2025-2026学年广东省深圳市福田某中学九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中只有一个是正确的）

1.（3分）下列给出的四条线段，是成比例线段的为（）

A.lew,2cm,3cm,4cni

B.1cm,2cm,3cm,6cni

C.6cm，cm，V4V5cm

D.1cm,3cm>4cm»7cm

2.（3分）不解方程，判断一元二次方程M-5x+3=O的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.有一个实数根

D.没有实数根

3.（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互把平分

C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

4.（3分）在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同.每次从箱子中摸出

一个球，记录下颜色后再放回，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（）

A.6B.9C.12D.14

5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△48C与”是以原点O为位似中心的位似图形（点力，B,

C的对应点分别为点。，E,F）（2,4）,若点。的坐标为（1,2）,△。底尸的面积为2（）

6.（3分）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”

刻度线重合，CD与“5”刻度线重合，若测得力8=50c/〃（）

第1页（共25页）

D.25

7.（3分）如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，CQ是蜡烛48通过凸透镜MN所成的倒立、放

大的实像.已知蜡烛的高度/1B=8c〃i,焦距/=。产1=0尸2=l（）c切，光线8。通过凸透镜的光心0,折射

则像co的高度为：)

C.25cmD.30。/〃

8.（3分）如图，在矩形48co中，力4=3,点E为CO的中点.连接力七，连接OF交力£1于点M，则4M

5993

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）己知也=工，那么工=_____________________.

y3y

10.（3分）关于X的一元二次方程f+九丫-3=0的一个根是3,则〃?的值是.

11.（3分）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远.《九章算术》、《周髀算

经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著.实验中学拟从这4部数学名著中选择2

部作为校本课程“数学文化”的学习内容.

第2页（共25页）

12.（3分）将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系x。），中，点力、B、C分别落在坐标轴上，且

13.（3分）在等边三角形W8。中，AC=6&，D为AB边上一动点,£为CO的中点，将△口£沿4E翻

14.（7分）（1）解一元二次方程：x2-2x-4=0；

（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.

解方程：（3x7）2=2（3x7）.

解：方程两边同除以（3x-1）,得3x-1=2…第一步

移项，合并同类项，得3x=3••第二步

系数化为1，得x=l…第三步

回答下列问题：

①小明的解法从第步开始出现错误：

②一元二次方程正确的解应该是.

15.（6分）已知：在平面宜角坐标系内，△力4c三个顶点的坐标分别为力（0,3）、B（3,4）（2,2）（正

方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）.

（1）画出△4?。向下平移4个单位长度得到的△小4|。，点Ci的坐标是：

（2）以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出△428C2,使△力2802与位似，且位似比为2：

1,点C2的坐标是;

（3）根据图形，△小囱口与△加6c2是关于某一点。为位似中心的位似图形，点。的坐标

第3页（共25页）

为，位似比的值为

16.（9分）每年的11月9日是“119消防宣传日”.本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生学

握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统L，请根据有

关信息解答：

（1）接受测评的学生共有人；

（2）扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为度；并补全条形统计图；

<3）测评成绩前三名的学生恰好是I个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防

安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率.

学生的安全知识掌握情况条形统计图学生的安全知识掌握情况扇形统计图

（I）求证；四边形是矩形；

（2）在力E边上有一点M,AOEW沿。M翻折，使得点EE勺对应点尸落在。4上，保留作图痕迹，不

写作图过程；

（3）在（2）的基础上，若力B=3,连接求8尸的长度

第4页（共25页）

18.（8分）根据以下素材，探索完成任务:

背景今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量

市民观影，各大影院积极推送.

素材1某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人

数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.

素材2随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒

进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，

平均每天售出30个；售价每降低1元，该店计划下调售

价使平均每天的销售利润为1500元.

问题解决

任务1求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长

率；

任务2根据素材2,为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减

少库存

19.（II分）如图1,路灯彳片与路灯CO都与地面垂直，且相距18米，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的

速度从路灯48走向路灯CQ,行走时间为/秒.当行走2秒时，此时发现身后影子顶部正好触到路灯

48的底部（点8）.如图2,小明在路灯力8下的影子为/在路灯CO下的影子为EV.

