2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷（上海专用沪教版五四制：相似三角形+锐角的三角比+二次函数+圆的基本性质）解析版

九年级数学上学期第三次月考卷（上海专用）

全解全析

（考试时间：100分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版九年级数学上册（相似三角形+锐角的三角比十二次函数+圆的基本性质）。

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1.已知V关于x的函数解析式丁=（〃/-1卜2+（〃-1卜+用+1,则下列说法正确的是（）

A.若机=1,则函数图像平行于）'轴

B.若机=-1,则函数图像过原点，且经过一、三象限

C.若加>1,则函数图像开口向上，对称轴在〉轴右侧

D.若〃?<-1,则函数图像开口向上，对称轴在歹轴右侧

【答案】D

【详解】函数为y=（w2-l）x24-（w-l）x+（/M+l）,

对于A：当加=1时，^=0-X2+0-X+2=2,为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，..A错误；

对于B：当机=7时，y=0-x2+\-2）x+0=-2x,过原点，但斜率4=一2<0,图像经过第二、四象限，不

经过第一、三象限，「.B错误；

对于C：当〃?>1时，a=m2-1>0»开口向上;b=ni-\>0,对称轴X=--^-<0,在y轴左侧，「.C错误;

2a

对于D：当“〈一1时，a=m2-\>0,开口向上；b=m-\<0,对称轴x=±>0,在y轴右侧，D正

2a

确.

故选D.

2.为测量小河的宽度CO,小明在河两岸。，。测得大楼力4楼顶力的仰角分别为。，P.若大楼的高

为/,则C。的长可表示为（）

A.(tan。-tan/)•力B.(sina-sin//)-/i

hhhh

C.-----------------D.-------------

tanatan/>sinasnip

【答案】C

【详解】解：由题意得，NABC=NABD=90°,

RtAJBC'l,.BC=---------=-----,

tanZJCBtana

在Rt448。中，BD=芸2=7^，

tanZ.ADBtanp

：.CD=BC-BD=------—,

tanatan/?

故选：C.

3.已知△ABC中，D、E分别是边48、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出。E〃BC的是（）

AEAD-ABAEAEDE〜AEAD

A.B.C.D.

CEBDACADACBCACBD

【答案】A

【详解】解：如图，。、E分别是边48、AC反向延长线上的点，

J/74/）

A、若/F能判定〃叱'符合题意;

B、若下=-7工，不能判定DE〃8C,不符合题意;

ACAD

AVr）p

C'若非=黑，不能判定°E〃8C，不符合题意;

ApAD

D、若=不能判定£>E〃BC,不符合题意;

ACBD

故选：A.

4.已知二次函数y=ad+笈+。的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（）

C.a<O.b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0

【答案】D

【详解】解：由抛物线的开口向下知。<0,

与7轴的交点在y轴的负半轴上，

/.c<0,

对称轴为x=-g<0,

2a

.・a、。同号，即8<0.

故选:D.

5.下列命题中，真命题的个数有（）

①四个角对应相等的两个梯形必定相似；

②在ZU8C与中，如果4=/。，照=线，那么△4BC与4由相似

DEEF

③平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.

④%为实数，如果妨=6，那么行=0；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】解：①•••梯形四个角对应相等，但对应边不一定成比例，

•••不一定相似，故为假命题；

ADRr

②在与/中，如果4=NO,—,那么△力8c与必所不一定相似，故为假命题;

DEEF

③...两个不平行向最可以张成整个平面，

二任意非零向量都可以被分解，故为真命题；

④；当k=0时，，垢=0,对任意6成立，

.・高不一定为。，故为假命题：

综上，真命题个数为1个，

故选：B.

