C8延

4BD3

长线于点E.

（I）求N8OE的正弦值;

解：（1）过C作CF_LAB于尸，设C产=3h在△ABC中，A8=AC,tanA=之，点。在边A8上，—

4BD3

AF=4k,

CFLAB,

AC=AB=>JAF2+CF2=5k,

AD2

AB=5k,

~BD~3

AD=2k,BD=3k,

DF=AF-AD=4k-2k=2k,

DC=产+CF2=J(2幻2+(3k『二屈k，

"BDE+NFDC=9伊,ZFCD+ZFDC=90°,

:"BDE=/FCD,

sinZBDE=sinZFCD=—=:

DC®13

<2）过点。作C尸_LAB丁点F,过点/）作DG±EC丁点G,过点6作氏”_LDE丁一点M.

设C/二3A,由(1)知人8=50BD=3k,AF=4k,AD=2k,CD=yf\3k,

BF=AB—AF=k,

BC=YBF、CF，=Mk,

S,.=-DBCF=-BCDG，

)[l(22

BP—x3A:x3A:=—xxDG,

22

八「9k9而k

而10

9辰匚赤43公一可二晅,

V10010

•nrrr加k3M

BG=BC-CG=V10K----=----.

1010

JEDB=NFCD,NDMB=/CFD=90。，

△DMD^△CFD.

BMDBBM3k

---=---,即nn----=,--

DFDC2k用k

蟀”噜

又./£：=NE,NEMB=NEDC=9H

△EMBs△EDC.

BMBE

：.---=---»

DCCE

设CE=x,则DE=WCE，-DC，=-13公,BE=CE-BC=x-Mk,

6岳k

13_x-

,■,VBT=~

解得入=电皿，

7

13vH

.CE713

"前一回k-〒

22.如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，那么我们把这个

正方形叫做三角形的内接正方形.

小明用如下的方法画出了锐角^ABC的内接正方形：如图，在△ABC的边AB取点D,过点。作DE1BC,

垂足为E,以。石为边在△ABC的内部作正方形。EFG,连接BG并延长，交边AC于点P.过点P作

PQHBC,交边AB于点Q,分别过点。、Q作边3c的垂线，垂足为N、M,得到的四边形PQMN为

△A8C的一个内接正方形.

（I）请按照上述画图过程在图中画出△ABC一个内接正方形PQMN.（保留画图痕迹）；

（2）请证明这种画法的正确性.

解：（1）按照题目描述的步骤，依次进行取点、作垂线、作正方形、连线、作平行线和垂线等操作来画出

内接正方形，如图，四边形PQMN即为所求，

(2)证明：•.PQHBC,PNA.BC,QM工BC,

/QPN=180°-NPNM=180°-90°=90°=NPNM=NQMN,

二.四边形PQMN是矩形，

••正方形OE尸G,

:.GF=DG,GFLBC,DG//BC,

vPQ//BC,PNA.BC,

GF//PN,PQ!IDG,

△BGFs△BPN,△BDGs△BQP,

GFBGDGBG

丽一而‘而一评‘

DE=DG,

QP=PN,

,四边形PQMN是矩形，且P在AC上，Q在44上，M、N在上，

四边形PQMN是^ABC的内接正方形.

23,已知：如图，在★△A8C中，ZACB=90°,8E平分NA8C,点。在边48上，CO与8月相交于点

“，85BE=8"8F.

(I)求证：CD1AB；

(2)求证：EFBF=2CF-DF.

【解答】证明：（1）平分/A8C,

:"CBF=NABE，

BCBE=BABF，

BCBF

BABE

:.'CBFsXABE,

:"BCF=/A,

在心△ABC中，/AC8=90。，

.•.ZA+ZABC=90°，

/BCF+ZABC=9(r,

...408=90。，

:.CDJ.AB；

（2）如图，过C作CM_L8£于M.

Z.CFE=Z.AEB.