（1）求路灯。。的高度.

（2）当，=4秒时，求影子49的长？

<3）常言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离.

①从路灯力4走向路灯CO的过程中，两路灯下的影子总长MN=（用含/

的代数式表示）；

第5页（共25页）

②小明发现：在灯光下人的远度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯co下的影子的顶

端N在地面上移动的速度为米/秒.

,9CC

Q/、''E/

---地面封-----------也一地面

NFM

图1图2

20.(11分)综合与探究

【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，有一个是直角,

我们称这样的四边形为对垂四边形.

如图1,在四边形力8c。中，5。是对角线，则四边形力8C。为对垂四边形，记作对垂四边形48CQ.

【理解】

(1)如图1,在“对垂四边形ABCZr中，若/力=60°，组的值为；

BD

【应用】

(2)如图2,在“对垂四边形488”中，/ABC=NADB=9G,且CDLDE,连结"；

【拓展】

(3)如图3,在对垂四边形48CQ中，已知N/18C=N4Q8=90°,加=4旧，点£为边力8上一动点,

CDA.DE,当点M是CK的三等分点时，求此时的长

第6页(共25页)

2025-2026学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BBBDABAC

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中只有一个是正确的）

1.（3分）下列给出的四条线段，是成比例线段的为（）

A.1cni,2cm,3cm,4cni

B.1cm,2cm,3。〃，6cm

C.V2cro»cm，ycm，V5cm

D.\cm,3cm,4cm»1cm

【解答】解：A.2X3#5X4,不符合题意；

B、2X6=1X6,符合题意；

c、VsxF卢JIx旗，故c错误；

D、3X4W7X7,不符合题意.

故选：B.

2.（3分）不解方程，判断一元二次方程”-5升3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B,有两个不相等的实数根

C.有一个实数根

D.没有实数根

【解答】解：由题知，

因为一元二次方程为f-5x+4=0,

所以△=（-5）7-4XlX2=13>0,

所以此方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

3.（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分

第7页（共25页）

C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

【解答】解：菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直，故答案应为对角线互相平分，8正确.

故选：B.

4.（3分）在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同.每次从箱子中摸出

一个球，记录下颜色后再放回，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（）

A.6B.9C.12D.14

【解答】解：利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7,

・••箱子中红球的个数约是20X4.7=14（个）.

故选：D.

5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，与△。£产是以原点。为位似中心的位似图形（点4B,

C的对应点分别为点。，E,F）（2,4）,若点。的坐标为（1,2）,△OEb的面积为2（）

【解答】解：*（2,4）,2）,

0AW22+42=272»ODdy+52;粕，

/.0D：0A=A/6:2V5=3：2,

AABC与XDEF是以原点。为位似中心的位似图形，

:・DF：AC=OD：OA=\：8,/\ABC^/\DEF,

・^ADEF

••""""""""""""

SAABC倦）吗）*

:♦S“BC=ASM>EF=4X8=8，

故选：A.

6.（3分）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”

刻度线重合，CD与“5”刻度线重合，若测得/18=50（7〃（）

第8页（共25页）

25

D.—cm

4

【解答】解：根据题意得C。〃力从

:•△CODsWOA,

•.•CD2,

AB3

VAB=50cm,

••,Cr*Dn-2qXym50-1-0-0(c(m)、，

oo

故选：B.

7.（3分）如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，CQ是蜡烛48通过凸透镜MN所成的倒立、放

大的实像.已知蜡烛的高度/B=8c〃i,焦距/=OFi=O尼=10c〃?，光线8。通过凸透镜的光心。，折射

则像CD的高度为：)

C.25cmD.30cm

【解答】解：根据凸透镜成像公式工二工十❷，已知〃=14c〃?，

fuv

代入计算像距y：工=_!___5_=2_=_§_=_1_—=>v=（cm）.