6.如图，正方形48CZ）中，AB=2亚,点N为边上一点，连接8N,作AP上BN于点P,点M为4B

边上一点，且NPM4=NPCB,连接CM.下列结论正确的个数有（）

(1)Z\PAMs△尸8c

(2)PMLPC

(3)£MPB=4MCB

(4)若点N为/。中点，则S“cv=6

(5)AN=AM

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【详解】⑴••,AP1BN,

，NP/M+NPA/=90。，

•；/PBA+/PBC=90°,

/PAM=Z.PBC,

•；ZPMA=4PCB,

:ZAMsfBC,

故(1)正确；

⑺•：△PAMSNBC,

:.NAPM=NBPC,

.•./CPM=NAPB=90°,

即PM1PC,

故(2)正确；

(3)vZ.MPC+ZMBC=900+90c=180°,

二6、C、尸、M四点共圆,

:.NMPB=NMCB，

故(3)正确；

(4)过点P作EF人BC,分别交力。、BCE、F点,

•.W为力。的中点，AB=2亚,

：.AN=DN=EBC=EF=2亚,

:•BN7AB2+AN?=5，

•••AANP=NBNA,4NPA=NNAB=90°,

△△ANPs^BNA,

-PNAN

得而=而，

即"与

:.PN=\,

.-.P5=5-l=4,

vAD//BC,

:sPENs^PFB、

:.PE=PN=一1,

PFPB4

.•.尸产=1E尸=|石，

V5=2,

(5)•:NNAP+NBAP=/ABP+/BAP=900,

4NAP=乙4BP,

•:/APN=/BPA=9b0,

•••APANS4PBA,

AN=PA

,~BA~~PB'

•：/\PAMs丛PBC,

AMAP

ANAM

/•--=---,

ABBC

•••AB=BC,

:.AM=AN,

故（5）正确.

故选:B.

第二部分（非选择题共126分）

二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

V-Y

7.已知5x=3y,则——的值是______.

x+y

【答案】

【详解】解：由5x=3y得x:y=3:5,

设.丫=聚，y=5k（AwO）,代入分式，得

y-x_5k-3k_2k_1

x+y=34+5广获="

故答案为：

4

2

8.己知Rt△48c中，ZC=90°,AC=4,tan8=§,那么的长为

【答案】6

AC

【详解】在放"5C中,ZC=90°,tan8=—,

BC

2

vAC=4,tanB=—f

42

—=—,

BC3

3

解得^C=4x1=6,

故答案为6.

9.如图，已知/[〃/2〃/3，。〃=45,。〃=65,48=85,那么4G_____cm.

CHAG

vCH=4cm,DH=6cm,AB=8cm,

4AG

"6~S-AG'

解得：4G=^(cm),

J

故答案为：

10.已知点力(-5,〃?)、8(-3,小都在二次函数丁=公+5(。>0)的图象上，那么〃?、〃的大小关系是：小

n.(填或“<")

【答案】>

【详解】解：由二次函数y=〃/+5,。>0可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为V轴，

・・・当x<0时，V随工的增大而减小，

*/-5<-3,

m>n.

故答案为：>.

11.如图，拦水坝的横断面为梯形48CO,其中迎水坡48的坡角48c=45。，背水坡。。的

坡比为斜坡力4长4>/5m,则背水坡CD的长为m.

【答案】8

【详解】解：过点力、。分别作DF工BC,垂足分别为£、F,

AD

ZDAE=/AEB=90°,NAEF=Z.DFE=4DFC=90°,

.•四边形片£尸。是矩形，

•••DF=AE>

在Rt△力£7?中，ZAEB=90°t48=4&m，^ABE=45°,

•••AE=BE,

由勾股定理得AE2+BE2=AB，，即2AE2=卜应了，

•••AE=BE=4,

•••DF=AE=4,

在Rt△。回C中，ZZ)FC=90°,DF:CF=T：B

••.CF=6DF=45

-CD=>)DF2+CF1=8m-

故答案为：8.

12.如图，菱形/18C。的对角线HC、8。相交于点。，£为月。的中点，AC=4,OE=3,那么

sin/EOD=.