又.•ZCFE+4CEF=4AEB+ZCEF=180°,

/.ZCFE=4CEF,

CF=CE.

vCM1BEf

/.FM-EM--EF.

2

7CD1AB,CM工BE,

/BDF=ZCMF=90°,NDFB=NMFC,

:,\BDFsXCMF.

DFBF

"~MF~~CFf

DFCF=MF•BF.

-MF=-EF,

2

DFCF=-EFBF,

2

:.EFBF=2CFDF.

24.某校九年级数学兴趣小组在学习”图形的相似”后，开展了一次主题探究活动.他们从一个基本图形

出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务.

如羽1,已知△A8C为等边三角形，点。、£分别在边AC、AB上，且AO=8E,B。与C£相交于点O.

任务1：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出

证明过程；

任务2：特殊情况探究——中点条件下的比例如图2,如果BO=。。，求的值；

任务3：一般化推广——比例条件下的规律，如果8。:。。=〃?，直接写出A。：。。的值（用含，〃的代数式

表示）

AA

解：任务1：△DOC^△DCB,△BOEs△BAD,△EBO^△ECB,

证为：•「△A4C是等边三角形，

/A=ZABC=ZACB=60°,AB=BC=AC,

vAD=BE,

△ABDN△BCE(SAS),

/ABD=ZBEC,

/CBO+NBCE=ZLBOE=NABD+NCBO=60°=ZABC=/A=N4C8,

/ACE=60°-4BCE=NCBD,

△DOC^△DCB,△BOE^ABAD,△COD^△CAE,△EBO^△ECB,

任务2：过点。作。M//A8交CE于M.

：2ODM=/OBE,

・.,/BOE=ZDOM,BO=DO,

:.^BOE=/\DOM(ASA),

：.BE=DM=AD,

:.AB-BE=AC-AD即AE=CD,

DM11AB,

△COMs△CAE,

DMCDADCD

：.=——即IIn——=--------,

AEACCDAD+CD

设CD=y,则土=―-->即/+g,一）3=0,

yx+y

解得x=-y土底,（舍去负根），

2

x>/5-1Hr.垂>-1

y22

任务3:

过点。作。M//A8交CE于M,

•.♦DM//AB,

△ODMs△OBE,

BO:OD=m，

BEBO

-----=-----=in»

DMOD

又"D=BE,

-DM//AB,

.-.△CDM^ACAE,

:.-D-M-=-C--D，

AEAC

设=DC=y,贝ljAC=x+y,AE=AC-AD=y,

X

.•工上，

yx+y

整理得x2+xy-my2=0,

解得x=3三1=22画亘（舍去负根），

22

,x=V4W+l-l>叩心

），22

4

25.在△ABC中，ZC=90°,47=8,sin8=一，点。在边4c或8C上（不与A、C重合），点石在边

5

AB上，点。关于直线A8的对称点为尸，连接。尸，交边A8于点G,连接£D、EF.

(I)如图1,当点。在边4c上时，如果。E//8C,AD=BE,求。尸的长；

(2)当点。在线段4C上时，如果△伙儿与△伙;八相似，C7J=BE,求的值;

(3)如果是直角三角形，AD=BE,求△。石尸的面积.

4

解：(1)•・,在△ABC中，ZC=90°,AC=8,sinB=-,

AC484

二.——=-,即Hn——=-,

AB5AB5

解得：入8=10,

在立角二角形ABC中，由勾股定理得：BC=41U-8。=6,

A3

sinA=一,

5

DE/IBC,

:"B=NAED,

4

sinNAED=-,ZADE=ZC=90°,

5

点D关于直线AI3的对称点为F,

/.DG1AB,DF=2DG,

设。G=3a,

在RrZXAQG中，AD-BE-5a»4G=4a,

在孜中，sinNA£Q=&=^=3,

5DEDE

”15

DE=—a,

...GE=-a,

4

9

AB=