V1014707035

由凸透镜成像规律，像高与物高的比等于像距与物距的比，即双二三.

ABu

代入力〃=8<?m，v=35cm

CD甘XAB喑X3=2・5X7=20cn，

因此，像CO的高度为20cm,

第9页（共25页）

故选：A.

8.（3分）如图，在矩形48CQ中，48=3,点E为。。的中点，连接4£,连接交XE于点M,则从必

5993

【解答】解：过点、F作PQ上ND于点Q,交AE于点、P

在矩形力BCO中，4B=3,

；・CD=AB=3,AB//CD,

•・•点£是。。的中点，

：,DE=^CD=\.2,

2

在Rt△力。E中，由勾股定理得：^=VAD2+DE2=V52+1.62>

•；NFQD=NC=NCD4=90：

・••四边形产0OC是矩形，

:,FQ=CD=3,FQ//CD//AB,

/.Z2=Z3,

'：AF平分角BAE交BC于点F,

・・・N1=N3,

•・・N2=N2,

工设％=尸产=a,

：.PQ=FQ-PF=2-a,PE=AE-PA=2.5-a,

'：FQ//CD,

第10页（共25页）

:.XAPQsXAED,

・AP=PQ

"AEDE,

・・・-A-二三

3.58.5

解得：。=①，

8

：.PA=PF=a=^-,PE=25-a=M

68

*：FQ//CD,

:•丛FPMS/XDEM,

15

.PM-PF-8-5

••而DE6.5T

设PA/=5k,EM=4k,

・•・PE=PM+EM=3k=旦，

8

解得：女=旦，

72

，产也=5〃=空，

72

・•・AM=%+?加=运+^=理2=里

872723

故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）已知也=工，那么工=_二_.

y3y-3-

【解答】解：由分比性质，得

工=4

y3"

故答案为：2.

3

10.（3分）关于X的一元二次方程』+九.3=0的一个根是3,则M的值是-2.

【解答】解：由题意得：把x=3代入方程/+〃a-6=0中得：9+3〃?-3=0,

解得：〃?=・2,

故答案为：-2.

11.（3分）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远.《九章算术》、《周髀算

经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著.实验中学拟从这4部数学名著中选择2

第11页（共25页）

部作为校本课程“数学文化”的学习内容—L

2

【解答】解：《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》分别用心B,C,

,用列表法把所有等可能结果表示出来如下，

ABCD

A(B,A)(C,A)(O,A)

B(4B)(C,B)（。，B）

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(4D)(B,D)(C,D)

由列表可知：恰好选中《周髀算经》的概率为红二工,

128

故答案为：1.

2

12.（3分）将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点小B、C分别落在坐标轴上，且

【解答】解：如图，过点。作。轴，

VZJ5O+ZF5C=180°-90°=90°,ZBAO+ZABO=90°,

/.△AOBS^BFC,

.OB=AO

••而而‘

BfJOB=FC=l,

0ABF2

・：OB=6,

.*.0/1=2,

同理，△AOBsABED,

.OB=OA=AB=1

*,DEBEBD

:,DE=4()B=4,BE=WA=^>,

第12页（共25页）

・・・0E=1+2=9,

・••点。的坐标为（9,4）,

13.（3分）在等边三角形力8。中，AC=6V2»。为/也边上一动点，£为CO的中点，将△。后沿力上翻

折得到△E4E,连接OR则力。=_3V10-3V2_.

又，：CE=DE,NCDF=60°,

:,DE=EF,△£>£尸为等边三角形.

，/DEF=60°,ZC£F=120°,

ZCEA=ZFEA=120°.

AZAED=60°.

•••△48C为等边三角形，

/.ZCAB=ZACD=ZCBA=6(.)°,

VZAED=ZCAB=60°,NED4=NCDA,

・•・△ADEs^CDA、

2

AAD_=DE_,AD=CD*DE,

CDDA

设DE=CE=x,

则AD2=3X2,AD=,\[2X，

第13页（共25页）

又...述=改=_^/。=6&,

CADA<8x

则4E=7.