【答案】|

【详解】解：•.•四边形力8c。是菱形，AC=4,

.•.400=90。，AO=--AC=2,

2

•••E为/O的中点，OE=3,

：.OE=LAD=ED,

2

Z^OD=Z1EDO,45=2x3=6,

在RtA/lOO中，sin^EOD=sinZEDO=—=-=1

AD63

故答案为：!

13.如图，已知RtZ\4?C中，4cB=90、CDA.AB,BC=5,cot/1=2,那么CQ的长为.

【答案】2M

【详解】解：在RtZX48C中,

,4c

COM=----,

BC

AC

手-2,AC=\0.

在RtZkZCO中,

4D

cot4=—=2,AD=2CD.

CD

CD2+AD2=AC2，

5+（2。。）2=1（）2,

CD-2y[s

故答案为2石.

14.如图，点彳，8都在格点上（网格小正方形的边长为1）,点C是线段与网格线的交点，则力C的长

【答案】平

【详解】解：如图：CDJ.BE,AEJ,BE,

：.CD//AE,

在Rt△4E4中，AE=4,BE=6,

则：AB=V42+62=2x/13，

-CD//AE,

ACDE42

:.---=---=—=—,

ABBE63

••・4。=2力8=2x2715=包3

333

故答案为；生叵.

3

15.如图，一艘船从力处向北偏西30。的方向行驶3海里到8处，再从8处向正东方向行驶5海里到。处,

此时这艘船与出发点力处相距海里.

北

【答案】M

【详解】解：如图:

BC工AE,

4£8=90。，

VZEAB=30°,44=3海里，

.•.8E=］海里，4£=±巨海里，

22

37

：.CE=BC-BE=S--=-（海里），

AC=y/cE2+AE-=+（半=加（海里）,

故答案为：M.

北

AD=BC=n,如果矩形PQMN内接于中，点尸、N分

别在边48、4c上，点。、“在8C上，那么矩形PQMN的周长为.

【详解】解:如图，设4D与PN交于点E,

•.•矩形PQMN内接于MBC中,

PN//BC,

:."BCS“PN,

•••ADIBC,

AE工PN,

CBAD

PNAE

vAD=BC=13,

PN=AE,

：.PQ+PN=PQ+AE=AD=13,

矩形PQWV的周长为2x13=26.

故答案为：26.

17.已知。。的半径长，•为5,弦.44与弦C。平行，AB=6,CZ)=8,则弦43和弦C。之间的距离为

【答案】1或7

【详解】解：由题意知，分弦力4与弦C力在直径的两侧，弦与弦C。在直径的同•侧，两种情况求解;

当弦与弦CO在直径的两侧，如图1,过O作石/_L4?于-E,EF上CD于F,连接08,OD,

图1图2

由垂径定理得，BE=-AB=3,DF=-CD=4

22t

由勾股定理得，0E=\l0B?-BE，=4,0F=\l0D2-DF2=3，

:.EF=OE+OF=1；

当弦4?与弦CO在直径的同一侧，如图2,过。作48于E,EFJ.CD于F连接08,0D,

同理，OE=4OB--BE2=4»0尸=/。。2二2=3，

：.EF=OE-OF=\；

综上所述，弦力4和弦。之间的距离为1或7,

故答案为：1或7.

3

18.在等腰三角形"C中，AB=AC,cos/ABC=丁点、D为边BC的三等分点.将△力4。沿力。翻折,

得到△4T。，直线*£＞与直线//C交于尸点，贝lj.=____.

AC

【详解】解：如图所示，过点1作/G_L4C于点G,

A

BGC

;在等腰三角形48c中，AB=AC,COSZ/15C=4,

5

£B=ZC,BG=CG,CQSAABC=^=|,

.•.设AB-5x,BG-CG-3x(x>0),

则BC=6x,AC=AB=5x,

/.AG=>JAB2-BG2=J(5X)2-(3I『=4x,

•.•点。为边8。的三等分点.

12

.-.BD=-BC=2x^BD=-BC=4x,

33

当8Q=：8C=2工时，如图，

•••珞沿翻折，得到△/9£),

AB'=AB=5x,B'D=BD=2x,

DG=BG-BD=3x-2x-x,DC-DG+GC=3x+x=4x,

•.•将△相。沿AD翻折,得到“FD,B'D与4C交于尸点,

1.ZB=AAB'D=NACB,

ZAB'D+Z2=180°,N/CB+N1=180°,

Z1-Z2,

乂/DFC=4AFB',

:HDCFS"B，F

.DCFCDF

一行一丽一下

FCDF4x4

"TF-JF-5

设DF=4y,AF=5y,

则FB,=DF-DB,=4y-2x,FC=AF-AC=5y-5x,

5y-5x_4

4y-2x~~5

AF_5y_5y_17

2

当8O=]〃C=4x时，如图,

•.•将△力AD沿力。翻折，得到△力6'。,

AB'=AB=5x,B'D=BD=4x,

DG=BD-BG=4x-3x=x,DC=GC-DG=3x-x=2xt

•.•将八ABD沿AD翻折，得到“B'D,BD与4c交于尸点,

/.N8=N8'=ZC,

又Z.DFC=NAFB',

.FDCFSAAB'F,

DCFCDF

一而一丽一下’

FCDF2x2

-----=------=—=—,

FB'AF5x5

设°尸=2乂4/=57，

则尸8'=。"—OE=4x-2乂产。=.4C—彳尸=5x—5y,

5x-5y_2

-4..2厂于

21

・"廿

/.AC=5x=儿",

17

.-J5j，J7

,7c~^x~21'

1717

故答案为：石"或三，

三、解答题：（本大题共7题，共78分）

oo

19.（10分）计算：-2cos60。_+sinM5-|sin60-l|.

cot300-tan45°

【详解】解：^OS6（V-+sin2450-|sin600-1|

cot300-tan45°

4-（6分）

1i1一回….

+——（7分）

G-i22

=用六+*……（8分）

包+雪17+正

（9分）

2222

=>/5........（io分）

20.（本题满分10分,第（1）、（2）小题满分各5分）

如图，已知。。经过△力8c顶点4、B,交8C边于点3,交力C边于点后.

C

（1）如果1E=求证：CA=CB.

2

（2）如果点力是弧比1力的中点，BD=8,JC=12,sinC=-,求的半径.

【详解】（1）证明：•.♦〃?=80,

'AE=BD»

-AE+DE=BD+DE>即介=而，

Z.A=Z.B,

：.CA=CB；……（5分）

（2）解：如图，连接力。，连接.4。并延长交8Z）于尸，连接。8,

A

•・•点/是弧胡。的中点,

-AB=AD^AFVBD,

：.BF=LBD=4,

2

「AFAF2

smC===—,

AC123

解得，JF=8,

设。。的半径为「，则O4=O8=r,OF=8-r,

由勾股定理得，BF2=OB2-OF2,BP42=r2-（8-r）2,

解得，〃=5,

••・。。的半径为5.……（10分）

21.（本题满分10分,第⑴小题满分5分,第（2）小题满分5分）

如图，在等腰梯形48CQ中，4D〃BC,4B=DC,AC与BD交于点、OMO.OC=1:2.

（1）设丽=G，肥=方，试用向量万、6表示向量丽=

⑵先化简，再求作：2,十9-a22+可（直接作在图中）

【详解】（1）解：♦：AD〃BC,

△AOD^^COB,

:.AD：BC=AO：OC=\：2,

：.AD=-BC,

2

,:反=B,

...而，府」乙

22

••曲二万，

BD=BA+AD=a+—b

2

1一

故答案为：«+-/＞；……(5分)

(2)解：2(a+^)-|(2«+ft)

-3-

=2a+2b-3a——b

2

(2a-3a)+

-1E

=-a+-b

2

作图如卜.：布即为所作.