作4H_LCZ)于点”，如图1所示:

图1

则£〃=工4£=33&，DH=x-3,

4

在RtAW”中，由勾股定理可得方程：(3V5)2+(X-3)2=(V2X)2*

整理得：?+6x-36=0,

解得x=6而-3(负根已舍)，

故AD=&X=3V1O-3V2.

故答案为：3V10-376.

解法二：作EG〃4C交力8于点G,DF交BC于点、Q

・・・G为］。中点，EG=L"啦.

2

设AG=GD=x.

•：NEGD=NC4B=60°,且由解法一中知N/EO=60°，

:AEGDs^AED,

第14页(共25页)

•.•—ED二GDy

ADED

22

即ED=AD*GD=^yt

又・.・E/)=LCD，

4

J整理可得C7)4=8~

(1CD)8=2.X-2,

•；/CDQ=NCB4=60°,ZDCQ=/BCD,

:•△CDQSACBD,

•••C一DI二CQ，

CBCD

即CD5=CB-CQ=6V2CQ=3V2(6V4-QB)=72-6V2QB，

2

则有4x2=72-6灰QB，解得。8=运二咨-

8V2

*/NEGD+NGED=/EDF+匕QDB,

:.NGED=NQDB,

乂•：NEGD=NQBD,

:•丛EGDS/\DBQ,

•・•EGI二GD,

DBBQ

2

故,EG・BQ=DB・GD,即3攻/2•■咨=(6«-2x，

2V2

整理可得X2+56X-18=0，

解得》=双贞二运.（负根已舍），

6

故AD=y/2x=3V10-8^2.

故答案为：3面-5五.

三、解答题（本题共7小题，共61分）

14.（7分）（1）解一元二次方程：?-2x-4=0：

（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.

解方程：（3x7）2=2（3x7）.

解：方程两边同除以（3x-1）,得3》-1=2…第一步

移项，合并同类项，得3x=3••第二步

第15页（共25页）

系数化为1，得X=1…第三步

回答下列问题：

①小明的解法从第一步开始出现错误：

②一元二次方程正确的解应该是X

【解答】解：(1)?-2x-6=0,

/-2vH=4+3,

(x-I)2=8,

则1-1=土娓,

;

所以乂5二1八月，X8=1W5

(2)①由所给解题步骤可知，

因为(6x7)可能为0,

则等式两边不能同除以(6x7),

所以第一步开始出现错误.

故答案为：一；

②(3x・8)2=2(6x7),

(3x-8)2-2(3x-1)=0,

(2x-1)(3x-8)=0,

则3x-4=0或3x-5=0,

=

所以X[],X25-

134

故答案为：打],x2=l-

164

15.(6分)已知：在平面直角坐标系内，△/8C三个顶点的坐标分别为力(0,3)、B(3,4)(2,2)(正

方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度).

(I)画出。向下平移4个单位长度得到的△小小。，点Ci的坐标是(2,-平；

(2)以点8为位似中心，在指定网格的范围中画出△力28c2,使△aBCz与△力8。位似，且位似比为2：

1,点C2的坐标是(1,0);

(3)根据图形，△小小。与△加8。2是关于某•点。为位似中心的位似图形，点。的坐标为(3,

-4),位似比的值为_工_.

第16页(共25页)

【解答】解：（1）如图，△/1归C7即为所求.

点。的坐标是（2,-7）.

故答案为：（2,-2）：

（2）如图，ZUs&Cz即为所求.

点g的坐标是（1，0）.

故答案为：（8,0）；

（3）如图，点。的坐标为（3,位似比的值为旦.

16.（9分）每年的11月9日是“119消防宣传日”.本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌

握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，请根据有

关信息解答：

（1）接受测评的学生共有人；

第17页（共25页）

（2）扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为」^_度；并补全条形统计图;

（3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防

安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率.