22.(本题满分10分，第⑴小题满分4分，第(2)小题满分6分)

综合与实践：

⑴【问题初探】某兴趣小组探索这样一个问题：若力。是的角平分线，则线段.48,AC,BD,CD

有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：

小智的思路和方法：小勇的思路和方法：

如图①，作力/DNJ.AC,如图②，作CE〃力8,交力。的延长线于

垂足分别为M，N.点、E.

•.•/。平分/84(7,DM1AB,•.•/£)平分NB/C,

DN_ZAC,/.ZBAD=NCAD.

••______________•;CE//AB,

,；S;=；ABDM,/BAD=ZE.

Z.CAD=NE.

S.8=；ACDN,••_______________•

再通过证明ACDESABDA得到比例式，

.S△极)二/IB

FcJAC，从而推导出结论…

ZCJD=60°,求一的值.请你完成解答.

③

【详解】（1）解：小智的思路和方法：如图①，作。DN1AC,垂足分别为M,N.

①

•••力。平分/8力。，DM±AB,DN1AC,

DM=DN,（1分）

SAD=；AB.DM,S.ACD=；AC,DN,

S△ABD_AB

Sgc®AC

S4AtfiJ_BD

SaACDCD

ABBD

（2分）

ACCD

小勇的思路和方法：如图②，作CE〃43,交力。的延长线于点£

A

•.4D平分N84C,

ZBAD=ZCAD.

•:CE〃AB,

•••ABAD=ZE.

/.Z.CAD=NE.

：.AC=EC.……（3分）

•:CE〃AB,

:./BAD=NE,NB=NECD,

：.MDEsABDA,

ABBDABBD

——=---,即---=---.

CECDACCD

UM©”ABBD

故口案力：前二匹（4分）

（2）解：如图，设△力8C的边8c上的高为/?,作边上的高力E,力。边上的高。”,

S3c»=；/C•。产=；/C"Osin600,

乂SaABD=-BDh,S\ACD=-CDh,

22

V2厂

-BDh-Jj?-JD-sin450

SA.48D_2,2~T_瓜

S^ACDLcDhijC-JD-sin60:>

222

BDV6

（10分）

~CD~~

23..（本题满分12分，第⑴小题满分5分，第⑵小题满分7分）

己知：如图，在四边形48co中，AD〃BC,AB1BC,点M是边8。的中点，fiZADB=ZBDM.

⑴求证：BD，=ADBC;

(2)以4。为一边作N04/=N/4。，BF交DM于点、E,交C。于点尸.求证：24D•DM=DF•DC.

【详解】(1)证明：•••4。”。,

ZADB=ZDBM,

乂••ZDB=4BDM,

/.ZADB=^DBC=NMDB,

BM=DM,

•・•点M是边6c的中点，

BW=DM=CM,

:.QCM=NCDM,

•••QCM+NDBM+NCDM+4BDM=180°,

2(/CDM+/RDM)=180°,即ZCDB=90。，

4BDC=Z/1=90°,

:AADBs^DBC,

ADBD

BD2=AD*BC;..........(5分)

(2)证明：如图，

•••AADBS^DBC,

•••ZABD=ZC,

•••ADBF=/ABD,

ZDBF=ZC,

又•；ZBDF=NCDB=900,

RaDFBsRaDBC,

,BDDC

…~DF~~BD'

..BD'=DF、DC，

由（1）得BD?=/iD・BC，BC=2DM,

:.DF・DC=AD・BC=2AD>DM,

即:2AD・DM=DF・DC....（12分）

24.（本题满分12分，第⑴小题满分4分，第（2）小题满分4分，第⑶小题满分4分）

已知在平面直角坐标系xQy中，抛物线丁=尔-2办-3（。工0）与.丫轴交于点力、点8（点力在点8的左侧）,

与y轴交于点C，抛物线的顶点为。，且/出=4.

⑴求抛物线的表达式；

⑵点。是抛物线上一点，如果tan/4C=；,求点。的坐标；

⑶在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点。平移至点七处，过点E作叮1直线力尸，垂足为点

F,如果/PE/=N21C,求平移后抛物线的表达式.

【详解】（1）解：•••抛物线…/-243.工0）,

•••抛物线的对称轴为直线x==1,

2a

•••抛物线、=苏-20"3（叱0）与x轴交于点小3（点力在点8的左侧），且/3=4,

>（-1,0）,8（3,0）,

将N（-1,0）代入抛物线解析式y=52_2奴_3可得a+2a-3=（）,

解得a=1,

，抛物线的解析式为丁--一合-？：……”分）

(2)解：如图，过点。作CNJ./产于点N,过点/作x轴的垂线交工轴于点衣,交过点。和x轴的平行线

于点T,

.-.0(0,-3),OC=3.

•”(TO),

OA-1,

•••JC2=l2+32=10.

•.•tan/"C=L,

2

.♦.设CN=a,AN=2a,

•；AN2+CN2=AC2,

丁.(2a)~+a?=1(),

a=>/2(负值舍去)，

：,AN=2日

设点N的坐标为(〃?,〃),则AR=m+l,NR=n,TN=n+3,CT-m,

•••AR2+NR2=AN2,CT2+TN2=CN2,

•••(川+1『+n2=8,nf+(〃+3)-=2,

w2+2m+n2=7®»m2+6n+n2=-7(2),

①-②，得

2m-6n=14.

/.m=7+3n,

把〃7=7+3〃代入②，得

(7+3〃y+6〃+〃2=-7,

解得外=_2,«2=-2.8,

当八二-2时，w=7+3x(-2)=l,

当"=-2.8时，m=7+3x(—2.8)=-1.4(不符合题意，舍去),

设直线AN的解析式为y=履+6代工0),

将J(-l,0),N(l,-2)代入解析式可得丁丁二：,

攵+0=—2

解得：

・•・直线AN的解析式为歹=-X-1,

^=A-2-Zr-3

解＜或，(舍去),

y=-x-\y=0

二尸(2,-3)；……(8分)

(3)解：vy=x2-2x-3=(x-l)：-4,抛物线的顶点为Q,

二。(1,-4),

设抛物线向左平移了，个单位，则点E0TT),新抛物线的解析式为y=(x-l+f『-4,

如图，过点尸作x轴的平行线交过点。和v轴的平行线于点〃，交过点E和y轴的平行线于点，

-AEFP=90°,

NLFE+NHFP=9。。，

ZLFE+NLEF=9M,

4HFP=NLEF,

△FLESAPHF,

LE：LF=EF

~HF~~HP~~FP，

^PEF-4PAe,

tan/PEF=tan/PAC=—,

2

EFLAP,

FP_1

~EF~2,

殳一

FP，

LELF.

----==2，

HFHP

LE=yF-yE=-d-\+4=-d+3,HF=xP-xF=2-dLF=xF-xL=</-（1-/）,

HP=yF-yp=-d-\+3=-d+2t

••-—乙，

2-d-d+2

解得：”2,

••・新抛物线的解析式为y=（x-l+2『-4=（x+l）2_4.……（12分）

25.（本题满分14分，第⑴小题满分4分，第（2）题满分5分，第⑶小题满分5分）

如图，在矩形中，力4=6,BC=8,对角线/C、8。交于点。，点M为对角线力。上一点，连接

BM，在内部作射线3尸与线段力O交于点N（不与点/、点。重合）、与线段力。交于点尸，且

NMBN=NDBC.

（备用图）

（1）当CW=3,求N/P〃的正切值.

⑵射线8P交射线C。与点。，若线段8。是5尸与8。的比例中项，求CW的长.

⑶设线段CM=X