学生的安全知识掌握情况条形统计图学生的安全知识掌握情况扇形统计图

故答案为：160；

（2）扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为360°X型-=135°

等级为“良”的人数为160-（60+40+10）=50（人）,

补全图形如下：

学生的安全知识掌握情况条形统计图

（3）画树状图如下：

开始

共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况,

第18页（共25页）

・•・抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是生=2.

73

17.（9分）如图，在口力8CQ中，。为线段力。的中点，连接IE,BD

（1）求证：四边形48DE是矩形：

（2）在边上有一点M,ADEM沿DW翻折，使得点£的对应点尸落在D4上，保留作图痕迹，不

写作图过程；

<3）在（2）的基础上，若45=3,连接6尸，求6尸的K度

【解答】（1）证明：为力。的中点,

；・AO=DO,

•・•四边形48CQ是平行四边形，

:.AB//CD,AB//CE,

:.NB/O=NEDQ,

XVNAOB=NDOE,

:.XAOB义XDOE（ASA）,

工AB=DE,AB//DE

・・・四边形ABDE是平行四边形，

NBDC=9Q°

・•・Z£?£>£=90°

・•・平行四边形43QE是矩形；

（2）解：如图，点”即为所求；

第19页（共25页）

在中，^=7AB2+BD5,

,

**S^ABD--i-AB.BD="AD•BK

乙乙

・BK『AB・BD=12

""ADT，

在RtZ\/BK中，J/f=JAg3_BK2=9.,

6

由折叠可知DF=DE=3,

：,AF=AD-DF=2,

：.KF=AF-AK=^-,

5

在RtZXBKF中，^=VBK2+KF5=

5

18.（8分）根据以下素材，探索完成任务：

背景今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量

市民观影，各大影院积极推送.

第20页（共25页）

素材1某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人

数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.

素材2随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒

进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，

平均每天售出30个；售价每降低1元，该店计划下调售

价使平均每天的销售利润为1500元.

问题解决

任务1求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长

率；

任务2根据素材2,为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减

少库存

【解答】任务I：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为X,

根据题意得：6（3+x）2=8.64,

解得：工2=0.2=20%,.盯=-2.2（不符合题意，舍去），

答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%；

任务3：设需要降低/〃元，则下调后每个“哪吒”手办的售价为（65・〃?）元，

根据题意得:（65-m-30）（30+3加=150（）,

解得：m=15,〃?=10（不符合题意，

答：需要降低15元.

19.（11分）如图1,路灯45与路灯。都与地面垂直，且相距18米，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的

速度从路灯48走向路灯8,行走时间为/秒.当行走2秒时，此时发现身后影子顶部正好触到路灯

力8的底部（点8）.如图2,小明在路灯下的影子为RW在路灯CQ下的影子为RV.

（1）求路灯。。的高度.

（2）当尸4秒时，求影子"/的长？

（3）常言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离.

①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MV=_基生空工_（用含i的代数式表示）:

40

②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CO下的影子的顶

端N在地面上移动的速度为1.8米/秒.

第21页（共25页）

.,9C

Q/

可—!-------------也一地面地面

NFM

图1图2

【解答】解：（1）由题意，可知，8。=18米,

•:PQIBD,CD1BD,

：,PQ//CD,NBPQ=NBDC=90"，

:・&BPQs丛BDC,

・BP=QP

**BDCD,

・3:=1.8

18CD，

/.C7J=9.6,

答：路灯。。的高度为2.6米;

(2)V/=4,

.\5F=8,5X4=2,50=18,48=9.6-8.6=8,

•；EFLBD,CDA.BD

：.EF//CD,ZNFE=ZNDC=90°,

:•△NFES/\NDC,

.NF=EF

**NDCD，

.NF二EF

“NF+FDF'

・NF二一6

*'NF+12-9.2,

EV=丝米，

5

答：月V的长是以米；

5

(3)①由(1)(2)得处工晅=工，

MB5ND8

当运动/秒后，4尸=当四t

22

设NF=a,FM=b,

第22页（共25页）

解得：〃=